高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）
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高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）
1．泉州模拟
21．（本小题满分12分）
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设
由得：
………………………………3分
直线PA的方程是：即 ①
同理，直线PB的方程是： ②
由①②得：
∴点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
…………………………10分
所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
设PA的直线方程是
由得：
即…………………………3分
即直线PA的方程是：
同理可得直线PB的方程是：
由得：
故点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
………………………………10分
故存在=1使得…………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
设函数在上是增函数。
（1） 求正实数的取值范围；
（2） 设，求证：
解：（1）对恒成立，
对恒成立
又 为所求。…………………………4分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，
即……………………………………8分
另一方面，设函数
∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………14分
2．扬州二模
20．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线的方程为，
则．
由，得，即．
∴ （3分）
解之得，∴．
∴双曲线的方程为． （5分）
(2) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即 ① （6分）
∵，
，
∴．
即． ② （8分）
把①代入②，得
③ （9分）
把代入并整理得
其中且，即且．
． （10分）
代入③，得
，
化简得 ．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使． （12分）
21．(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1) 求；
(2) 试比较与的大小（）；
(3) 求证：，（）．
解：(1) ∵， ①
∴． ②
②－①，得
，
即． （3分）
在①中令，可得．
∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）
(2) 由(1)可得
．
．
∴， （5分）
．
而，且，
∴，．
∴，（）． （8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴当时，．
∴
， （10分）
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，
．
∵，∴．
∴， （13分）
（当且仅当时取等号）．
∴．
（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）
3．北京朝阳二模
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
解：（I）
右准线，渐近线
……3分
（II）
双曲线C的方程为： ……7分
（III）由题意可得 ……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1） ……13分
（20）（本小题满分13分）
已知函数，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
解：（I）
……1分
……
将这n个式子相加，得
……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1
……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
又
均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。
三角高考数学题的常规解题途径
由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。
途径1：化成“三个一”
“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。
例1. （2004年全国）求的最小正周期、最大值和最小值。
分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。
简解：
所以
评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。
途径2：化成“两个一”
若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。
例2. （2004年广东）当时，函数的最值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成，却无法变成一次方形式，则走途径2。
，选（D）。
分析2：本题若用降幂公式变形为，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为，利用辅助角，得函数
，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得。
途径3：边角转换
若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。
例3. 在中，分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角B；（2）若，求a的值。
简解1（边化角）：
简解2（角化边）：
（2）因为，
所以，
得或3
评注：有些学生把条件变形为后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。
途径4：三角变换
三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。
例4. （2002年全国）已知，求的值。
分析：本题是由角的余弦求角的余弦，故用角变换。因为，而的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。
简解：
因为，
所以
故
评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。
途径5：等价转化
有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。
例5. （2004年广东）已知成公比为2的等比数列（），且也成等比数列，求的值。
分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为，代入后，再选用途径4求解。
简解：
因为
所以
所以
即
所以。以下从略。
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高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）
1．泉州模拟
21．（本小题满分12分）
过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设
由得：
………………………………3分
直线PA的方程是：即 ①
同理，直线PB的方程是： ②
由①②得：
∴点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
…………………………10分
所以
故存在=1使得…………………………………………12分
解法（二）：（1）∵直线PA、PB与抛物线相切，且
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且
设PA的直线方程是
由得：
即…………………………3分
即直线PA的方程是：
同理可得直线PB的方程是：
由得：
故点P的轨迹方程是……………………………………6分
（2）由（1）得：
………………………………10分
故存在=1使得…………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
设函数在上是增函数。
（1） 求正实数的取值范围；
（2） 设，求证：
解：（1）对恒成立，
对恒成立
又 为所求。…………………………4分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，
即……………………………………8分
另一方面，设函数
∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………14分
2．扬州二模
20．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．
(1) 求双曲线的方程；
(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线的方程为，
则．
由，得，即．
∴ （3分）
解之得，∴．
∴双曲线的方程为． （5分）
(2) 设在轴上存在定点，使．
设直线的方程为，．
由，得．
即 ① （6分）
∵，
，
∴．
即． ② （8分）
把①代入②，得
③ （9分）
把代入并整理得
其中且，即且．
． （10分）
代入③，得
，
化简得 ．
当时，上式恒成立．
因此，在轴上存在定点，使． （12分）
21．(本小题满分14分)
已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．
(1) 求；
(2) 试比较与的大小（）；
(3) 求证：，（）．
解：(1) ∵， ①
∴． ②
②－①，得
，
即． （3分）
在①中令，可得．
∴是首项为，公比为的等比数列，． （4分）
(2) 由(1)可得
．
．
∴， （5分）
．
而，且，
∴，．
∴，（）． （8分）
(3) 由(2)知 ，，（）．
∴当时，．
∴
， （10分）
（当且仅当时取等号）．
另一方面，当，时，
．
∵，∴．
∴， （13分）
（当且仅当时取等号）．
∴．
（当且仅当时取等号）．
综上所述，，（）．（14分）
3．北京朝阳二模
（19）（本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点。
（I）求证：；
（II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明。
解：（I）
右准线，渐近线
……3分
（II）
双曲线C的方程为： ……7分
（III）由题意可得 ……8分
证明：设，点
由得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1） ……13分
（20）（本小题满分13分）
已知函数，数列满足
（I）求数列的通项公式；
（II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；
（III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由。
（IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值。
解：（I）
……1分
……
将这n个式子相加，得
……3分
（II）为一直角梯形（时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为1
……6分
（III）设满足条件的正整数N存在，则
又
均满足条件
它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得
中满足条件的正整数N存在，共有495个， ……9分
（IV）设，即
则
显然，其极限存在，并且 ……10分
注：（c为非零常数），等都能使存在。
三角高考数学题的常规解题途径
由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。
途径1：化成“三个一”
“三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。
例1. （2004年全国）求的最小正周期、最大值和最小值。
分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。
简解：
所以
评注：由于解题思路方向明确，避免了盲目探索，使解题过程简明流畅。
途径2：化成“两个一”
若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。
例2. （2004年广东）当时，函数的最值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
分析1：本题为求最值问题，则考虑用途径1，根据函数的齐次特征，化成，却无法变成一次方形式，则走途径2。
，选（D）。
分析2：本题若用降幂公式变形为，也只能实现“两个一”。此时可将函数进一步变形为，利用辅助角，得函数
，变成了“三个一”的形式。再利用其有界性，求得。
途径3：边角转换
若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。
例3. 在中，分别为角A、B、C的对边，且，（1）求角B；（2）若，求a的值。
简解1（边化角）：
简解2（角化边）：
（2）因为，
所以，
得或3
评注：有些学生把条件变形为后，便思路受阻，显示他们对三角题的常规解法不熟。
途径4：三角变换
三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。
例4. （2002年全国）已知，求的值。
分析：本题是由角的余弦求角的余弦，故用角变换。因为，而的正、余弦值可用二倍角公式求出，则本题获解。
简解：
因为，
所以
故
评注：本题解法很多，每种方法都要经历复杂的三角变换，以及讨论角的范围。
途径5：等价转化
有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。
例5. （2004年广东）已知成公比为2的等比数列（），且也成等比数列，求的值。
分析：本题处于三角与数列的交汇点上，数列起过渡作用，重心在三角上。用途径5，先把角成等比转化为，代入后，再选用途径4求解。
简解：
因为
所以
所以
即
所以。以下从略。
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