陕西省西安市高新区部分学校联考2023-2024学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024九下·西安开学考）某市一天的最高气温为2℃，最低气温为-9℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．-11℃ B．-7℃ C．11℃ D．7℃
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：2℃-（-9℃）=11℃.
故答案为：C.
【分析】用最高气温减去最低气温，列式进行计算，即可得出答案.
2．（2024九下·西安开学考）《清朝野史大观 清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故答案为：A．
【分析】根据简单几何体的三视图，即可得解．
3．（2024九下·西安开学考）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠BCD=360°÷6=60°，EF//BD，∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠1=44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3=∠BDC+∠BCD=104°，
∴∠2=∠ABC-∠3=16°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BDC=∠1=44°，利用三角形外角的性质求出∠3=∠BDC+∠BCD=104°，再利用角的运算求出∠2=∠ABC-∠3=16°即可。
4．（2024九下·西安开学考）若直线y＝kx+2与直线y＝-3x+b关于直线x＝-1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝-3、b＝-2 B．k＝3、b＝-2
C．k＝3、b＝-4 D．k＝3、b＝4
【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：一次函数与y轴交点为，
点关于直线的对称点为，
把代入直线，得：，
解得：，
则一次函数为：，与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，
解得．
故答案为：C．
【分析】一次函数与y轴交点为，关于直线的对称点为，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值，即可得解．
5．（2024九下·西安开学考）如图1，分别沿长方形纸片 ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且 KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设PM=PL=NR=AR=a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50，
∴a2=25，
∴正方形EFGH的面积=a2=25，
故答案为：B．
【分析】设PM=PL=NR=AR=a，正方形ORQP的边长为b．根据几何图形的面积计算方法，割补法得出a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50，化简即可得出答案。
6．（2024九下·西安开学考）如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
又∵，
∴∠C=∠A，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠AOD=2∠C，
J即∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=AO=，AF=OF=，
同理CE=，OE=，
连接OB，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理得AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，根据三角形的面积公式，即可得解．
7．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，
在△ABC中， 由勾股定理得：，
，，
∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
∴，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在△DBE中， 由勾股定理得：.
故答案为：C．
【分析】勾股定理得，，，由旋转的性质可求是等边三角形，是等边三角形，，在△DBE中， 根据勾股定理，即可得解.
8．（2024九下·西安开学考）已知抛物线y＝a（x-m）（x-n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0 B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0 D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与直线交于点，
，
②-①得，即，
则当或，时，；
当或时，．
故A正确，B、C、D错误，
故答案为：A．
【分析】将两点坐标分别代入解析式，从而得，再根据有理数的乘法判断符号，即可得解．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024九下·西安开学考）-π，-3，的大小顺序是 （用“＞”号连接）．
【答案】＞-3＞-π
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得解．
10．（2024九下·西安开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC
是等边三角形，
∠BOM=60°
∴OM=OB sin∠BOM=6× =3，
故答案为3．
【分析】连接OB，OC，证明是等边三角形，得∠BOM=60°，根据锐角三角函数的定义，即可得解.
11．（2024九下·西安开学考）某商场一种商品的进价为96元，若标价后再打8折出售，仍可获利10%，则该商品的标价为 元．
【答案】132
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该商品的标价为x元，
由题意得：，
解得：．
即该商品的标价为元．
故答案为：
【分析】设该商品的标价为x元，根据标价后再打8折出售，仍可获利列出方程，解方程即可．
12．（2024九下·西安开学考）已知两个反比例函数y1＝，y2＝，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且OA＝2AB，则y2的解析式为 ．
【答案】y2＝或y2＝
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点B在点A的右边时，如图1，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点B在点A的左边时，如图2，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上可知，的解析式为或，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当点B在点A的右边时，画出图象，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，得到，则，根据反比例函数系数k的几何意义，列式即可求得，②当点B在点A的左边时，同理可得，即可得解．
13．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-BD的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
，
∴在中，，
过点A作于点G
根据三角形三边关系可得：
即：
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：.
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，过点A作于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出，根据三角形三边关系及垂线段最短可得，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得解．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（2024九下·西安开学考）计算：．
【答案】解：原式＝
＝4--1+
＝4-2-1+
＝3-
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、二次根式的乘法、绝对值的性质，最后合并同类二次根式即可．
15．（2024九下·西安开学考）解不等式组：
【答案】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质解不等式组即可。
16．（2024九下·西安开学考）化简：．
【答案】解：
＝
＝
＝．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的四则混合运算的运算顺序，先通分计算括号内的，再计算分式除法即可．
17．（2024九下·西安开学考）尺规作图：如图，在△ABC中，∠C＝90°.在AB边上求作一点D，使DA+DC＝AB.
【答案】解：如图所示：点D即为所求.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，作出BC边的垂直平分线与AB的交点即为所求.
18．（2024九下·西安开学考）如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝CD，∠B＝∠C＝∠AED．求证：AE＝DE．
【答案】证明：，，
，
在与中，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】通过三角形外角的性质得到，由推出，根据全等三角形的判定证明，即可得出结论．
19．（2024九下·西安开学考）近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木508.19万株，其中5000年以上的古树有5株，这5株古树均在陕西省，分别是渭南市的仓颉手植柏，延安市的黄帝手植柏、保生柏、老君柏，商洛市的页山大古柏．为提高学生保护古树名木的意识和热情，某校举行以“保护古树名木，共享绿水青山”为主题的摄影活动．小南从自己的摄影作品中选取了五张照片，这五张照片背面完全相同，正面分别是五棵古树，将照片背面朝上洗匀．
（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是 ；
（2）活动规定每人可上交两张照片，小南对这五张照片都很满意，他同时从这五张照片中随机抽取两张参加该活动，请用树状图或列表法求小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率．
【答案】（1）
（2）解：将黄帝手植柏、保生柏、老君柏、仓颉手植柏、页山大古柏分别记为A，B，C，D，E，
列表如下：
A B C D E
A AB AC AD AE
B BA BC BD BE
C CA CB CD CE
D DA DB DC DE
E EA EB EC ED
由表可得，共有20种等可能的结果，其中抽到的两张照片上的古树均在延安市的结果有6种，即AB，AC，BA，BC，CA，CB，
∴小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）根据概率公式，即可得解；
（2）由列表法得，共有20种等可能的结果，其中抽到的两张照片上的古树均在延安市的结果有6种，根据概率公式即可求解；
20．（2024九下·西安开学考）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
【答案】解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为m ，桌腿需要木材为m ，
，
则（m ），
（m ），
答：应用10m 木材作桌面，2m 木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为xm3，桌腿需要木材为(4×x)m3，根据现有木材12m3可得关于x的方程，求解即可.
21．（2024九下·西安开学考）小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离BC＝2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD＝2m，坡角（∠CDN）为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面MN上的影长DE长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）
【答案】解：延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，
则四边形BHGC是矩形，
∴HG＝BC＝2，∠CGD＝90°，BH＝CG，
∵∠CDG＝30°，CD＝2m，
∴CG＝CD＝1m，DG＝m，
∴HE＝HG+GD+DE＝8+，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴，
∴，
∴AH＝（8+）m，
∴AB＝AH-BH＝（8+）-1＝m，
答：旗杆AB的高度约为m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】延长交于H，过C作于G，则四边形BHGC是矩形，得到，，解直角三角形得到，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程，计算求解即可．
22．（2024九下·西安开学考）如图是某机场监控屏显示的一飞机的飞行图象（高度h与距离s的函数图象），其中s表示飞机离起点O的水平距离，h表示飞机距地面的垂直高度．飞机从起点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，水平飞行3km后到达B处开始沿直线BC降落，降落时经过C处．
（1）求BC所在直线的函数表达式；
（2）当飞机距地面的垂直高度为2km时，求它距起点O的水平距离是多少？
【答案】（1）解：过点A作AD⊥s轴于点D，
∵∠AOD＝45°，
∴∠ODA＝45°＝∠AOD，
∴OD＝AD＝4，
∴B（7，4），
由题意得C（10，3），
设BC所在直线的函数表达式h＝ks+b，
∴，
解得
∴设BC所在直线的函数表达式为h＝-s+；
（2）解：设OA的解析式为：h＝as，
∵A（4，4），
∴4a＝4，
∴a＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
当飞机在线段OA上，h＝2时，s＝2；
当飞机在BC上，h＝2时，2＝-s+，
∴s＝13；
∴当飞机距地面的垂直高度为2km时，它距起点O的水平距离是2km或13km．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥s轴于点D，由OD＝AD＝4，从而求得，再用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：当飞机在爬升时，距地面的垂直高度为；当飞机在降落时，距地面垂直高度为；分别求解即可．
23．（2024九下·西安开学考）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别 “劳动时间”t/分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A 8 50
B 16 75
C 40 105
D 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数.
【答案】（1）C
（2）解：（分钟），
∴这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）解：∵（人），
∴估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的有912人.
【知识点】用样本估计总体；统计表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，100名学生的“劳动时间”的中位数是第50、51个数，
故本次调查数据的中位数落在C组.
故答案为：C；
【分析】（1）100名学生的“劳动时间”的中位数是第50、51个数，据此判断；
（2）利用时间乘以对应的人数求出总时间，然后除以总人数可得平均“劳动时间”；
（3）利用样本中C、D组的频数之和除以总人数，然后乘以1200即可.
24．（2024九下·西安开学考）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【答案】（1）证明：⊙O与水平地面相切于点C，
，
，
，
AB与⊙O相切于点B，
，
，
过点作，
，
，
，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）解：如图，过点作的平行线，交于点，交于点，
，则四边形是矩形，
， ，
，
在中，，，
（cm)，
在中，，cm，
(cm)，
(cm)，
(cm)，
cm，
(cm)．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据切线的性质即可得到，，过点作，再运用平行线的性质结合题意即可求解；
（2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点，先根据矩形的性质结合题意即可得到，再运用解直角三角形即可得到AB和OB的长，接着运用勾股定理即可得到OF的长，进而结合题意即可求解。
25．（2024九下·西安开学考）已知抛物线L经过点A（-1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得．解得，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3．
（2）解：设平移后的抛物线的解析式为：，
∵平移后的抛物线过点，
∴，
∴，
当时，，
∴；
当时：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵是直角三角形，分三种情况，
①，即：，
解得：，此时与点重合，不符合题意；
②，即：，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴，
∵，，
∴将原抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线；
③，即：，
解得或，均不符合题意；
综上：将原抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，满足题意．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，待定系数法求出函数解析式即可．
（2）设平移后的解析式为，把代入，得到，进而得到，求出点，点，根据是直角三角形，分三种情况讨论：①，②，③，分别求解并检验，即可得解．
26．（2024九下·西安开学考）
（1）问题提出 如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD＝9，∠DCE＝15°，求△BCE外接圆的半径长．
（2）问题解决 某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF＝∠BCF，∠EFC＝90°，DF：DC＝1：2，AE＝8米．该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，
作△BCE的外接圆O，交AB于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝9，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，∠DCE＝15°，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，∠BCE＝90°-∠DCE＝75°，
在△BCE中，
∠BEC＝180°-∠CBE-∠BCE＝60°，
∵，
∴∠BFC＝∠BEC＝60°，
∵∠CBF＝90°，
∴CF是⊙O的直径，
∵CF＝＝＝6，
∴△BCE外接圆的半径长是3；
（2）解：如图2，
作△GEF的外接圆O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD，
∵∠EGF＝∠BCF，
∴∠EGF＝∠CFD，
∵tan∠CFD＝＝2
∴sin∠EGF＝sin∠CFD＝，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠CFD+∠DCF＝90°，
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFC+∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠DCF，
∴△AEF∽△DFC，
∴＝2，
∴AF＝2AE＝16，
∴EF＝＝＝8，
同理（1）得，
⊙O的直径＝＝＝20，
作OH∥AB，交AD于W，过H作⊙O的切线，交AB于M，延长FC交MH于N，作NR⊥AD，
从而得出矩形ABCD的面积最大值是矩形AMNR的面积，
过点O作PT⊥EF交EF于Q，交AD于P，连接OF，
∴FQ＝EQ＝EF＝4，
∴OQ＝＝2，
∴tan∠OFQ＝＝，
∴∠OFQ＝∠AFE，
∵∠FQP＝∠FQO＝90°，FQ＝FQ，
∴△PFQ≌△OFQ（ASA），
∴PF＝OF＝10，
∵S△POF＝PF·OW＝OP FQ，
∴OW＝＝＝8，
∴WH＝OH+OW＝10+8＝18，
∴RN＝WH＝18，
∴FR＝RN＝9，
∴AR＝AF+FR＝16+9＝25，
∴S矩形AMNR＝AR RN＝25×18＝450，
即矩形ABCD面积的最大值是450m2．
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）作的外接圆，交于，结合矩形的性质，角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABC＝45°，∠BCE＝75°，根据圆周角定理得到∠BFC＝∠BEC＝60°，解直角三角形，即可得解；
（2）作△GEF的外接圆O，先求得长，从而求得的外接圆的直径为20，作OH//AB，过作的切线，交于，延长交于，作，从而得出矩形的面积最大值是矩形的面积，过点作交于，交于，连接，推得，进而根据，求得，进而即可求得结果．
1 / 1陕西省西安市高新区部分学校联考2023-2024学年九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（2024九下·西安开学考）某市一天的最高气温为2℃，最低气温为-9℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）
A．-11℃ B．-7℃ C．11℃ D．7℃
2．（2024九下·西安开学考）《清朝野史大观 清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三视图都相同
3．（2024九下·西安开学考）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·西安开学考）若直线y＝kx+2与直线y＝-3x+b关于直线x＝-1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝-3、b＝-2 B．k＝3、b＝-2
C．k＝3、b＝-4 D．k＝3、b＝4
5．（2024九下·西安开学考）如图1，分别沿长方形纸片 ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的 KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且 KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
6．（2024九下·西安开学考）如图，已知CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E．若AE过圆心O，OA＝1．则四边形BEOF的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（ ）
A．2 B．5 C．2 D．3
8．（2024九下·西安开学考）已知抛物线y＝a（x-m）（x-n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0 B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0 D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（2024九下·西安开学考）-π，-3，的大小顺序是 （用“＞”号连接）．
10．（2024九下·西安开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
11．（2024九下·西安开学考）某商场一种商品的进价为96元，若标价后再打8折出售，仍可获利10%，则该商品的标价为 元．
12．（2024九下·西安开学考）已知两个反比例函数y1＝，y2＝，与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点A和点B，且OA＝2AB，则y2的解析式为 ．
13．（2024九下·西安开学考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝5，BC＝4，点D为CB延长线上一点．当点D在CB延长线上运动时，AD-BD的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（2024九下·西安开学考）计算：．
15．（2024九下·西安开学考）解不等式组：
16．（2024九下·西安开学考）化简：．
17．（2024九下·西安开学考）尺规作图：如图，在△ABC中，∠C＝90°.在AB边上求作一点D，使DA+DC＝AB.
18．（2024九下·西安开学考）如图，在四边形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝CD，∠B＝∠C＝∠AED．求证：AE＝DE．
19．（2024九下·西安开学考）近年来，国家林草局全面开展古树名木资源普查，第二次全国古树名木资源普查结果显示，目前我国普查范围内共有古树名木508.19万株，其中5000年以上的古树有5株，这5株古树均在陕西省，分别是渭南市的仓颉手植柏，延安市的黄帝手植柏、保生柏、老君柏，商洛市的页山大古柏．为提高学生保护古树名木的意识和热情，某校举行以“保护古树名木，共享绿水青山”为主题的摄影活动．小南从自己的摄影作品中选取了五张照片，这五张照片背面完全相同，正面分别是五棵古树，将照片背面朝上洗匀．
（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是 ；
（2）活动规定每人可上交两张照片，小南对这五张照片都很满意，他同时从这五张照片中随机抽取两张参加该活动，请用树状图或列表法求小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率．
20．（2024九下·西安开学考）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
21．（2024九下·西安开学考）小明和小亮利用数学知识测量学校操场边升旗台上的旗杆高度．如图，旗杆AB立在水平的升旗台上，两人测得旗杆底端B到升旗台边沿C的距离BC＝2m，升旗台的台阶所在的斜坡CD＝2m，坡角（∠CDN）为30°，在太阳光下，小明测得旗杆的影子落在水平地面MN上的影长DE长为6m，同一时刻，小亮测得长1.6m的标杆直立于水平地面时的影子长为1.2m．请你帮小明和小亮求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）
22．（2024九下·西安开学考）如图是某机场监控屏显示的一飞机的飞行图象（高度h与距离s的函数图象），其中s表示飞机离起点O的水平距离，h表示飞机距地面的垂直高度．飞机从起点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，水平飞行3km后到达B处开始沿直线BC降落，降落时经过C处．
（1）求BC所在直线的函数表达式；
（2）当飞机距地面的垂直高度为2km时，求它距起点O的水平距离是多少？
23．（2024九下·西安开学考）某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了100名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别 “劳动时间”t/分钟 频数 组内学生的平均“劳动时间”/分钟
A 8 50
B 16 75
C 40 105
D 36 150
根据上述信息，解答下列问题：
（1）这100名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；
（2）求这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1200名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数.
24．（2024九下·西安开学考）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
25．（2024九下·西安开学考）已知抛物线L经过点A（-1，0）和B（3，0）与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移抛物线L，使平移后的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为Q，与y轴交于点P，同时满足△BPQ是直角三角形，请你写出平移过程并说明理由．
26．（2024九下·西安开学考）
（1）问题提出 如图①，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，若AD＝9，∠DCE＝15°，求△BCE外接圆的半径长．
（2）问题解决 某社区准备设计一个矩形花园，如图②是花园的示意图，图中EF，EG，FG，FC是花园内四条小路，这四条小路将花园分成五个三角形区域，分别用来种植不同种类的花．根据设计要求，∠EGF＝∠BCF，∠EFC＝90°，DF：DC＝1：2，AE＝8米．该矩形花园面积是否存在最大值？若存在，请求出其最大面积；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：2℃-（-9℃）=11℃.
故答案为：C.
【分析】用最高气温减去最低气温，列式进行计算，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故答案为：A．
【分析】根据简单几何体的三视图，即可得解．
3．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠BCD=360°÷6=60°，EF//BD，∠ABC=120°，
∴∠BDC=∠1=44°，
∵∠3是△BCD的外角，
∴∠3=∠BDC+∠BCD=104°，
∴∠2=∠ABC-∠3=16°，
故答案为：B.
【分析】先求出∠BDC=∠1=44°，利用三角形外角的性质求出∠3=∠BDC+∠BCD=104°，再利用角的运算求出∠2=∠ABC-∠3=16°即可。
4．【答案】C
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：一次函数与y轴交点为，
点关于直线的对称点为，
把代入直线，得：，
解得：，
则一次函数为：，与y轴交点为，
关于直线的对称点为，
把代入直线，可得，
解得．
故答案为：C．
【分析】一次函数与y轴交点为，关于直线的对称点为，代入得到b的值，再求出一次函数与y轴交点关于直线的对称点，代入一次函数，求出k的值，即可得解．
5．【答案】B
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设PM=PL=NR=AR=a，正方形ORQP的边长为b．
由题意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50，
∴a2=25，
∴正方形EFGH的面积=a2=25，
故答案为：B．
【分析】设PM=PL=NR=AR=a，正方形ORQP的边长为b．根据几何图形的面积计算方法，割补法得出a2+b2+（a+b）（a﹣b）=50，化简即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠AFO=∠CEO=90°，
又∵，
∴∠C=∠A，
∵CD为直径，CD⊥AB，
∴，
∴∠AOD=2∠C，
J即∠AOD=2∠A，
∵∠AFO=90°，
∴∠A=30°，
∵AO=1，
∴OF=AO=，AF=OF=，
同理CE=，OE=，
连接OB，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴由垂径定理得：BF=AF=，BE=CE=，
∴四边形BEOF的面积S=S△BFO+S△BEO=××+=，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理得AF=BF，CE=BE，，求出∠AOD=2∠C，求出∠AOD=2∠A，求出∠A=30°，解直角三角形求出OF和BF，根据三角形的面积公式，即可得解．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，
在△ABC中， 由勾股定理得：，
，，
∵将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
∴，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
在△DBE中， 由勾股定理得：.
故答案为：C．
【分析】勾股定理得，，，由旋转的性质可求是等边三角形，是等边三角形，，在△DBE中， 根据勾股定理，即可得解.
8．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与直线交于点，
，
②-①得，即，
则当或，时，；
当或时，．
故A正确，B、C、D错误，
故答案为：A．
【分析】将两点坐标分别代入解析式，从而得，再根据有理数的乘法判断符号，即可得解．
9．【答案】＞-3＞-π
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得解．
10．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接OB，OC
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC
是等边三角形，
∠BOM=60°
∴OM=OB sin∠BOM=6× =3，
故答案为3．
【分析】连接OB，OC，证明是等边三角形，得∠BOM=60°，根据锐角三角函数的定义，即可得解.
11．【答案】132
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该商品的标价为x元，
由题意得：，
解得：．
即该商品的标价为元．
故答案为：
【分析】设该商品的标价为x元，根据标价后再打8折出售，仍可获利列出方程，解方程即可．
12．【答案】y2＝或y2＝
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①当点B在点A的右边时，如图1，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点B在点A的左边时，如图2，
过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上可知，的解析式为或，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当点B在点A的右边时，画出图象，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，得到，则，根据反比例函数系数k的几何意义，列式即可求得，②当点B在点A的左边时，同理可得，即可得解．
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作平分，交于点F，过点D作交于点E
，
∴在中，，
过点A作于点G
根据三角形三边关系可得：
即：
在中，，
即：的最小值为．
故答案为：.
【分析】作平分，交于点F，过点D作交于点E，过点A作于点G，根据角平分线的定义及含30度角的直角三角形性质得出，根据三角形三边关系及垂线段最短可得，再次根据根据含30度角的直角三角形性质求出的值，即可得解．
14．【答案】解：原式＝
＝4--1+
＝4-2-1+
＝3-
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂、二次根式的乘法、绝对值的性质，最后合并同类二次根式即可．
15．【答案】解：由 ，得： ，
由 ，得： ，
则不等式组的解集为 ．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质解不等式组即可。
16．【答案】解：
＝
＝
＝．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】根据分式的四则混合运算的运算顺序，先通分计算括号内的，再计算分式除法即可．
17．【答案】解：如图所示：点D即为所求.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，作出BC边的垂直平分线与AB的交点即为所求.
18．【答案】证明：，，
，
在与中，
，
，
．
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】通过三角形外角的性质得到，由推出，根据全等三角形的判定证明，即可得出结论．
19．【答案】（1）
（2）解：将黄帝手植柏、保生柏、老君柏、仓颉手植柏、页山大古柏分别记为A，B，C，D，E，
列表如下：
A B C D E
A AB AC AD AE
B BA BC BD BE
C CA CB CD CE
D DA DB DC DE
E EA EB EC ED
由表可得，共有20种等可能的结果，其中抽到的两张照片上的古树均在延安市的结果有6种，即AB，AC，BA，BC，CA，CB，
∴小南抽到的两张照片上的古树均在延安市的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）从五张照片中随机抽取一张，抽到“黄帝手植柏”的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）根据概率公式，即可得解；
（2）由列表法得，共有20种等可能的结果，其中抽到的两张照片上的古树均在延安市的结果有6种，根据概率公式即可求解；
20．【答案】解：设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为m ，桌腿需要木材为m ，
，
则（m ），
（m ），
答：应用10m 木材作桌面，2m 木材作桌腿，才能尽可能多的制作桌子．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】设共做了x张桌子，则需要的桌面的材料为xm3，桌腿需要木材为(4×x)m3，根据现有木材12m3可得关于x的方程，求解即可.
21．【答案】解：延长AB交MN于H，过C作CG⊥MN于G，
则四边形BHGC是矩形，
∴HG＝BC＝2，∠CGD＝90°，BH＝CG，
∵∠CDG＝30°，CD＝2m，
∴CG＝CD＝1m，DG＝m，
∴HE＝HG+GD+DE＝8+，
∵同一时刻，物高和影长成正比，
∴，
∴，
∴AH＝（8+）m，
∴AB＝AH-BH＝（8+）-1＝m，
答：旗杆AB的高度约为m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】延长交于H，过C作于G，则四边形BHGC是矩形，得到，，解直角三角形得到，根据同一时刻，物高和影长成正比，列方程，计算求解即可．
22．【答案】（1）解：过点A作AD⊥s轴于点D，
∵∠AOD＝45°，
∴∠ODA＝45°＝∠AOD，
∴OD＝AD＝4，
∴B（7，4），
由题意得C（10，3），
设BC所在直线的函数表达式h＝ks+b，
∴，
解得
∴设BC所在直线的函数表达式为h＝-s+；
（2）解：设OA的解析式为：h＝as，
∵A（4，4），
∴4a＝4，
∴a＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
当飞机在线段OA上，h＝2时，s＝2；
当飞机在BC上，h＝2时，2＝-s+，
∴s＝13；
∴当飞机距地面的垂直高度为2km时，它距起点O的水平距离是2km或13km．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥s轴于点D，由OD＝AD＝4，从而求得，再用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：当飞机在爬升时，距地面的垂直高度为；当飞机在降落时，距地面垂直高度为；分别求解即可．
23．【答案】（1）C
（2）解：（分钟），
∴这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）解：∵（人），
∴估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的有912人.
【知识点】用样本估计总体；统计表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，100名学生的“劳动时间”的中位数是第50、51个数，
故本次调查数据的中位数落在C组.
故答案为：C；
【分析】（1）100名学生的“劳动时间”的中位数是第50、51个数，据此判断；
（2）利用时间乘以对应的人数求出总时间，然后除以总人数可得平均“劳动时间”；
（3）利用样本中C、D组的频数之和除以总人数，然后乘以1200即可.
24．【答案】（1）证明：⊙O与水平地面相切于点C，
，
，
，
AB与⊙O相切于点B，
，
，
过点作，
，
，
，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）解：如图，过点作的平行线，交于点，交于点，
，则四边形是矩形，
， ，
，
在中，，，
（cm)，
在中，，cm，
(cm)，
(cm)，
(cm)，
cm，
(cm)．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据切线的性质即可得到，，过点作，再运用平行线的性质结合题意即可求解；
（2）如图，过点作的平行线，交于点，交于点，先根据矩形的性质结合题意即可得到，再运用解直角三角形即可得到AB和OB的长，接着运用勾股定理即可得到OF的长，进而结合题意即可求解。
25．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
得．解得，
∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3．
（2）解：设平移后的抛物线的解析式为：，
∵平移后的抛物线过点，
∴，
∴，
当时，，
∴；
当时：，
解得：，
∴，
∴，，，
∵是直角三角形，分三种情况，
①，即：，
解得：，此时与点重合，不符合题意；
②，即：，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴，
∵，，
∴将原抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线；
③，即：，
解得或，均不符合题意；
综上：将原抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，满足题意．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，待定系数法求出函数解析式即可．
（2）设平移后的解析式为，把代入，得到，进而得到，求出点，点，根据是直角三角形，分三种情况讨论：①，②，③，分别求解并检验，即可得解．
26．【答案】（1）解：如图1，
作△BCE的外接圆O，交AB于F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝9，∠BCD＝∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，∠DCE＝15°，
∴∠CBE＝∠ABC＝45°，∠BCE＝90°-∠DCE＝75°，
在△BCE中，
∠BEC＝180°-∠CBE-∠BCE＝60°，
∵，
∴∠BFC＝∠BEC＝60°，
∵∠CBF＝90°，
∴CF是⊙O的直径，
∵CF＝＝＝6，
∴△BCE外接圆的半径长是3；
（2）解：如图2，
作△GEF的外接圆O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCF＝∠CFD，
∵∠EGF＝∠BCF，
∴∠EGF＝∠CFD，
∵tan∠CFD＝＝2
∴sin∠EGF＝sin∠CFD＝，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠CFD+∠DCF＝90°，
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFC+∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠DCF，
∴△AEF∽△DFC，
∴＝2，
∴AF＝2AE＝16，
∴EF＝＝＝8，
同理（1）得，
⊙O的直径＝＝＝20，
作OH∥AB，交AD于W，过H作⊙O的切线，交AB于M，延长FC交MH于N，作NR⊥AD，
从而得出矩形ABCD的面积最大值是矩形AMNR的面积，
过点O作PT⊥EF交EF于Q，交AD于P，连接OF，
∴FQ＝EQ＝EF＝4，
∴OQ＝＝2，
∴tan∠OFQ＝＝，
∴∠OFQ＝∠AFE，
∵∠FQP＝∠FQO＝90°，FQ＝FQ，
∴△PFQ≌△OFQ（ASA），
∴PF＝OF＝10，
∵S△POF＝PF·OW＝OP FQ，
∴OW＝＝＝8，
∴WH＝OH+OW＝10+8＝18，
∴RN＝WH＝18，
∴FR＝RN＝9，
∴AR＝AF+FR＝16+9＝25，
∴S矩形AMNR＝AR RN＝25×18＝450，
即矩形ABCD面积的最大值是450m2．
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）作的外接圆，交于，结合矩形的性质，角平分线的定义可得∠CBE＝∠ABC＝45°，∠BCE＝75°，根据圆周角定理得到∠BFC＝∠BEC＝60°，解直角三角形，即可得解；
（2）作△GEF的外接圆O，先求得长，从而求得的外接圆的直径为20，作OH//AB，过作的切线，交于，延长交于，作，从而得出矩形的面积最大值是矩形的面积，过点作交于，交于，连接，推得，进而根据，求得，进而即可求得结果．
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