22.3 实际问题与二次函数 课件（20张PPT）2023-2024学年人教版九年级数学上册

(共20张PPT)
22.3实际问题与二次函数
年 级：九年级
学 科：初中数学（人教版）
坐标系
点
一次函数
二次函数
……
概念
图像 性质
应用于实际问题
回顾梳理 定位目标
问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h= 30t－5t2 (0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
当小球运动的时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m．
解：结合图形分析可知抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.
问题引导 感悟新知
当 时，
h有最大值 .
一般地，当a＞（＜）0时，抛物线的顶点是最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 .但在范围限制下，抛物线的最值还需结合图像特征加以考虑，以本题原函数为例：
对称轴在取值范围之内时，顶点与最大（小）值有关
对称轴在取值范围之外时，顶点与最大（小）值无关
问题引导 感悟新知
信息
整理和
分析
绘制函数图像
结合性质解决问题
思考1：涉及到哪些变量？
思考2：变量间的关系怎样？
思考3：变量取值限制有哪些？
思考4：实际背景下的问题指向是什么？
问题引导 感悟新知
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
思考1：涉及到哪些变量？
思考2：变量间的关系怎样？
矩形一边长为l m，另一边长为（30-l）m ，则面积S=l（30-l）.
l
30-l
探究1（面积最值）
表示边长的l和表示面积的S.
思考3：变量取值限制有哪些？
思考4：实际背景下的问题指向是什么？
场地面积最大,就是函数S=l（30-l）在条件限制下能取到的最大值.
探究1（面积最值）
两条边长都要大于0.
解：矩形场地的周长是60ｍ，一边长为lｍ，则另一边长为（30-l）ｍ．
即S=－l2＋30l .
由题意得
S有最大值 .
探究1（面积最值）
场地的面积S=l(30－l)，
当 时，
当l是15ｍ时，场地的面积S最大.
0＜l＜30.
结合图像可知抛物线顶点是这个函数图象的最高点.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
思考1：涉及到哪些变量？
价格与利润
原价+变动价格=售价 售价—成本=利润 总利润=单价利润×销售量
思考2：变量间关系怎样？
探究2（销售最值）
涨价
价格变化
单件售价
每星期销售变化
最终销售量
销售额
总成本
降价
价格变化 -m元/件
单件售价 （60-m）元/件
每星期销售变化 +20m件
最终销售量 （300+20m）件
销售额 （60-m）（300+20m）元
总成本 40（300+20m）元
涨价行为下的利润为y=（60+x ）（300-10x ）-40（300-10x ）
降价行为下的利润为z=（60-m）（300+20m）-40（300+20m）
探究2（销售最值）
思考3：变量取值限制有哪些？
涨价
,降价
思考4：实际背景下的问题指向是什么？
探究2（销售最值）
涨价和降价两种不同的价格变动方式下，比较得出获利最大的价格变动方案.
解：设每件涨价x元，则每星期少卖10x件，实际卖出（300-10x）件,销售额为（60+x）（300-10x）元，买进商品需付40（300-10x）元.
当 时，
结合图像可知，在涨价的情况下，涨价5元，即定价为65元时，可以获得最大利润6250元。
探究2（销售最值）
y有最大值 .
所得利润y=（60+x）（300-10x）-40（300-10x）.
即y=-10x2+100x+6000.
由题意得 ,
0≤x≤30.
结合图像可知抛物线顶点是这个函数图象的最高点.
再来看降价的情况，设每件降价m元，则每星期多卖20m件，实际卖出（300+20m）件,销售额为（60-m）（300+20m）元，买进商品需付40（300+20m）元。
所得利润z=（60-m）（300+20m）-40（300+20m）
即z =-20m2+100m+6000（00）
结合图像可知，在降价背景下，降价2.5元，即定价为57.5元时，可以获得最大利润6150元。
探究2（销售最值）
当 时，
z有最大值
所以，定价65元时利润最大.
探究2（销售最值）
因为6150＜6250,
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m,水面下降1m ，水面宽度增加多少？
探究3（建坐标系）
思考1：涉及到哪些变量？
思考2：变量间关系怎样？
水位高低与水面宽度.
二次函数关系.
x
y
x
x
x
y
y
y
y=ax(x-4)
y=ax(x+4)
y=ax2+2
y=ax2
o
o
o
以1m为1个单位长度
探究3（建坐标系）
o
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m,水面下降1m，水面宽度增加多少？
探究3（建坐标系）
思考3：变量取值限制有哪些？
没有明确限制.
抛物线上纵坐标等于-2的两点间距离与纵坐标等于-3的两点间距离的变化情况.
思考4：实际背景下的问题指向是什么？
解：以抛物线顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点（2，-2），
这条抛物线表示的二次函数为y= x2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3，
可将y=-3代入函数y= x2,
可得x= ，实际水面宽度为 m，
水面宽度增加（ ）m.
结合实际情况建立适当的坐标系，更有利于问题的解决，需要统筹考虑：
1.解析式表达更简洁.
2.条件使用更便捷.
3.问题解决更直接.
探究3（建坐标系）
可得-2=a×22，a=
实际问题
归纳、抽象
回顾总结 感悟反思
二次函数模型
实际问题答案
利用函数图像和性质解题
目标
思考1：确定变量
思考2：确定函数解析式
思考3：确定变量限制
思考4：
确定问
题指向
同学们，再见！