7.1 复数的概念 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
7.1复数的概念
复习回顾，再现思想
自然数
↓
整数
↓
有理数
↓
实 数
满足社会发展需要
为了计数的需要
为了表示相反意义的量
（引入负整数）
为了某些量进行等分，以及分配的需要
（引入分数）
为了解决边长为1正方形对角线长度
（引入无理数）
复习回顾，再现思想
自然数
↓
整数
↓
有理数
↓
实 数
为了计数的需要
为了表示相反意义的量
（引入负整数）
为了某些量进行等分，以及分配的需要
（引入分数）
为了解决边长为1正方形对角线长度
（引入无理数）
2
这几次数系的扩充，有什么共同的特点？
满足社会发展需要
满足数学发展需要
引入新数；原数集中的运算律及性质仍然成立
把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
创设情境，引出新数
引入一个新数 i
思考：联系从自然数集扩充到实数集的过程，你能给出一种方法，使方程有解吗？
1777年，瑞士数学家欧拉首次引入i，规定i2= -1，它取自imaginary（想象的，假想的）一词的词头，并把它称为虚数单位.
建构新知，感知复数
思考：实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
实数b与i相乘，如：3i，-2iii，结果记作bi
实数a与bi相加，如：2+3i，4-2ii，结果记作a+bi
所有实数以及i都可写成a+bi (a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数.
复数的概念
i 叫做虚数单位.
全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集.
实数a
=a+0i
=0+bi
建构新知，感知复数
复数的代数形式
复数通常用字母 z 表示，即
z=a+b i (a,b∈R)
a叫做复数的实部
b叫做复数的虚部
注意：复数z的实部和虚部都是实数.
建构新知，感知复数
思考 ：复数可以像实数那样比较大小吗？
复数相等
规定：a+bi=c+di 当且仅当 a=c且b=d
一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.
复数的分类
复数
实数：
虚数：
纯虚数：
非纯虚数：
小组合作，将上述集合间的关系转化为用Venn图表示。
若两个复数都是实数，则可以比较大小.
思考 ：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？
虚数集
实数集R
纯虚数集
复数集C
例1 当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m1)i是下列数？
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
分析：因为mR，所以m与m都是实数，
由复数是实数，虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值.
解：(1)当m1=0，即m=1时，复数z是实数；
(2)当m，即m时，复数z是虚数；
(3)当m且m时，
即m时，复数z
典例分析，理解概念
建构新知，几何感知
实数a (数)
数轴上的点A (形)
一一对应
思考：类比推理,复数的几何意义？
z=a+bi(a, b∈R)
有序实数对（a,b）
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
x轴—实轴
y轴—虚轴
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
Z(a,b)
a
b
z=a＋bi
实轴
虚轴
如：复平面内点（-2，3）
-2+3i
原点(0,0)
0
（-2，0）
-2
（0，-5）
-5i
注：实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复平面
建构新知，几何感知
复数z＝a＋bi(a,b∈R)
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
建构新知，几何感知
思考：你能用向量表示复数吗？
z=a+bi(a, b∈R)
（a,b）
一一对应
点Z(a,b)
一一对应
思考：如何建立点与向量的一一对应关系？
由向量相等定义可知任何一个向量都可以平移为以原点为起点的向量.
复数z＝a＋bi(a,b∈R)
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
一一对应
平面向量
a
b
复数z＝a＋bi
点Z(a,b)
一一对应
一一对应
2.相等的向量表示同一个复数.
平面向量
注：1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)说成点Z或向量 (是以原点O为起点的).
建构新知，几何感知
复数的模
定义：向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.
几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点O的距离.
a
b
例2 设复数z1=4+3i，z2=43i.
(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小.
Z1(4,3)
Z2(4,-3)
解：(1)如图所示，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2
对应的向量分别为，.
典例分析，理解概念
(2)
所以.
你发现了什么？
定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于零的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.
表示方法：复数z的共轭复数用 表示，即
互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
共轭复数
思考：若z1,z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
如果z=a+bi，那么=a-bi
课堂小结，优化结构
实部
虚部
其中 称为虚数单位．
复数
一、复数的代数形式
复数a+bi
复数相等：
二、复数的几何意义
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
平面向量
一一对应
一一对应
复数的模
共轭复数