人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》同步教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》同步教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-29 15:58:59 | ||
图片预览
文档简介
！
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》
同步教学设计
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
教师备课 素材示例
●情景导入 现实世界中，平行四边形装点着我们的生活，学校门口的电动门、推拉门、绘画用的缩放支架，伸缩衣架……处处都有平行四边形的身影．
问题1：你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？
问题2：你认为平行四边形的定义是什么？
【教学与建议】教学：通过日常生活中的平行四边形实例感受平行四边形的含义，初步体验平行四边形的特征．建议：教学中教师要鼓励学生交流讨论，发表自己的看法.
●归纳导入 操作与探究：
同学们拿出准备好的剪刀、白纸，将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片△ABC和△A′B′C′，将它们相等的一边AB和B′A′重合放在平面上(使点A和点B′重合，点B和点A′重合)，得到一个四边形．
(1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；
(2)观察你所拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置和数量关系？对角有什么数量关系？
【归纳】平行四边形对边平行且相等，对角相等．
【教学与建议】教学：通过学生动手实践，加强知识的直观体验．建议：给学生充分的时间探究、交流，归纳平行四边形的边角特征．
◎命题角度1 识别平行四边形
平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．
【例1】如图，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF，GH相交于点O，图中平行四边形共有(B)
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
【例2】如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是__平行四边形__．
◎命题角度2 利用平行四边形边、角的性质求角度或边长
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，邻边的和等于周长的一半．
【例3】如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(D)
A．5 B．4 C．3 D．2
【例4】(1) ABCD中，若∠B＋∠D＝200°，则∠A＝__80°__；若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝__100°__；
(2)已知 ABCD的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝__6_cm__，BC＝__8_cm__．
◎命题角度3 平行线间距离的应用
两平行线间的距离相等，两平行线与它们之间的平行线段形成平行四边形．
【例5】如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是(D)
A.AB＝CD
B．EC＝GF
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
【例6】在平面直角坐标系xOy中， OABC的三个顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点的坐标是__(1，2)__．
◎命题角度4 平行四边形与等面积问题
利用平行四边形的面积公式和对平行四边形面积的分割，可以构造图形之间的相等关系．
【例7】如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，S△PDC＝3，S△PAB＝5，则S ABCD的值为(C)
A．4 B．15 C．16 D．20
【例8】如图，点E是平行四边形ABCD中AD边上任意一点，若平行四边形ABCD的面积是6，则△EBC的面积为__3__．
◎命题角度5 “角平分线＋平行线→等腰三角形”模型
平行四边形中两组对边分别平行，结合一个内角的平分线，构成角之间的等量关系可以得到等腰三角形．
【例9】如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(C)
A．2 B．3 C．4 D．6
【例10】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DAE等于(D)
A．100° B．80° C．60° D．40°
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3．理解两条平行线之间的距离的概念．
▲重点
平行四边形的对边、对角性质的探究与运用．
▲难点
运用性质解决一些具体问题．
◆活动1 新课导入
利用多媒体展示图片：
从以上图形中我们能发现哪些几何图形？你能给平行四边形下定义吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P41 18.1.1以上的内容．
提出问题：
(1)图18.1 1中的几何图形是什么？
(2)观察图18.1 2的特点，你能总结出平行四边形的概念吗？
(3)如何用字母表示平行四边形？表示时应注意什么？
(4)你还能举出一些平行四边形的例子吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P41～42 探究及例1以上的内容．
提出问题：
(1)平行四边形除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？
(2)教材P42是用什么方法证明平行四边形的边、角相等的？
(3)不添加辅助线，你能否证明平行四边形的对角相等？依据是什么？
(4)由此你能得出平行四边形边和角的性质吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P42 例1下面和P43 练习上面的内容．
提出问题：
(1)画图说明什么叫做点到直线的距离？
(2)由图18.1 5可以得出什么结论？在图18.1 5中再画几条线段，看一看结论是否仍然成立？
(3)什么叫做两条平行线之间的距离．
(4)两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作“__ ABCD__”．
2．平行四边形的对边__平行且相等__，对角__相等__，邻角__互补__，邻边的和等于__周长__的__一半__．
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做__这两条平行线之间的距离__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P42 例1.
例2 如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO的面积相等．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO，即△EGO与△FHO的面积相等．
练习
1．教材P43 练习第1，2题．
2．在 ABCD中，AD＝4 cm，AB＝2 cm，则 ABCD的周长等于( A )
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
3．如图，点P在 ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有__9__个平行四边形．
4．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为__25°__．
5．如图，在 ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°，∴∠BCN＝∠DCM＝45°，∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝135°－45°－45°＝45°.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形的概念．
2．利用平行四边形边和角的性质解决问题．
3．两条平行线之间的距离的概念及应用．
1．作业布置
(1)教材P49～50 习题18.1第1，2，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 平行四边形对角线的性质
教师备课 素材示例
●复习导入 1.什么是平行四边形？
两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号__ __表示．
2．平行四边形的性质有哪些？
平行四边形的对边__平行__且__相等__，对角__相等__，邻角__互补__．
【教学与建议】教学：复习平行四边形的定义和性质，对学习平行四边形对角线性质作铺垫．建议：学生回答后，教师展示平行四边形图形，数形结合加深巩固．
●置疑导入 老人有一块呈平行四边形形状的土地，由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按如图分的.
同学们：老人这样分地合理吗？
这样分地合理不合理，这节课学行四边形对角线的性质就知道答案了．
【教学与建议】教学：用实际问题(置疑)创设情境导入新课，让学生感受到数学知识来源于生活，又服务于生活．建议：教师故事性地提出问题后，再提醒学生平分面积应想到什么知识．
◎命题角度1 利用平行四边形对角线的性质求线段长度
解决此类问题的主要依据是平行四边形的两组对边分别相等、对角线互相平分．
【例1】如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【例2】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝8，AC＋BD＝20，则△BOC的周长为__18__．
◎命题角度2 利用平行四边形的对角线互相平分证明问题
在求解平行四边形的有关问题时，除可以考虑证明三角形全等以外，还应注意运用平行四边形的性质．
【例3】如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OB＝OD，∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，∴DE＝BF，∴OD－DE＝OB－BF，∴OE＝OF.
◎命题角度3 利用平行四边形的对角线互相平分确定边的取值范围
此类问题考查平行四边形的边及对角线的性质，结合三角形的三边关系，特别是三角形的第三边大于另两边的差，并且小于另两边的和．
【例4】在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1＜OA＜4__．
【例5】如图，在 ABCD中，AC＝14，BD＝10，AD＝a，则a的取值范围是__2◎命题角度4 平行四边形性质的综合运用
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．当所给条件涉及对角线时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质解决问题．
【例6】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(D)
A．28 B．24 C．21 D．14
【例7】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF，交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积有何关系？
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF；
(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴S△ABC＝S△CDA.由(1)可知△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF.又∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S△AOE－S△COF，S四边形FCDE＝S△CDA＋S△COF－S△AOE，∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.
高效课堂 教学设计
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形对角线的性质解决有关平行四边形的计算问题和简单的证明题．
▲重点
平行四边形对角线的性质．
▲难点
平行四边形对角线性质的运用．
◆活动1 新课导入
如图，在纸上画 ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边缘画一个与 ABCD相同的 EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋转180°后，它能与 EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的 ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？
可以得到： ABCD的对边相等，对角相等．
可以发现：OA与OC，OB与OD可以完全重合，即OA＝OC，OB＝OD，这节课我们来继续学习平行四边形的性质．
◆活动2 探究新知
教材P43 探究．
提出问题：
(1)什么叫做平行四边形的对角线？
(2)如图，在 ABCD中，可以通过证明哪两个三角形全等，从而得到OA＝OC，OB＝OD，请写出证明过程；
(3)平行四边形的对角线具有什么性质？
(4)△ABC，△DBC，△CAD，△BAD的面积与 ABCD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(5)△AOD，△ABO，△BCO，△CDO与 ABCD的面积有怎样的数量关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线__互相平分__．
2．平行四边形的面积＝底×__高__．
3．平行四边形的两条对角线分成的四个三角形的面积__相等__，每个三角形的面积是平行四边形面积的____．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P44 例2.
例2 如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上．求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
例3 如图①，在 ABCD中，O为对角线BD，AC的交点．
(1)求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)S△ABP＝S△CBP.理由如下：在 ABCD中，点A，C到BD的距离相等，设为h′，则S△ABP＝BP·h′，S△CBP＝BP·h′，∴S△ABP＝S△CBP.
练习
1．教材P44 练习第1，2题．
2．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( A )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
3．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( C )
A．3 B．6 C．12 D．24
4．如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF.∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠DEO＝∠BFO＝90°.在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF(AAS)，∴OE＝OF.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形对角线的性质．
2．平行四边形对角线性质的运用．
1．作业布置
(1)教材P49～51 习题18.1第3，14，15题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
教师备课 素材示例
●情景导入 小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的师傅很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？
【教学与建议】教学：情景问题从日常生活入手，激发了学生的学习兴趣．建议：对于情景题目，教师引导学生讨论回答，然后教师总结点评，明确定义可以当性质用，也可以当判定用．
●类比导入 问题1：平行四边形的性质有哪些？(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分．
问题2：怎样判定一个四边形是平行四边形呢？
问题3：类比前面平行线、垂直平分线等图形的性质和判定定理之间的关系，你能否给出关于平行四边形判定定理的猜想呢？
【教学与建议】教学：复习旧知，类比利用几何图形的性质，找出命题的逆命题，探索平行四边形的判定定理．建议：把平行四边形的性质按照边、角、对角线三个方面进行分类，尝试证明平行四边形．
◎命题角度1 利用平行四边形的定义判定四边形是平行四边形
已知一组对边平行，可以通过证明另一组对边也平行，来证明这个四边形是平行四边形．
【例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，那么还需满足(A)
A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠C＝180°
【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A＝__100°__．
◎命题角度2 利用对边的数量关系判定四边形是平行四边形
已知一组对边相等，可以通过证明另一组对边也相等来判定四边形是平行四边形．
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(C)
A．110° B．80° C．70° D．90°
【例4】如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出 ABEC，其中E是格点；
(2)请用平行四边形的判定方法说明画图的合理性．
解：(1)如图；
(2)设每个小方格边长为1，则AC＝BE＝，AB＝CE＝，
∴四边形ABEC是平行四边形(平行四边形判定定理1).
◎命题角度3 利用对角线的平分关系判定四边形是平行四边形
利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一定理判定四边形是平行四边形，先找出四边形的对角线，再证明相等．
【例5】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC⊥BD D．AD∥BC，AD＝DC
【例6】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC与BD交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
◎命题角度4 利用对角的数量关系判定四边形是平行四边形
若已知四边形的一组对角相等，则可以通过证明另一组对角也相等证明四边形是平行四边形，或证明两组对角相等判定四边形是平行四边形．
【例7】下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
【例8】如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等边三角形，
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠ECF＝120°，∴四边形AFCE是平行四边形．
高效课堂 教学设计
1．掌握平行四边形的判定定理1，2，3.
2．能熟练运用平行四边形的三种判定定理．
▲重点
平行四边形判定定理的证明．
▲难点
平行四边形判定定理的综合运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的性质．
2．平行四边形不一定具有的性质是( B )
A．对角相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．内角和是360°
◆活动2 探究新知
教材P45 内容．
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，你能证明四边形ABCD是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(2)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，你能证明四边形是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(3)结合图18.1 10掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的证明方法，你还有其他的证明方法吗？
(4)由此你能得出哪些判定平行四边形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
定理1：两组__对边__分别相等的四边形是平行四边形．
定理2：两组__对角__分别相等的四边形是平行四边形．
定理3：对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.
又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
例2 教材P46 例3.
例3
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
练习
1．教材P47 练习第1，2题．
2．
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( C )
A．110° B．80° C．70° D．90°
3．在四边形ABCD中下面给出的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是( B )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
4．如图，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.又∵AF＝CH，DE＝BG，∴AE＝CG，FB＝DH.在△AEF和△CGH中，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF＝GH.同理，可证EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形的判定定理．
2．平行四边形判定定理的综合运用．
1．作业布置
(1)教材P50 习题18.1第9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 平行四边形的判定(2)
教师备课 素材示例
●情景导入 观察下面两幅图片并思考问题．
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
【教学与建议】教学：通过生活实例引入新课，激发学生学习的兴趣．建议：首先复习平行四边形的性质与判定，再将思考问题转化为几何模型，进行推理论证．
●置疑导入 用几何画板先构造线段AB，平移线段AB得到线段DC，连接AD，BC，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
学生猜想四边形ABCD的形状，再用三角尺进行测量，确认四边形ABCD是平行四边形，提出问题：怎样证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形？
【教学与建议】教学：通过动手操作实践，激发学生强烈的好奇心和求知欲．建议：教师教学中要鼓励学生自主证明这个猜想，并鼓励他们多角度思考问题、用多种方法去证明．
◎命题角度1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形
已知四边形的一组对边，如果已相等，那么证明平行或如果已平行，那么证明相等，都能判定这个四边形是平行四边形．
【例1】如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需条件(D)
A．AB＝DC B．∠1＝∠2
C．AB＝AD D．AD＝BC
【例2】如图，在 ABCD中，AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
又∵AE＝CF，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
◎命题角度2 平行四边形判定的灵活运用
平行四边形的五种判定方法中有三种方法都与边有关，所以利用对边关系判定平行四边形的方法多且较简单，一般思路：证明两组对边分别平行或两组对边分别相等或一组对边平行且相等．
【例3】下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是(A)
①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CD.
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】如图，已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AC＝10，BD＝6，则当AO＝__5__，DO＝__3__时，四边形ABCD是平行四边形．
◎命题角度3 平行四边形判定的动点问题
在有关平行四边形判定的探究型问题中，要会判定一个四边形是平行四边形．解决运动型问题的关键是把运动的问题转化为静止的问题，以静制动，同时注意不同的情况．
【例5】如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别是四边形ABQP和四边形PQCD.设运动时间为t s，当t为何值时，其中一个四边形是平行四边形．
解：根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm.
①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，∴30－2t＝t，解得t＝10.②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，∴24－t＝2t，解得t＝8.∴当P，Q同时出发8 s或10 s后，其中一个四边形是平行四边形．
◎命题角度4 平行四边形的性质和判定的综合应用
平行四边形的性质和判定的综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再运用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形．
【例6】如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O.求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OE＝OF.
高效课堂 教学设计
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的各种判定方法和性质来进行推理或计算．
▲重点
平行四边形的判定定理．
▲难点
平行四边形判定定理的灵活运用．
◆活动1 新课导入
1．请同学们归纳：平行四边形的判定方法．
学生归纳
2．如图，取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固得到的四边形是平行四边形吗？请说明理由.
今天我们继续学习平行四边形的判定方法．
◆活动2 探究新知
教材P46 思考．
提出问题：
(1)如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形才能成为平行四边形？
(2)阅读教材P46的证明过程，请指出该证明的依据是什么？
(3)你能用两组对角分别相等证明该问题吗？请写出你的证明过程；
(4)你能用对角线互相平分证明该问题吗？请写出你的证明过程；
(5)到目前为止，你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
平行四边形的判定定理：
判定定理1：两组对边__分别相等__的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角__分别相等__的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线__互相平分__的四边形是平行四边形；
判定定理4：一组对边__平行且相等__的四边形是平行四边形．
注意：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形；
②一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形；
③两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定该四边形是平行四边形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P47 例4.
例2 如图，已知E，F是四边形ABCD对角线上两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，试说明四边形ABCD为平行四边形．
解：由AF＝CE，得AE＝CF.又∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠DFC＝∠BEA.又∵DF＝BE，∴△CDF≌△ABE(SAS)，∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，∴CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形．
例3 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构造命题．以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
解：以①②作为条件构成的命题是真命题．证明如下：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD.在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD.∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
练习
1．教材P47 练习第3，4题．
2．在四边形中，有两条边相等，另外两边也相等，则这个四边形( C )
A．一定是平行四边形
B．一定不是平行四边形
C．可能是平行四边形，也可能不是平行四边形
D．上述答案都不对
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，问几秒时，四边形ABQP是平行四边形？
解：设x s时，四边形ABQP是平行四边形．根据题意，得AP＝x，CQ＝2x，∴BQ＝6－2x，只有AP＝BQ时，四边形ABQP才是平行四边形，∴x＝6－2x，解得x＝2，∴2 s时，四边形ABQP是平行四边形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形的判定定理．
2．平行四边形判定定理的综合运用．
1．作业布置
(1)教材P50 习题18.1第5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 三角形的中位线
教师备课 素材示例
●情景导入
如图，观察思考：
问题1：图中的所有三角形有什么共同特征？
问题2：这个图是怎样画出来的呢？
【教学与建议】教学：让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系．建议：问题1由学生口答完成，问题2观察得出：连接三角形两边的中点得到，形成三角形的中位线的形象．从而教师导入课题．
●置疑导入 将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求平均分，该如何切割？
画一个三角形，并尝试找到切割线，交流自己的方法．今天我们将用中位线的方法切割三角形．
【教学与建议】教学：通过置疑操作实践导入新课，为学习三角形的中位线做好铺垫．建议：让学生动手操作，画出三角形的中位线，猜想并验证中位线定理．
◎命题角度1 利用三角形中位线定理解决有关计算问题
利用“三角形的中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边的数量关系——等于第三边的一半”进行有关计算．
【例1】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是__12__．
◎命题角度2 利用三角形的中位线定理解决有关证明问题
三角形中如果出现两条边的中点，那么可以利用三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系证明有关问题．
【例3】如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA＝CD，AE＝EB.求证：EF＝BD.
证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF为AD边上的中线，∴F为AD的中点．∵AE＝EB，∴E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD.
【例4】我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是__平行四边形__；
(2)请证明你的结论．
证明：连接AC.∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC.同理可证：HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
◎命题角度3 适当添加辅助线利用三角形的中位线定理解决有关问题
当题目中涉及中点时，通过添加辅助线构造出三角形中位线，进而利用三角形的中位线定理解决有关问题．
【例5】如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D.若AB＝10，AC＝14，则DM等于(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
【例6】如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，点D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，EF.求证：DE＝EF.
证明：连接BN，CM.在等边三角形ABM和等边三角形CAN中，AM＝AB，AC＝AN，∠MAB＝∠CAN＝60°，∴∠MAB＋∠CAB＝∠CAN＋∠CAB，即∠MAC＝∠BAN，∴△MAC≌△BAN(SAS)，∴MC＝BN.又∵D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，∴DE＝MC，EF＝BN，∴DE＝EF.
高效课堂 教学设计
1．了解三角形的中位线的定义，注意与三角形的中线的区别．
2．掌握三角形的中位线定理，并能灵活地运用．
▲重点
识记三角形的中位线定义、定理．
▲难点
三角形中位线定理的灵活运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．回顾三角形的中线的概念．
3．如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长，你知道这是什么原理吗？
今天我们来学习中位线的有关知识．
◆活动2 探究新知
1．教材P47 练习下面的内容．
提出问题：
(1)什么叫做三角形的中位线？
(2)一个三角形有几条中位线？
(3)三角形的中位线和中线一样吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P48 探究．
提出问题：
(1)阅读教材P48中位线定理的证明过程，掌握其辅助线作法，指出证明思路是什么？
(2)“綊”表示什么？
(3)你还有其他的证明中位线定理的方法吗？如果有，请写出证明过程．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．三角形中位线的定义：连接三角形__两边中点__的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线__平行__于三角形的第三边，并且等于第三边的__一半__．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是__10__cm.
例2 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC.∵点E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC.
同理可得GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
例3 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，AM⊥CM，垂足为M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD和△AMC中，∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵点N为BC的中点，∴BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝BD＝(AB－AD)＝×(5－3)＝1.
练习
1．教材P49 练习第1，2题．
2．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( C )
A． B．3 C．6 D．9
3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是__40__m，理由是__三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半__．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别为边BC，AC的中点．求证：DF＝BE.
证明：∵E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴∠EFC＝∠BAC＝90°.又∵AD＝AB，∴EF＝AD.又∵∠EFC＝∠DAF＝90°，FC＝AF，∴△CFE≌△FAD，∴EC＝DF.又∵EC＝BE，∴DF＝BE.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．三角形中位线的概念和定理．
2．运用三角形的中位线定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P51 习题18.1第11，12，13题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
教师备课 素材示例
●情景导入
1．展示生活图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：它们应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？为什么？
3．再次演示平行四边形的拉动过程，当拉动到一个角是直角时停止(如图)，让学生观察这是什么图形？引出本节课题及矩形的定义．
【教学与建议】教学：通过平行四边形教具，操作探究矩形与平行四边形之间的关系，体会矩形与平行四边形的区别和联系．建议：在展示平行四边形教具由平行四边形变为矩形的过程后让学生说出矩形的性质．
●归纳导入 已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片(如图)，观察图中有哪些图形是矩形？矩形有哪些性质呢？
【归纳】有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．矩形的对边__平行且相等__，四个角都是__直角__，对角线__互相平分且相等__．
【教学与建议】教学：复习平行四边形性质，并利用生活中的矩形图片导入新课，归纳矩形的定义和性质．建议：类比平行四边形的定义和性质，猜测矩形的性质，确定矩形的定义．
◎命题角度1 利用矩形的性质计算线段的长度或角的度数
由矩形的对角线相等且互相平分，得到四个等腰三角形，再由矩形提供的直角及相等的线段容易求出角的度数及有关线段的长度．
【例1】如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18° B．36° C．45° D．72°
【例2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__16__．
◎命题角度2 利用矩形的性质解决证明问题
由矩形的性质提供相等的线段或角，构造全等三角形来解决问题．
【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴AE＝CF.
【例4】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
◎命题角度3 矩形的对称性
矩形具有对称性，利用矩形的对称性作出辅助线构造相等的线段，可以解决几条线段和的最值问题．
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是__10__．
◎命题角度4 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题
直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．利用这些性质解决线段的倍分关系问题．
【例6】如图，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是(D)
A．10 B．2 C．8 D．2
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为__1__．
高效课堂 教学设计
1．掌握矩形的概念和性质，了解矩形与平行四边形的关系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
▲重点
矩形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
▲难点
矩形性质的证明及灵活应用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．观察思考，如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即 ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？
今天我们来学习特殊的平行四边形——矩形的有关知识．
◆活动2 探究新知
1．教材P52 思考以上的内容．
提出问题：
(1)拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是平行四边形吗？
(2)拉动到有一个角是直角，然后观察这个教具，你有什么发现？
(3)由此你能得出矩形的概念吗？你能举出一些关于矩形的例子吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P52 思考．
提出问题：
(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.由于矩形是特殊的平行四边形，请说出其具有哪些性质？
(2)如图，在矩形ABCD中，AC，BD是其对角线．试证明：①AC＝BD；②∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°；
(3)由此你还能列举出矩形具有而平行四边形不具有的性质吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P53 思考．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
2．矩形的性质：矩形的对边__平行且相等__，四个角都是__直角__，对角线__互相平分且相等__．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P53 例1.
例2 如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
解：(1)∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)∵DE＝AE，DF＝AF，∴E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
练习
1．教材P53 练习第1，2，3题．
2．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为( D )
A．1 cm B．2 cm C．2.5 cm D．4 cm
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠FED＝90°.
∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(AAS)，∴BE＝CD，
∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA.
∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．矩形的概念和性质．
2．运用矩形的概念和性质解决问题．
3．直角三角形斜边上的中线的性质．
1．作业布置
(1)教材P60～62 习题18.2第4，9，12(1)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 矩形的判定
教师备课 素材示例
●置疑导入 为了防蚊虫，数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时，数学老师只利用卷尺巧妙地测量一番后，就指出该纱门是正规的．同学们知道数学老师是如何判断纱门是否是矩形吗？
【教学与建议】教学：导入材料不仅指出了研究矩形判定的必要，更是结合实际需求让学生体会到数学的应用价值．建议：可用两对长短不一的木条制作一个简易矩形框架，要求学生借助测量工具判断所制作的框架是矩形．
●类比导入 请填写下表，说一说平行四边形和矩形的联系与区别．
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补 每个角都是90°
对角线 互相平分 互相平分且相等
如何进行平行四边形的判定呢？我们是如何获取这个探究思路的？我们已经知道，根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判断一个四边形是不是矩形．除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？
【教学与建议】教学：在类比平行四边形和矩形的过程中回顾两者的性质，促使学生类比平行四边形的判定方法来思考矩形的判定方法．建议：让学生边观察边填表，复习归纳平行四边形的判定定理，类比出矩形的判定定理．
◎命题角度1 考查判定矩形的条件
若图形中不存在对角线，则利用定义或三个直角来判定矩形；若图形中有两条对角线，则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”加以判定．
【例1】在 ABCD中，增加一个条件，四边形ABCD就成为矩形，这个条件是(B)
A．AB＝CD B．∠A＋∠C＝180°
C．BD＝2AB D．AC⊥BD
【例2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
◎命题角度2 根据矩形的判定定理进行相关的证明
矩形的判定有两种基本思路：1.由角入手直接证明；2.在平行四边形的基础上根据角或对角线的性质进行证明．
【例3】如图，在 ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB.求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∵E是DC边的中点，∴DE＝EC.在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE(SSS)，∴∠D＝∠C.∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．
【例4】如图，E为 ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，对角线AC，BD交于点O.试说明： ABCD是矩形．
解：连接OE.∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.又∵O为AC的中点，∴OE＝AC，同理OE＝BD，∴AC＝BD，∴ ABCD为矩形．
◎命题角度3 矩形的判定定理在实际生活中的应用
检验四边形的两组对边是否相等以及其对角线是否相等，结合矩形的定义和判定定理去解决问题．
【例5】用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__对角线相等的平行四边形是矩形__．
◎命题角度4 矩形的性质与判定的综合
根据矩形的性质得到相等的线段和角，再利用线段和角之间的关系判断另一个图形是矩形．
【例6】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB.当AB，BC满足条件__BC＝2AB__时，四边形PEMF为矩形．
【例7】如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝CG＝BF＝DH，∴OE＝OG＝OF＝OH.∵OE＋OG＝OF＋OH，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．
高效课堂 教学设计
1．会证明矩形的两个判定定理．
2．会用矩形定义及判定定理判定一个四边形是否为矩形，并能进行有关计算与论证．
▲重点
矩形的判定定理及应用．
▲难点
矩形的判定与性质的综合运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾矩形的概念和性质．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．
3．矩形有什么性质？你能写出这些性质的逆命题吗？逆命题都是真命题吗？
今天我们来学习矩形的判定．
◆活动2 探究新知
1．教材P54 第1个思考．
提出问题：
(1)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AC＝BD，求证四边形ABCD是矩形；
(2)请完成(1)中的证明过程，并说明该证明的依据是什么？
(3)工人师傅在做门窗时，为什么要量两组对边的长度和两条对角线的长度？你能解释其中的道理吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P54 第2个思考．
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，求证四边形ABCD是矩形；
(2)请写出(1)中的证明过程，并说明该证明的依据是什么？
(3)由此可以得到哪些判定矩形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
矩形的判定定理：
1．对角线__相等__的平行四边形是矩形．
2．有三个角是__直角__的四边形是矩形．
3．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P54 例2.
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OB＝OD，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．
例3 如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理，∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
练习
1．教材P55 练习第1，2题．
2．下列结论正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有__①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)__．(填序号)
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．矩形的判定定理．
2．运用矩形的性质和判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～61 习题18.2第3，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
教师备课 素材示例
●归纳导入 出示部分图片(给学生发挥想象的余地)，从图片中发现了哪些熟悉的图形？这些图形有哪些共同特征？①都是__平行四边形__；②__四条__边都相等.
【归纳】__有一组邻边相等__的平行四边形叫做菱形．
【教学与建议】教学：选取菱形图片吸引学生注意力，初步感知菱形．建议：要求举例身边的菱形，类比平行四边形性质的学习展开新课．
●置疑导入 如图，准备四根木棒拼成平行四边形，使其一边慢慢地平移，提出问题：整个变化过程中四边形是否一直是平行四边形？当相邻两边长度相等时停止移动，则此时的四边形与原平行四边形有什么不同？
【教学与建议】教学：通过图形的变化，让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例．建议：抓住菱形定义两个关键点：一是平行四边形，二是一组邻边相等．
◎命题角度1 利用菱形的性质进行计算
菱形的四条边都相等，如果菱形中出现“30°角”“60°角”“120°角”“一边等于最短的对角线”这些词语，可得出等边三角形；菱形的对角线互相垂直，可以用到勾股定理.
【例1】如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(A)
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形，若点A的坐标是(3，4)，则点C坐标为__(8，4)__．
◎命题角度2 利用菱形的性质进行证明
菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，可以应用等腰三角形或直角三角形的知识来解决．
【例3】如图，四边形ABCD为菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.
求证：(1)△ABE≌△ADF；
(2)CE＝CF.
证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
(2)∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF.
∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，
∴BC－BE＝CD－DF，∴CE＝CF.
◎命题角度3 利用菱形的性质解决实际问题
借助作图分析题目的方式将现实中的菱形问题转化成数学问题，然后利用菱形的相关性质解决．
【例4】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是(D)
A．45° B．90° C．75° D．60°
◎命题角度4 分情况讨论对角线长度
菱形对角线互相垂直，在题意中不明确指出是哪条对角线，则分两种情况，在直角三角形中利用勾股定理求值．
【例5】菱形的一条对角线长是4 cm，两个相邻的内角度数之比是1∶2，则另一条对角线的长是__4或__cm.
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算．
2．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
▲重点
菱形的概念、性质及菱形面积的计算．
▲难点
菱形与平行四边形之间的关系和灵活运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．请同学们拿出准备好的纸片，对折两次，折出一个直角，剪一刀，得到一个直角三角形，再将它展开得到一个四边形(教师先演示，学生再动手操作).
观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？
今天我们来学习特殊的平行四边形——菱形的有关知识．
◆活动2 探究新知
教材P55～56 内容．
提出问题：
(1)当一个平行四边形的一组邻边相等时，此时的特殊平行四边形是什么图形？
(2)你还能举出生活中一些类似(1)中的图形吗？
(3)菱形是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质？你能作出猜想并证明吗？
(4)观察图18.2 8，你能发现对角线分成的四个三角形之间有什么关系吗？
(5)已知菱形的两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
(6)菱形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．菱形的定义：有一组__邻边__相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
(1)菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；
(2)菱形的四条边都__相等__；菱形的两条对角线互相__垂直__，并且每一条对角线平分__一组对角__；
(3)菱形是__轴对称__图形，它的__对角线所在的直线__就是它的对称轴.
3．菱形的面积等于两条对角线__乘积的一半__，也可以用底乘__高__计算菱形的面积．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P56 例3.
例2 如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是( D )
A．BO＝DO B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD D．AO＝DO
例3 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH.求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.
又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.
练习
1．教材P57 练习第1，2题．
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( D )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．四条边相等
3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于____．
4．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.
证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．菱形的概念和性质．
2．运用菱形的性质解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～62 习题18.2第5，12(2)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 菱形的判定
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，将两张等宽的纸条交叉，重合部分是四边形ABCD，量一量并说明它是什么特殊的平行四边形．
【教学与建议】教学：通过动手操作及量一量活动，激发学生的想象、思维和发现．建议：引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
●置疑导入
如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
继续转动木条，当两根木条互相垂直时，橡皮筋围成的四边形有什么特征？你能证明你的猜想吗？
【教学与建议】教学：通过图形的变化，感受对角线互相垂直的平行四边形是菱形，自然地得出菱形的判定方法．建议：在得到菱形判定方法的时候强调对角线应满足：互相垂直平分．
◎命题角度1 灵活选择方法判定四边形是菱形
菱形的判定思路：①若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；②若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．
【例1】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O.已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)求BD的长．
解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴ ABCD是菱形；(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD.∵AB＝AC＝4，△ABC是等边三角形，∴AO＝AC＝2，∴BO＝2，∴BD＝2OB＝4.
【例2】如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．
证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC.∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BEDF是菱形．
◎命题角度2 补充条件证明四边形是菱形
根据题意灵活选择菱形的判定方法，合理添加条件，考查学生倒序推理的能力．
【例3】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(A)
A．AD＝CD B．AB＝AC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
【例4】如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件__OB＝OD__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
◎命题角度3 利用折纸等动手操作获取菱形
利用折纸或者叠合纸片可以得到菱形，根据题意，选择菱形的定义或判定定理进行判断．
【例5】如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD是__菱形__，若AD＝6，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是__18__．
【例6】如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，∴∠DAM＝∠AMD，∴DA＝DM＝AB＝BM，∴四边形ABMD是菱形．
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握菱形的定义及其他两个判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
▲重点
菱形的判定方法．
▲难点
菱形判定定理的证明及运用．
◆活动1 新课导入
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形，除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个轴对称图形，具有如下的性质：(1)两条对角线互相垂直平分；(2)四条边都相等；(3)每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
今天我们来学习菱形的判定方法．
◆活动2 探究新知
教材P57 练习下面的内容．
提出问题：
(1)除了菱形的定义外，你还有其他判定菱形的方法吗？
(2)如图，在 ABCD中，AC⊥BD，垂足为点O，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)四条边相等的四边形是菱形吗？
(4)请归纳一下菱形的判定方法．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
菱形的判定定理：
(1)有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形；
(2)对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；
(3)四条边相等的__四边形__是菱形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P57 例4.
例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
例3 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC；
(2)四边形ADCF是菱形．证明如下：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∴四边形ADCF是菱形．
练习
1．教材P58 练习第1，2，3题．
2．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( C )
3．如图，在 ABCD中，AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__AC⊥EF(答案不唯一)__．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
4．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.求证：四边形EFCD是菱形．
证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED＝CD，∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°，∴AB∥CD，DE∥CF.又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．∵ED＝CD，∴四边形EFCD是菱形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．菱形的判定定理．
2．运用菱形的判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～61 习题18.2第6，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.2.3 正方形
教师备课 素材示例
●类比导入 1.问题：矩形的性质有哪些？菱形呢？
2．操作：你能将一个矩形折叠成一个正方形吗？给一个菱形框架，你能将它改成正方形吗？
【教学与建议】教学：通过折叠裁剪得出正方形，使学生明白，有一组邻边相等的矩形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．建议：从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结．
●情景导入 相框、信封、明信片、田字格，还有在中国流传了数百年的神奇玩具——华容道、七巧板，都有矩形和正方形的影子，同时正方形也是最完美的图形之一．你能指出生活中的正方形吗？你能将一张长方形的纸折成一个正方形吗？正方形有哪些性质呢？
【教学与建议】教学：举例折叠正方形，明白正方形的概念，对正方形产生感性认识．建议：可以引导学生借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分别进行探索．
◎命题角度1 利用正方形的性质计算或证明
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，它隐含了图形中有许多相等的线段与角、互相垂直的线段、垂直平分的线段等条件．
【例1】如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED为(C)
A．15° B．35° C．45° D．55°
【例2】如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．35 D．40
◎命题角度2 正方形的判定方法
【例3】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【例4】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠E＝90°，且BE＝CE，∴平行四边形BECF是正方形．
◎命题角度3 多个正方形综合的问题
当多个正方形有公共顶点结合在一起的时候，存在直角三角形，全等三角形，可以通过勾股定理或证明全等三角形找到相等线段来证明相关结论或解决线段长度问题．
【例5】如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__6.5__．
【例6】如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H.
(1)试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∠DAF＝∠EAB，AE＝AF，∴∠AFH＝90°.∵∠DAB＝90°＝∠DAF＋∠FAB，∴∠EAB＋∠FAB＝90°，即∠FAE＝90°.在四边形AEHF中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，AF＝AE，∴四边形AFHE是正方形；
(2)设AE＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋EB2，即132＝x2＋(x＋7)2，解得x＝5，∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12，∴DF＝BE＝12.∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17.
高效课堂 教学设计
1．掌握正方形的概念、性质，并会灵活运用．
2．理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系．
3．掌握正方形的判定方法，能灵活运用正方形的性质与判定进行推理或计算．
▲重点
正方形的定义、性质和判定及运用方法．
▲难点
对正方形与其他平行四边形之间关系的理解．
◆活动1 新课导入
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
今天我们来学习正方形的有关知识．
◆活动2 探究新知
教材P58 部分内容．
提出问题：
(1)什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？什么样的平行四边形是正方形？
(2)正方形有哪些性质？
(3)正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它的对称轴是什么？
(4)如何判定一个四边形是正方形？你能写出相应的证明过程吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．正方形的概念：
(1)有一组邻边__相等__的矩形是正方形；
(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形．
2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质．
(1)正方形的四条边都__相等__；
(2)正方形的四个角都是__直角__；
(3)正方形的两条对角线互相__垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分__一组对角，它的对角线与每条边的夹角都是__45°__．
3．正方形是轴对称图形，它有__4__条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线．
4．正方形的判定定理：
(1)有一组__邻边相等__的矩形是正方形；
(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形；
(3)对角线__互相垂直__的矩形是正方形；
(4)对角线相等的__菱形__是正方形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P58 例5.
例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．
练习
1．教材P59～60 练习第1，2，3题．
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C )
A．14 B．15 C．16 D．17
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是__45°__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．
解：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝BC＝AD.由(1)，得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．正方形的概念、性质和判定定理．
2．平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系．
3．运用正方形的性质和判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P61～62 习题18.2第7，12(3)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》
同步教学设计
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
教师备课 素材示例
●情景导入 现实世界中，平行四边形装点着我们的生活，学校门口的电动门、推拉门、绘画用的缩放支架，伸缩衣架……处处都有平行四边形的身影．
问题1：你能举出一些日常生活中的平行四边形的例子吗？
问题2：你认为平行四边形的定义是什么？
【教学与建议】教学：通过日常生活中的平行四边形实例感受平行四边形的含义，初步体验平行四边形的特征．建议：教学中教师要鼓励学生交流讨论，发表自己的看法.
●归纳导入 操作与探究：
同学们拿出准备好的剪刀、白纸，将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片△ABC和△A′B′C′，将它们相等的一边AB和B′A′重合放在平面上(使点A和点B′重合，点B和点A′重合)，得到一个四边形．
(1)你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；
(2)观察你所拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置和数量关系？对角有什么数量关系？
【归纳】平行四边形对边平行且相等，对角相等．
【教学与建议】教学：通过学生动手实践，加强知识的直观体验．建议：给学生充分的时间探究、交流，归纳平行四边形的边角特征．
◎命题角度1 识别平行四边形
平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．
【例1】如图，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF，GH相交于点O，图中平行四边形共有(B)
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
【例2】如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是__平行四边形__．
◎命题角度2 利用平行四边形边、角的性质求角度或边长
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，邻边的和等于周长的一半．
【例3】如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为(D)
A．5 B．4 C．3 D．2
【例4】(1) ABCD中，若∠B＋∠D＝200°，则∠A＝__80°__；若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝__100°__；
(2)已知 ABCD的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝__6_cm__，BC＝__8_cm__．
◎命题角度3 平行线间距离的应用
两平行线间的距离相等，两平行线与它们之间的平行线段形成平行四边形．
【例5】如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法不正确的是(D)
A.AB＝CD
B．EC＝GF
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
【例6】在平面直角坐标系xOy中， OABC的三个顶点坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(4，2)，则其第四个顶点的坐标是__(1，2)__．
◎命题角度4 平行四边形与等面积问题
利用平行四边形的面积公式和对平行四边形面积的分割，可以构造图形之间的相等关系．
【例7】如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，S△PDC＝3，S△PAB＝5，则S ABCD的值为(C)
A．4 B．15 C．16 D．20
【例8】如图，点E是平行四边形ABCD中AD边上任意一点，若平行四边形ABCD的面积是6，则△EBC的面积为__3__．
◎命题角度5 “角平分线＋平行线→等腰三角形”模型
平行四边形中两组对边分别平行，结合一个内角的平分线，构成角之间的等量关系可以得到等腰三角形．
【例9】如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于(C)
A．2 B．3 C．4 D．6
【例10】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DAE等于(D)
A．100° B．80° C．60° D．40°
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
3．理解两条平行线之间的距离的概念．
▲重点
平行四边形的对边、对角性质的探究与运用．
▲难点
运用性质解决一些具体问题．
◆活动1 新课导入
利用多媒体展示图片：
从以上图形中我们能发现哪些几何图形？你能给平行四边形下定义吗？
◆活动2 探究新知
1．教材P41 18.1.1以上的内容．
提出问题：
(1)图18.1 1中的几何图形是什么？
(2)观察图18.1 2的特点，你能总结出平行四边形的概念吗？
(3)如何用字母表示平行四边形？表示时应注意什么？
(4)你还能举出一些平行四边形的例子吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P41～42 探究及例1以上的内容．
提出问题：
(1)平行四边形除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？
(2)教材P42是用什么方法证明平行四边形的边、角相等的？
(3)不添加辅助线，你能否证明平行四边形的对角相等？依据是什么？
(4)由此你能得出平行四边形边和角的性质吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P42 例1下面和P43 练习上面的内容．
提出问题：
(1)画图说明什么叫做点到直线的距离？
(2)由图18.1 5可以得出什么结论？在图18.1 5中再画几条线段，看一看结论是否仍然成立？
(3)什么叫做两条平行线之间的距离．
(4)两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作“__ ABCD__”．
2．平行四边形的对边__平行且相等__，对角__相等__，邻角__互补__，邻边的和等于__周长__的__一半__．
3．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做__这两条平行线之间的距离__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P42 例1.
例2 如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO的面积相等．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO，即△EGO与△FHO的面积相等．
练习
1．教材P43 练习第1，2题．
2．在 ABCD中，AD＝4 cm，AB＝2 cm，则 ABCD的周长等于( A )
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
3．如图，点P在 ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有__9__个平行四边形．
4．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为__25°__．
5．如图，在 ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°，∴∠BCN＝∠DCM＝45°，∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝135°－45°－45°＝45°.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形的概念．
2．利用平行四边形边和角的性质解决问题．
3．两条平行线之间的距离的概念及应用．
1．作业布置
(1)教材P49～50 习题18.1第1，2，7，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 平行四边形对角线的性质
教师备课 素材示例
●复习导入 1.什么是平行四边形？
两组对边分别__平行__的四边形叫做平行四边形，平行四边形用符号__ __表示．
2．平行四边形的性质有哪些？
平行四边形的对边__平行__且__相等__，对角__相等__，邻角__互补__．
【教学与建议】教学：复习平行四边形的定义和性质，对学习平行四边形对角线性质作铺垫．建议：学生回答后，教师展示平行四边形图形，数形结合加深巩固．
●置疑导入 老人有一块呈平行四边形形状的土地，由于年老体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是按如图分的.
同学们：老人这样分地合理吗？
这样分地合理不合理，这节课学行四边形对角线的性质就知道答案了．
【教学与建议】教学：用实际问题(置疑)创设情境导入新课，让学生感受到数学知识来源于生活，又服务于生活．建议：教师故事性地提出问题后，再提醒学生平分面积应想到什么知识．
◎命题角度1 利用平行四边形对角线的性质求线段长度
解决此类问题的主要依据是平行四边形的两组对边分别相等、对角线互相平分．
【例1】如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(A)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【例2】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，若AD＝8，AC＋BD＝20，则△BOC的周长为__18__．
◎命题角度2 利用平行四边形的对角线互相平分证明问题
在求解平行四边形的有关问题时，除可以考虑证明三角形全等以外，还应注意运用平行四边形的性质．
【例3】如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OB＝OD，∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，∴DE＝BF，∴OD－DE＝OB－BF，∴OE＝OF.
◎命题角度3 利用平行四边形的对角线互相平分确定边的取值范围
此类问题考查平行四边形的边及对角线的性质，结合三角形的三边关系，特别是三角形的第三边大于另两边的差，并且小于另两边的和．
【例4】在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是__1＜OA＜4__．
【例5】如图，在 ABCD中，AC＝14，BD＝10，AD＝a，则a的取值范围是__2
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．当所给条件涉及对角线时，往往利用平行四边形的对角线互相平分这一性质解决问题．
【例6】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(D)
A．28 B．24 C．21 D．14
【例7】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF，交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)四边形ABFE的面积与四边形FCDE的面积有何关系？
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF；
(2)S四边形ABFE＝S四边形FCDE.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA，∴△ABC≌△CDA(SAS)，∴S△ABC＝S△CDA.由(1)可知△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF.又∵S四边形ABFE＝S△ABC＋S△AOE－S△COF，S四边形FCDE＝S△CDA＋S△COF－S△AOE，∴S四边形ABFE＝S四边形FCDE.
高效课堂 教学设计
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
2．能综合运用平行四边形对角线的性质解决有关平行四边形的计算问题和简单的证明题．
▲重点
平行四边形对角线的性质．
▲难点
平行四边形对角线性质的运用．
◆活动1 新课导入
如图，在纸上画 ABCD，将它剪下，再在一张纸上沿 ABCD的边缘画一个与 ABCD相同的 EFGH.在它们的中心(两条对角线的交点)钉一个图钉，将 ABCD绕点O旋转180°后，它能与 EFGH重合吗？从中你能看出上节课得到的 ABCD的边、角关系吗？进一步地，你能发现OA与OC，OB与OD的关系吗？
可以得到： ABCD的对边相等，对角相等．
可以发现：OA与OC，OB与OD可以完全重合，即OA＝OC，OB＝OD，这节课我们来继续学习平行四边形的性质．
◆活动2 探究新知
教材P43 探究．
提出问题：
(1)什么叫做平行四边形的对角线？
(2)如图，在 ABCD中，可以通过证明哪两个三角形全等，从而得到OA＝OC，OB＝OD，请写出证明过程；
(3)平行四边形的对角线具有什么性质？
(4)△ABC，△DBC，△CAD，△BAD的面积与 ABCD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(5)△AOD，△ABO，△BCO，△CDO与 ABCD的面积有怎样的数量关系？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线__互相平分__．
2．平行四边形的面积＝底×__高__．
3．平行四边形的两条对角线分成的四个三角形的面积__相等__，每个三角形的面积是平行四边形面积的____．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P44 例2.
例2 如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上．求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF.
例3 如图①，在 ABCD中，O为对角线BD，AC的交点．
(1)求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任意一点(点P与点B，D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；
(2)S△ABP＝S△CBP.理由如下：在 ABCD中，点A，C到BD的距离相等，设为h′，则S△ABP＝BP·h′，S△CBP＝BP·h′，∴S△ABP＝S△CBP.
练习
1．教材P44 练习第1，2题．
2．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( A )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
3．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为( C )
A．3 B．6 C．12 D．24
4．如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF.∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠DEO＝∠BFO＝90°.在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF(AAS)，∴OE＝OF.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形对角线的性质．
2．平行四边形对角线性质的运用．
1．作业布置
(1)教材P49～51 习题18.1第3，14，15题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
教师备课 素材示例
●情景导入 小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的师傅很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？
【教学与建议】教学：情景问题从日常生活入手，激发了学生的学习兴趣．建议：对于情景题目，教师引导学生讨论回答，然后教师总结点评，明确定义可以当性质用，也可以当判定用．
●类比导入 问题1：平行四边形的性质有哪些？(1)平行四边形的对边相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分．
问题2：怎样判定一个四边形是平行四边形呢？
问题3：类比前面平行线、垂直平分线等图形的性质和判定定理之间的关系，你能否给出关于平行四边形判定定理的猜想呢？
【教学与建议】教学：复习旧知，类比利用几何图形的性质，找出命题的逆命题，探索平行四边形的判定定理．建议：把平行四边形的性质按照边、角、对角线三个方面进行分类，尝试证明平行四边形．
◎命题角度1 利用平行四边形的定义判定四边形是平行四边形
已知一组对边平行，可以通过证明另一组对边也平行，来证明这个四边形是平行四边形．
【例1】在四边形ABCD中，AD∥BC，要判定四边形ABCD是平行四边形，那么还需满足(A)
A．∠B＋∠C＝180° B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180° D．∠A＋∠C＝180°
【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A＝__100°__．
◎命题角度2 利用对边的数量关系判定四边形是平行四边形
已知一组对边相等，可以通过证明另一组对边也相等来判定四边形是平行四边形．
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(C)
A．110° B．80° C．70° D．90°
【例4】如图，在4×4的方格图中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)画出 ABEC，其中E是格点；
(2)请用平行四边形的判定方法说明画图的合理性．
解：(1)如图；
(2)设每个小方格边长为1，则AC＝BE＝，AB＝CE＝，
∴四边形ABEC是平行四边形(平行四边形判定定理1).
◎命题角度3 利用对角线的平分关系判定四边形是平行四边形
利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一定理判定四边形是平行四边形，先找出四边形的对角线，再证明相等．
【例5】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC⊥BD D．AD∥BC，AD＝DC
【例6】如图，在 ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：连接AC与BD交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
◎命题角度4 利用对角的数量关系判定四边形是平行四边形
若已知四边形的一组对角相等，则可以通过证明另一组对角也相等证明四边形是平行四边形，或证明两组对角相等判定四边形是平行四边形．
【例7】下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
【例8】如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是等边三角形，
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAF＝∠ECF＝120°，∴四边形AFCE是平行四边形．
高效课堂 教学设计
1．掌握平行四边形的判定定理1，2，3.
2．能熟练运用平行四边形的三种判定定理．
▲重点
平行四边形判定定理的证明．
▲难点
平行四边形判定定理的综合运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的性质．
2．平行四边形不一定具有的性质是( B )
A．对角相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．内角和是360°
◆活动2 探究新知
教材P45 内容．
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，你能证明四边形ABCD是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(2)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，你能证明四边形是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(3)结合图18.1 10掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的证明方法，你还有其他的证明方法吗？
(4)由此你能得出哪些判定平行四边形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
定理1：两组__对边__分别相等的四边形是平行四边形．
定理2：两组__对角__分别相等的四边形是平行四边形．
定理3：对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，∴∠DAB＝∠DCB.
又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
例2 教材P46 例3.
例3
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
练习
1．教材P47 练习第1，2题．
2．
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为( C )
A．110° B．80° C．70° D．90°
3．在四边形ABCD中下面给出的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是( B )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
4．如图，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.又∵AF＝CH，DE＝BG，∴AE＝CG，FB＝DH.在△AEF和△CGH中，∴△AEF≌△CGH(SAS)，∴EF＝GH.同理，可证EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形的判定定理．
2．平行四边形判定定理的综合运用．
1．作业布置
(1)教材P50 习题18.1第9，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 平行四边形的判定(2)
教师备课 素材示例
●情景导入 观察下面两幅图片并思考问题．
为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了，你能说出其中的道理吗？
【教学与建议】教学：通过生活实例引入新课，激发学生学习的兴趣．建议：首先复习平行四边形的性质与判定，再将思考问题转化为几何模型，进行推理论证．
●置疑导入 用几何画板先构造线段AB，平移线段AB得到线段DC，连接AD，BC，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？
学生猜想四边形ABCD的形状，再用三角尺进行测量，确认四边形ABCD是平行四边形，提出问题：怎样证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形？
【教学与建议】教学：通过动手操作实践，激发学生强烈的好奇心和求知欲．建议：教师教学中要鼓励学生自主证明这个猜想，并鼓励他们多角度思考问题、用多种方法去证明．
◎命题角度1 利用一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形
已知四边形的一组对边，如果已相等，那么证明平行或如果已平行，那么证明相等，都能判定这个四边形是平行四边形．
【例1】如图，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需条件(D)
A．AB＝DC B．∠1＝∠2
C．AB＝AD D．AD＝BC
【例2】如图，在 ABCD中，AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
又∵AE＝CF，∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
◎命题角度2 平行四边形判定的灵活运用
平行四边形的五种判定方法中有三种方法都与边有关，所以利用对边关系判定平行四边形的方法多且较简单，一般思路：证明两组对边分别平行或两组对边分别相等或一组对边平行且相等．
【例3】下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是(A)
①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CD.
A．1 B．2 C．3 D．4
【例4】如图，已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AC＝10，BD＝6，则当AO＝__5__，DO＝__3__时，四边形ABCD是平行四边形．
◎命题角度3 平行四边形判定的动点问题
在有关平行四边形判定的探究型问题中，要会判定一个四边形是平行四边形．解决运动型问题的关键是把运动的问题转化为静止的问题，以静制动，同时注意不同的情况．
【例5】如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝24 cm，BC＝30 cm，点P从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C出发以2 cm/s的速度向点B运动．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别是四边形ABQP和四边形PQCD.设运动时间为t s，当t为何值时，其中一个四边形是平行四边形．
解：根据题意，得AP＝t cm，PD＝(24－t)cm，CQ＝2t cm，BQ＝(30－2t)cm.
①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，∴30－2t＝t，解得t＝10.②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，∴24－t＝2t，解得t＝8.∴当P，Q同时出发8 s或10 s后，其中一个四边形是平行四边形．
◎命题角度4 平行四边形的性质和判定的综合应用
平行四边形的性质和判定的综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再运用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形．
【例6】如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O.求证：OE＝OF.
证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OE＝OF.
高效课堂 教学设计
1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的各种判定方法和性质来进行推理或计算．
▲重点
平行四边形的判定定理．
▲难点
平行四边形判定定理的灵活运用．
◆活动1 新课导入
1．请同学们归纳：平行四边形的判定方法．
学生归纳
2．如图，取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固得到的四边形是平行四边形吗？请说明理由.
今天我们继续学习平行四边形的判定方法．
◆活动2 探究新知
教材P46 思考．
提出问题：
(1)如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形才能成为平行四边形？
(2)阅读教材P46的证明过程，请指出该证明的依据是什么？
(3)你能用两组对角分别相等证明该问题吗？请写出你的证明过程；
(4)你能用对角线互相平分证明该问题吗？请写出你的证明过程；
(5)到目前为止，你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
平行四边形的判定定理：
判定定理1：两组对边__分别相等__的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角__分别相等__的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线__互相平分__的四边形是平行四边形；
判定定理4：一组对边__平行且相等__的四边形是平行四边形．
注意：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形；
②一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形；
③两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定该四边形是平行四边形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P47 例4.
例2 如图，已知E，F是四边形ABCD对角线上两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，试说明四边形ABCD为平行四边形．
解：由AF＝CE，得AE＝CF.又∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠DFC＝∠BEA.又∵DF＝BE，∴△CDF≌△ABE(SAS)，∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，∴CD∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形．
例3 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构造命题．以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
解：以①②作为条件构成的命题是真命题．证明如下：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD.在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD(ASA)，∴OB＝OD.∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
练习
1．教材P47 练习第3，4题．
2．在四边形中，有两条边相等，另外两边也相等，则这个四边形( C )
A．一定是平行四边形
B．一定不是平行四边形
C．可能是平行四边形，也可能不是平行四边形
D．上述答案都不对
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，问几秒时，四边形ABQP是平行四边形？
解：设x s时，四边形ABQP是平行四边形．根据题意，得AP＝x，CQ＝2x，∴BQ＝6－2x，只有AP＝BQ时，四边形ABQP才是平行四边形，∴x＝6－2x，解得x＝2，∴2 s时，四边形ABQP是平行四边形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．平行四边形的判定定理．
2．平行四边形判定定理的综合运用．
1．作业布置
(1)教材P50 习题18.1第5，6题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第3课时 三角形的中位线
教师备课 素材示例
●情景导入
如图，观察思考：
问题1：图中的所有三角形有什么共同特征？
问题2：这个图是怎样画出来的呢？
【教学与建议】教学：让学生初步认识三角形的中位线，建立与实际问题的联系．建议：问题1由学生口答完成，问题2观察得出：连接三角形两边的中点得到，形成三角形的中位线的形象．从而教师导入课题．
●置疑导入 将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求平均分，该如何切割？
画一个三角形，并尝试找到切割线，交流自己的方法．今天我们将用中位线的方法切割三角形．
【教学与建议】教学：通过置疑操作实践导入新课，为学习三角形的中位线做好铺垫．建议：让学生动手操作，画出三角形的中位线，猜想并验证中位线定理．
◎命题角度1 利用三角形中位线定理解决有关计算问题
利用“三角形的中位线与第三边的位置关系——平行，三角形的中位线与第三边的数量关系——等于第三边的一半”进行有关计算．
【例1】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°
【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是__12__．
◎命题角度2 利用三角形的中位线定理解决有关证明问题
三角形中如果出现两条边的中点，那么可以利用三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系证明有关问题．
【例3】如图，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA＝CD，AE＝EB.求证：EF＝BD.
证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF为AD边上的中线，∴F为AD的中点．∵AE＝EB，∴E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD.
【例4】我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是__平行四边形__；
(2)请证明你的结论．
证明：连接AC.∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC.同理可证：HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形．
◎命题角度3 适当添加辅助线利用三角形的中位线定理解决有关问题
当题目中涉及中点时，通过添加辅助线构造出三角形中位线，进而利用三角形的中位线定理解决有关问题．
【例5】如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D.若AB＝10，AC＝14，则DM等于(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
【例6】如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN，点D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，EF.求证：DE＝EF.
证明：连接BN，CM.在等边三角形ABM和等边三角形CAN中，AM＝AB，AC＝AN，∠MAB＝∠CAN＝60°，∴∠MAB＋∠CAB＝∠CAN＋∠CAB，即∠MAC＝∠BAN，∴△MAC≌△BAN(SAS)，∴MC＝BN.又∵D，E，F分别为MB，BC，CN的中点，∴DE＝MC，EF＝BN，∴DE＝EF.
高效课堂 教学设计
1．了解三角形的中位线的定义，注意与三角形的中线的区别．
2．掌握三角形的中位线定理，并能灵活地运用．
▲重点
识记三角形的中位线定义、定理．
▲难点
三角形中位线定理的灵活运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．回顾三角形的中线的概念．
3．如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长，你知道这是什么原理吗？
今天我们来学习中位线的有关知识．
◆活动2 探究新知
1．教材P47 练习下面的内容．
提出问题：
(1)什么叫做三角形的中位线？
(2)一个三角形有几条中位线？
(3)三角形的中位线和中线一样吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P48 探究．
提出问题：
(1)阅读教材P48中位线定理的证明过程，掌握其辅助线作法，指出证明思路是什么？
(2)“綊”表示什么？
(3)你还有其他的证明中位线定理的方法吗？如果有，请写出证明过程．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．三角形中位线的定义：连接三角形__两边中点__的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线__平行__于三角形的第三边，并且等于第三边的__一半__．
◆活动4 例题与练习
例1 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是__10__cm.
例2 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC.∵点E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC.
同理可得GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
例3 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，AM⊥CM，垂足为M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD和△AMC中，∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵点N为BC的中点，∴BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝BD＝(AB－AD)＝×(5－3)＝1.
练习
1．教材P49 练习第1，2题．
2．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( C )
A． B．3 C．6 D．9
3．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是__40__m，理由是__三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半__．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别为边BC，AC的中点．求证：DF＝BE.
证明：∵E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴∠EFC＝∠BAC＝90°.又∵AD＝AB，∴EF＝AD.又∵∠EFC＝∠DAF＝90°，FC＝AF，∴△CFE≌△FAD，∴EC＝DF.又∵EC＝BE，∴DF＝BE.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．三角形中位线的概念和定理．
2．运用三角形的中位线定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P51 习题18.1第11，12，13题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
教师备课 素材示例
●情景导入
1．展示生活图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：它们应用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？为什么？
3．再次演示平行四边形的拉动过程，当拉动到一个角是直角时停止(如图)，让学生观察这是什么图形？引出本节课题及矩形的定义．
【教学与建议】教学：通过平行四边形教具，操作探究矩形与平行四边形之间的关系，体会矩形与平行四边形的区别和联系．建议：在展示平行四边形教具由平行四边形变为矩形的过程后让学生说出矩形的性质．
●归纳导入 已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．
同样对于平行四边形来说也有一些特殊情况，今天我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形．利用多媒体展示一组生活中的图片(如图)，观察图中有哪些图形是矩形？矩形有哪些性质呢？
【归纳】有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．矩形的对边__平行且相等__，四个角都是__直角__，对角线__互相平分且相等__．
【教学与建议】教学：复习平行四边形性质，并利用生活中的矩形图片导入新课，归纳矩形的定义和性质．建议：类比平行四边形的定义和性质，猜测矩形的性质，确定矩形的定义．
◎命题角度1 利用矩形的性质计算线段的长度或角的度数
由矩形的对角线相等且互相平分，得到四个等腰三角形，再由矩形提供的直角及相等的线段容易求出角的度数及有关线段的长度．
【例1】如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(C)
A．18° B．36° C．45° D．72°
【例2】如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__16__．
◎命题角度2 利用矩形的性质解决证明问题
由矩形的性质提供相等的线段或角，构造全等三角形来解决问题．
【例3】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，OE＝OF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴AE＝CF.
【例4】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(ASA)，∴BE＝CD，∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
◎命题角度3 矩形的对称性
矩形具有对称性，利用矩形的对称性作出辅助线构造相等的线段，可以解决几条线段和的最值问题．
【例5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则AF＋CE的最小值是__10__．
◎命题角度4 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解决问题
直角三角形的这一性质与两锐角互余、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半都是直角三角形的重要性质．利用这些性质解决线段的倍分关系问题．
【例6】如图，在△ABC中，D为AB的中点，BE⊥AC，垂足为E.若DE＝4，AE＝6，则BE的长度是(D)
A．10 B．2 C．8 D．2
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC＝2，则EF的长度为__1__．
高效课堂 教学设计
1．掌握矩形的概念和性质，了解矩形与平行四边形的关系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
▲重点
矩形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
▲难点
矩形性质的证明及灵活应用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．观察思考，如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即 ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？
今天我们来学习特殊的平行四边形——矩形的有关知识．
◆活动2 探究新知
1．教材P52 思考以上的内容．
提出问题：
(1)拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是平行四边形吗？
(2)拉动到有一个角是直角，然后观察这个教具，你有什么发现？
(3)由此你能得出矩形的概念吗？你能举出一些关于矩形的例子吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P52 思考．
提出问题：
(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.由于矩形是特殊的平行四边形，请说出其具有哪些性质？
(2)如图，在矩形ABCD中，AC，BD是其对角线．试证明：①AC＝BD；②∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°；
(3)由此你还能列举出矩形具有而平行四边形不具有的性质吗？
学生完成并交流展示．
3．教材P53 思考．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．矩形的定义：有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形，也就是长方形.
2．矩形的性质：矩形的对边__平行且相等__，四个角都是__直角__，对角线__互相平分且相等__．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P53 例1.
例2 如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.
例3 如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
解：(1)∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)∵DE＝AE，DF＝AF，∴E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
练习
1．教材P53 练习第1，2，3题．
2．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为( D )
A．1 cm B．2 cm C．2.5 cm D．4 cm
3．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，∴∠FED＝90°.
∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED.
在△EBF和△DCE中，
∴△EBF≌△DCE(AAS)，∴BE＝CD，
∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA.
∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．矩形的概念和性质．
2．运用矩形的概念和性质解决问题．
3．直角三角形斜边上的中线的性质．
1．作业布置
(1)教材P60～62 习题18.2第4，9，12(1)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 矩形的判定
教师备课 素材示例
●置疑导入 为了防蚊虫，数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时，数学老师只利用卷尺巧妙地测量一番后，就指出该纱门是正规的．同学们知道数学老师是如何判断纱门是否是矩形吗？
【教学与建议】教学：导入材料不仅指出了研究矩形判定的必要，更是结合实际需求让学生体会到数学的应用价值．建议：可用两对长短不一的木条制作一个简易矩形框架，要求学生借助测量工具判断所制作的框架是矩形．
●类比导入 请填写下表，说一说平行四边形和矩形的联系与区别．
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补 每个角都是90°
对角线 互相平分 互相平分且相等
如何进行平行四边形的判定呢？我们是如何获取这个探究思路的？我们已经知道，根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判断一个四边形是不是矩形．除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？
【教学与建议】教学：在类比平行四边形和矩形的过程中回顾两者的性质，促使学生类比平行四边形的判定方法来思考矩形的判定方法．建议：让学生边观察边填表，复习归纳平行四边形的判定定理，类比出矩形的判定定理．
◎命题角度1 考查判定矩形的条件
若图形中不存在对角线，则利用定义或三个直角来判定矩形；若图形中有两条对角线，则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”加以判定．
【例1】在 ABCD中，增加一个条件，四边形ABCD就成为矩形，这个条件是(B)
A．AB＝CD B．∠A＋∠C＝180°
C．BD＝2AB D．AC⊥BD
【例2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(D)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
◎命题角度2 根据矩形的判定定理进行相关的证明
矩形的判定有两种基本思路：1.由角入手直接证明；2.在平行四边形的基础上根据角或对角线的性质进行证明．
【例3】如图，在 ABCD中，E是DC边的中点，且EA＝EB.求证： ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∵E是DC边的中点，∴DE＝EC.在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE(SSS)，∴∠D＝∠C.∵∠D＋∠C＝180°，∴∠D＝∠C＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．
【例4】如图，E为 ABCD外一点，AE⊥EC，BE⊥ED，对角线AC，BD交于点O.试说明： ABCD是矩形．
解：连接OE.∵AE⊥EC，∴∠AEC＝90°.又∵O为AC的中点，∴OE＝AC，同理OE＝BD，∴AC＝BD，∴ ABCD为矩形．
◎命题角度3 矩形的判定定理在实际生活中的应用
检验四边形的两组对边是否相等以及其对角线是否相等，结合矩形的定义和判定定理去解决问题．
【例5】用一把刻度尺来判定一个四边形零件是矩形的方法是先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__对角线相等的平行四边形是矩形__．
◎命题角度4 矩形的性质与判定的综合
根据矩形的性质得到相等的线段和角，再利用线段和角之间的关系判断另一个图形是矩形．
【例6】如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB.当AB，BC满足条件__BC＝2AB__时，四边形PEMF为矩形．
【例7】如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE＝CG＝BF＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝CG＝BF＝DH，∴OE＝OG＝OF＝OH.∵OE＋OG＝OF＋OH，∴EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．
高效课堂 教学设计
1．会证明矩形的两个判定定理．
2．会用矩形定义及判定定理判定一个四边形是否为矩形，并能进行有关计算与论证．
▲重点
矩形的判定定理及应用．
▲难点
矩形的判定与性质的综合运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾矩形的概念和性质．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．
3．矩形有什么性质？你能写出这些性质的逆命题吗？逆命题都是真命题吗？
今天我们来学习矩形的判定．
◆活动2 探究新知
1．教材P54 第1个思考．
提出问题：
(1)如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AC＝BD，求证四边形ABCD是矩形；
(2)请完成(1)中的证明过程，并说明该证明的依据是什么？
(3)工人师傅在做门窗时，为什么要量两组对边的长度和两条对角线的长度？你能解释其中的道理吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P54 第2个思考．
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，求证四边形ABCD是矩形；
(2)请写出(1)中的证明过程，并说明该证明的依据是什么？
(3)由此可以得到哪些判定矩形的方法？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
矩形的判定定理：
1．对角线__相等__的平行四边形是矩形．
2．有三个角是__直角__的四边形是矩形．
3．有一个角是直角的平行四边形是矩形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P54 例2.
例2 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OB＝OD，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．
例3 如图， ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠HAB＝∠DAB，∠HBA＝∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA＝(∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理，∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
练习
1．教材P55 练习第1，2题．
2．下列结论正确的是( D )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有__①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)__．(填序号)
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．矩形的判定定理．
2．运用矩形的性质和判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～61 习题18.2第3，8题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
教师备课 素材示例
●归纳导入 出示部分图片(给学生发挥想象的余地)，从图片中发现了哪些熟悉的图形？这些图形有哪些共同特征？①都是__平行四边形__；②__四条__边都相等.
【归纳】__有一组邻边相等__的平行四边形叫做菱形．
【教学与建议】教学：选取菱形图片吸引学生注意力，初步感知菱形．建议：要求举例身边的菱形，类比平行四边形性质的学习展开新课．
●置疑导入 如图，准备四根木棒拼成平行四边形，使其一边慢慢地平移，提出问题：整个变化过程中四边形是否一直是平行四边形？当相邻两边长度相等时停止移动，则此时的四边形与原平行四边形有什么不同？
【教学与建议】教学：通过图形的变化，让学生感知菱形是平行四边形中的一个特例．建议：抓住菱形定义两个关键点：一是平行四边形，二是一组邻边相等．
◎命题角度1 利用菱形的性质进行计算
菱形的四条边都相等，如果菱形中出现“30°角”“60°角”“120°角”“一边等于最短的对角线”这些词语，可得出等边三角形；菱形的对角线互相垂直，可以用到勾股定理.
【例1】如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(A)
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【例2】如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形，若点A的坐标是(3，4)，则点C坐标为__(8，4)__．
◎命题角度2 利用菱形的性质进行证明
菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，可以应用等腰三角形或直角三角形的知识来解决．
【例3】如图，四边形ABCD为菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.
求证：(1)△ABE≌△ADF；
(2)CE＝CF.
证明：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
(2)∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF.
∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝CD，
∴BC－BE＝CD－DF，∴CE＝CF.
◎命题角度3 利用菱形的性质解决实际问题
借助作图分析题目的方式将现实中的菱形问题转化成数学问题，然后利用菱形的相关性质解决．
【例4】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是(D)
A．45° B．90° C．75° D．60°
◎命题角度4 分情况讨论对角线长度
菱形对角线互相垂直，在题意中不明确指出是哪条对角线，则分两种情况，在直角三角形中利用勾股定理求值．
【例5】菱形的一条对角线长是4 cm，两个相邻的内角度数之比是1∶2，则另一条对角线的长是__4或__cm.
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算．
2．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
▲重点
菱形的概念、性质及菱形面积的计算．
▲难点
菱形与平行四边形之间的关系和灵活运用．
◆活动1 新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．请同学们拿出准备好的纸片，对折两次，折出一个直角，剪一刀，得到一个直角三角形，再将它展开得到一个四边形(教师先演示，学生再动手操作).
观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？
今天我们来学习特殊的平行四边形——菱形的有关知识．
◆活动2 探究新知
教材P55～56 内容．
提出问题：
(1)当一个平行四边形的一组邻边相等时，此时的特殊平行四边形是什么图形？
(2)你还能举出生活中一些类似(1)中的图形吗？
(3)菱形是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质？你能作出猜想并证明吗？
(4)观察图18.2 8，你能发现对角线分成的四个三角形之间有什么关系吗？
(5)已知菱形的两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
(6)菱形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．菱形的定义：有一组__邻边__相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
(1)菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；
(2)菱形的四条边都__相等__；菱形的两条对角线互相__垂直__，并且每一条对角线平分__一组对角__；
(3)菱形是__轴对称__图形，它的__对角线所在的直线__就是它的对称轴.
3．菱形的面积等于两条对角线__乘积的一半__，也可以用底乘__高__计算菱形的面积．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P56 例3.
例2 如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是( D )
A．BO＝DO B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD D．AO＝DO
例3 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH.求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝OB，∴∠OHB＝∠OBH.
又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.
练习
1．教材P57 练习第1，2题．
2．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( D )
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．四条边相等
3．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH等于____．
4．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.
证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．菱形的概念和性质．
2．运用菱形的性质解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～62 习题18.2第5，12(2)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
第2课时 菱形的判定
教师备课 素材示例
●情景导入 如图，将两张等宽的纸条交叉，重合部分是四边形ABCD，量一量并说明它是什么特殊的平行四边形．
【教学与建议】教学：通过动手操作及量一量活动，激发学生的想象、思维和发现．建议：引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
●置疑导入
如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明你发现的结论吗？
继续转动木条，当两根木条互相垂直时，橡皮筋围成的四边形有什么特征？你能证明你的猜想吗？
【教学与建议】教学：通过图形的变化，感受对角线互相垂直的平行四边形是菱形，自然地得出菱形的判定方法．建议：在得到菱形判定方法的时候强调对角线应满足：互相垂直平分．
◎命题角度1 灵活选择方法判定四边形是菱形
菱形的判定思路：①若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；②若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；③若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．
【例1】如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O.已知AB＝AC＝4，∠ABC＝60°.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)求BD的长．
解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴ ABCD是菱形；(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD.∵AB＝AC＝4，△ABC是等边三角形，∴AO＝AC＝2，∴BO＝2，∴BD＝2OB＝4.
【例2】如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．
证明：连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC.∵AE＝CF，∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵BD⊥AC，∴四边形BEDF是菱形．
◎命题角度2 补充条件证明四边形是菱形
根据题意灵活选择菱形的判定方法，合理添加条件，考查学生倒序推理的能力．
【例3】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是(A)
A．AD＝CD B．AB＝AC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
【例4】如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件__OB＝OD__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
◎命题角度3 利用折纸等动手操作获取菱形
利用折纸或者叠合纸片可以得到菱形，根据题意，选择菱形的定义或判定定理进行判断．
【例5】如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD是__菱形__，若AD＝6，∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积是__18__．
【例6】如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处．当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形.
证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质，得∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM，∴∠DAM＝∠AMD，∴DA＝DM＝AB＝BM，∴四边形ABMD是菱形．
高效课堂 教学设计
1．理解并掌握菱形的定义及其他两个判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
▲重点
菱形的判定方法．
▲难点
菱形判定定理的证明及运用．
◆活动1 新课导入
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形，除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个轴对称图形，具有如下的性质：(1)两条对角线互相垂直平分；(2)四条边都相等；(3)每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
今天我们来学习菱形的判定方法．
◆活动2 探究新知
教材P57 练习下面的内容．
提出问题：
(1)除了菱形的定义外，你还有其他判定菱形的方法吗？
(2)如图，在 ABCD中，AC⊥BD，垂足为点O，求证：四边形ABCD是菱形；
(3)四条边相等的四边形是菱形吗？
(4)请归纳一下菱形的判定方法．
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
菱形的判定定理：
(1)有一组邻边__相等__的平行四边形是菱形；
(2)对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；
(3)四条边相等的__四边形__是菱形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P57 例4.
例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
例3 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC；
(2)四边形ADCF是菱形．证明如下：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．∵AD是BC边上的中线，∴AD＝BC＝DC，∴四边形ADCF是菱形．
练习
1．教材P58 练习第1，2，3题．
2．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( C )
3．如图，在 ABCD中，AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__AC⊥EF(答案不唯一)__．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
4．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.求证：四边形EFCD是菱形．
证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED＝CD，∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°，∴AB∥CD，DE∥CF.又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴四边形EFCD是平行四边形．∵ED＝CD，∴四边形EFCD是菱形．
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．菱形的判定定理．
2．运用菱形的判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P60～61 习题18.2第6，10题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思
18.2.3 正方形
教师备课 素材示例
●类比导入 1.问题：矩形的性质有哪些？菱形呢？
2．操作：你能将一个矩形折叠成一个正方形吗？给一个菱形框架，你能将它改成正方形吗？
【教学与建议】教学：通过折叠裁剪得出正方形，使学生明白，有一组邻边相等的矩形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．建议：从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线三个方面进行归纳总结．
●情景导入 相框、信封、明信片、田字格，还有在中国流传了数百年的神奇玩具——华容道、七巧板，都有矩形和正方形的影子，同时正方形也是最完美的图形之一．你能指出生活中的正方形吗？你能将一张长方形的纸折成一个正方形吗？正方形有哪些性质呢？
【教学与建议】教学：举例折叠正方形，明白正方形的概念，对正方形产生感性认识．建议：可以引导学生借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分别进行探索．
◎命题角度1 利用正方形的性质计算或证明
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，它隐含了图形中有许多相等的线段与角、互相垂直的线段、垂直平分的线段等条件．
【例1】如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE，则∠BED为(C)
A．15° B．35° C．45° D．55°
【例2】如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(B)
A．30 B．34 C．35 D．40
◎命题角度2 正方形的判定方法
【例3】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【例4】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠E＝90°，且BE＝CE，∴平行四边形BECF是正方形．
◎命题角度3 多个正方形综合的问题
当多个正方形有公共顶点结合在一起的时候，存在直角三角形，全等三角形，可以通过勾股定理或证明全等三角形找到相等线段来证明相关结论或解决线段长度问题．
【例5】如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__6.5__．
【例6】如图，E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H.
(1)试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：(1)四边形AFHE是正方形．理由如下：∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∠DAF＝∠EAB，AE＝AF，∴∠AFH＝90°.∵∠DAB＝90°＝∠DAF＋∠FAB，∴∠EAB＋∠FAB＝90°，即∠FAE＝90°.在四边形AEHF中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，AF＝AE，∴四边形AFHE是正方形；
(2)设AE＝x，在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋EB2，即132＝x2＋(x＋7)2，解得x＝5，∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12，∴DF＝BE＝12.∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17.
高效课堂 教学设计
1．掌握正方形的概念、性质，并会灵活运用．
2．理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系．
3．掌握正方形的判定方法，能灵活运用正方形的性质与判定进行推理或计算．
▲重点
正方形的定义、性质和判定及运用方法．
▲难点
对正方形与其他平行四边形之间关系的理解．
◆活动1 新课导入
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
今天我们来学习正方形的有关知识．
◆活动2 探究新知
教材P58 部分内容．
提出问题：
(1)什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？什么样的平行四边形是正方形？
(2)正方形有哪些性质？
(3)正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它的对称轴是什么？
(4)如何判定一个四边形是正方形？你能写出相应的证明过程吗？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．正方形的概念：
(1)有一组邻边__相等__的矩形是正方形；
(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形．
2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质．
(1)正方形的四条边都__相等__；
(2)正方形的四个角都是__直角__；
(3)正方形的两条对角线互相__垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分__一组对角，它的对角线与每条边的夹角都是__45°__．
3．正方形是轴对称图形，它有__4__条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线．
4．正方形的判定定理：
(1)有一组__邻边相等__的矩形是正方形；
(2)有一个角是__直角__的菱形是正方形；
(3)对角线__互相垂直__的矩形是正方形；
(4)对角线相等的__菱形__是正方形．
◆活动4 例题与练习
例1 教材P58 例5.
例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB；
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，∴PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴四边形MPND是正方形．
练习
1．教材P59～60 练习第1，2，3题．
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C )
A．14 B．15 C．16 D．17
3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是__45°__．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．
解：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝BC＝AD.由(1)，得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．(答案不唯一，言之有理即可)
◆活动5 完成附赠手册
◆活动6 课堂小结
1．正方形的概念、性质和判定定理．
2．平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系．
3．运用正方形的性质和判定定理解决问题．
1．作业布置
(1)教材P61～62 习题18.2第7，12(3)题；
(2)学生用书对应课时练习．
2．教学反思