安徽省池州市贵池区2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题（含答案）

贵池区2023～2024学年度第二学期期中教学质量检测
高二数学试题
（满分：150分 时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分，共40分）
1．在正项等比数列中，，，则的公比等于（ ）
A． B．2 C．4 D．
2．设，则 （ ）
A． B． C．5 D．20
3．若点在曲线上，且该曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的横坐标为（ ）
A． B．－ C．－ D．
4．等差数列的前n项和为，若，，则当取得最小值时，（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120 B．26
C．340 D．420
6．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是（ ）
A．有极大值
B．有极小值
C．有极大值
D．有极小值
7．5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种 B．90种 C．150种 D．240种
8．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A． (1－e－2 ,＋∞) B． (－e－2 ,0) C． (1,1＋e－2 ) D．(1－e－2 ,1)
二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列，下列结论正确的有（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，则数列是等比数列
D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列
11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．从左向右站，甲不站在最左边，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
12．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的值可以为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）
13．现有甲 乙两类零件共8件，其中甲类6件，乙类2件，若从这8件零件中选取3件，则甲 乙两类均被选到的方法共有__________种．（用数字填写答案）
14．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是______．
15．已知等比数列为递增数列，且，，则__________．
16．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则实数a的取值范围是_____________．
四、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17．已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，(e) 的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
18．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒．
19．在数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式成立的k的最大值．
20．在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，，求数列的前n项和Tn．
21． 某企业在2024年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．
（1）写出该企业今年生产这种产品的利润F(x)（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）预计今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：，，，）
22．已知．
（1）若存在最小值，求此时a的取值范围，并求出的最小值；
（2）当x≥1时，≥0恒成立，求a的取值范围．
池州市贵池区2023-2024学年第二学期高二年级期中素质检测数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D C D A C D AD ABD BCD CD
一、单选题（每题5分，共40分）
1.B 解：设数列的公比为q，则，解得负值舍去
2.A 解：因为
，所以
3.D 解：设点的横坐标为，因为，所以．因为切线的倾斜角为所以切线的斜率为，即=，所以．
4.C 解：，，
所以，，所以，
所以当时，取得最小值
5.D 解：根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，
分4步进行分析：
①，对于区域A，有5种颜色可选；
②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，
若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，
则区域D、E有种选择，
则不同的涂色方案有种
6.A 解：由函数的图象可知，
时，，，则；
时，，，；
时，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减．
有极大值
7.C 解：根据题意，分2步进行分析：
①将5名同学分为3组，
若分为1、2、2的三组，有种分组方法，
若分为1、1、3的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将分好的三组安排到3个小区，有种情况，
则有种不同的安排方法
8.D 解，
令，得，
设，则，
时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，当，
由题意，有两个不同的解，
即与的图像有两个不同的交点，
，解得，所以实数的取值范围是.
二、多选题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.AD 解：因为，，，，所以A、D正确．
10.ABD 解:对于选项A，由，得，则，故A项正确；
对于选项B，由得，
所以为等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，故B项正确；
对于选项C，因为，
当时，，
当时，，
将代入，得，
所以，所以数列不是等比数列，故C项错误.
对于选项D，设等差数列的公差为d，
由等差数列前项和公式可得，
所以与n无关，
所以数列为等差数列，故D项正确.故选：ABD.
11.BCD 解：根据题意，依次分析选项：
对于A，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种不同的排法，A错误；
对于B，若甲站在正中间，乙有4种站法，剩下3人全排列，有种排法，若甲不站在正中间，甲有3种站法，乙有3种站法，剩下3人全排列，有种排法，则有种不同的站法，B正确；
对于C，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，
其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有种不同的排法，C正确；
对于D，若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，第一个人有6种插法，第二个人有7种插法，则有种不同的安排方法，D正确.
12.CD 解：令，解得，故问题转化为方程有3个实数根.当时，令，解得，故当时，方程有2个实数根，令，即，显然不是该方程的根，令，
，故当时，，当时，，故当
时，有极小值6，而时，，当，且时，，故实
数m的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13. 36 解：甲、乙两类均被选到分两种情况：
①甲类2件，乙类1件，有种选法；
②甲类1件，乙类2件，有种选法，
所以共有种选法．
14. 解：由可得，
设和直线平行的曲线的切线的切点坐标为，
则，则，
则点到直线的距离即为点P到直线的最小距离，
即为
15.2 解：递增的等比数列中，，，
，，
和是一元二次方程的两个根，
，解得，，
，解得，
16. 解：由对于任意的 ，且，都有，
则对于任意的恒成立，
令，则不等式等价于对于任意的恒成立，
即在区间单调递增，
又由，可得，
则，即在恒成立，
即在恒成立，即在恒成立，
令，可得恒成立，
所以函数为单调递增函数，所以，
则，解得，所以实数的取值范围是.
四、解答题（17题10分，18-22每题12分）
17.解：（Ⅰ）由，得，
（e），又（e），
曲线在点，（e）的切线方程为，
即；............5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
由，得，由，得，
的单调减区间为，单调增区间为，．...........10分
18.解：甲、乙2人必须跑中间两棒，则有种排法，余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列，有种排法，
根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为........6分
甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒，则需要从甲、乙2人中选出1人，有种选法，然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种选法，另外6人中要选3人在剩余的三个位置上排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为
..................12分
解：由条件得，.................2分
所以数列是以为首项，公差的等差数列.
故，即.................6分
由知，
故
，.................10分
所以，解得，
结合得，k的最大值是 .................12分
解:（Ⅰ）∵，且，
∴，解得或 (舍).
∴............5分
（Ⅱ）解：因为，
当时，即，
当时，
所以，即，
当时也成立，所以，............8分
所以，
，
所以
，
所以.............12分
21.解：（1））设
由，可得，解得，
所以，.................2分
依题意得，
．.................6分
（2）由（1）得，，
则，.......8分
令，得，，得，
所以上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有
答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．.......12分
22.解：（1），则，
①当a<0时，恒成立，所以在上单调递增，故不存在最小值，不符合题意 ..........2分
②当时，令，解得，
当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，所以当时，取得最小值为．
综上所述，的取值范围为，的最小值为；............5分
（2）当x≥1时，恒成立，即，
等价于
令,则，............7分
令，则，则对x≥1恒成立，
所以在,上单调递增，所以，
则在,上单调递增，所以，
故在,上单调递增，所以，即的最小值为2，
所以a≤2．............12分