6.1平面向量的概念 同步练习（含解析）2023——2024学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

6.1平面向量的概念 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等
2．已知、均为非零向量，有下列三个命题：
①若m为任意实数，则是的充分非必要条件；
②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件；
③“”是“”的既非充分也非必要条件.
其中命题正确的个数（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个.
A． B． C． D．
5．如图，在中，向量是（ ）
A．有相同起点的向量 B．模相等的向量
C．共线向量 D．相等的向量
6．已知两个向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A．与平行 B．或
C．与方向相同 D．存在实数，使得
7．已知点是平行四边形的对角线的交点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，四边形中，，则必有（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．与同向，且，则
10．圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A．的最大值为6 B．
C．恒成立 D．满足的点C仅有一个
11．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则或
B．与是平行向量
C．若与是共线向量，则四点共线
D．若，则
12．下列关于向量的结论正确的是（ ）
A．若，则或
B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反
C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量
D．若向量与同向，且，则
三、填空题
13．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 .
14．已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 .
15．已知是单位向量，在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的形状为 ．（矩形、正方形、菱形、梯形）.
16．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

四、解答题
17．如图所示，O是正六边形的中心.

(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有几个？
18．在平面内有一点，对任一异于点的点，将其变换成该射线上一点，且使，这个变换叫做平面反演变换点叫做反演中心或反演极，叫做反演幂．
(1)若是坐标原点，关于的反演点是，求证：，．
(2)以坐标原点为反演中心，反演幂，求曲线经过反演变换后的轨迹．
19．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在下图所标出的向量中：

(1)找出与相等的向量；
(2)找出几组相反向量．
20．已知不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若向量与共线，求实数的值．
21．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1．
(1)试以为终点画一个有向线段，设该有向线段表示的向量为，使．
(2)在图中画一个以为起点的有向线段，设该有向线段表示的向量为，且，并说出点的轨迹是什么？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.
【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.
故选：D
2．B
【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则，
即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确；
对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足，
若，则成立，故必要性满足，
所以是的充要条件，故②错误；
对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足，
若可得同向，即，故必要性满足，
所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误；
故选：B
3．C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；
对于B：向量不能比较大小，只能相同，B错误；
对于C：若，则方向相同，C 正确；
对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误.
故选：C.
4．A
【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确；
对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误；
对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误；
对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误.
故选：A.
5．B
【分析】对于A，由图形判断；对于B，根据圆的半径为向量的模判断；对于C，由共线向量的定义判断；对于D，由相等的向量的定义判断.
【详解】对于A，根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量，∴A错误；
对于B，因为O是圆心，那么向量，，的模长是一样的，∴B正确；
对于C，共线向量知识点是方向相同或者相反的向量，∴C错误；
对于D，相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D错误，
故选：B．
6．A
【分析】根据向量共线的概念逐一判断即可.
【详解】选项A：与共线，则与平行，A说法正确；
选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误；
选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误；
选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误；
故选：A
7．C
【分析】根据平面向量的基本概念，结合图象即可得答案.
【详解】为相反向量，故A错误；
为相反向量，故B错误；
方向相反，故，C正确；
因为平行四边形不一定为矩形，所以对角线不一定相等，故D错误.
故选：C
8．B
【分析】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【详解】四边形中，，则且，
所以四边形是平行四边形；
则有，故A错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确；
由图可知，C错误；
由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误．
故选：B．
9．BCD
【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对B：若，也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对C：若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故D错误.
故选：BCD.
10．AB
【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B；根据极化恒等式可判断C；令，得到可判断D.
【详解】由题意，以O为原点，以平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
对于A，，
∵，∴，∴，
∴的最大值为6，故A正确；
对于B，
∴
∵，∴，∴，故B正确；
对于C，取AB的中点为E，则，故C错误；
对于D，当时，即，解得，
∵，∴或，即符合条件的点C有两个，故D错误．
故选：AB．
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
11．ACD
【分析】根据向量的概念逐一判断.
【详解】对于A：，模相等不能推出共线，A错误；
对于B：与是相反向量，所以是平行向量，B正确；
对于C：若与是共线向量，不能得到四点共线，C错误；
对于D：若，当向量时，与不一定平行，D错误.
故选：ACD.
12．BC
【分析】根据题意，由平面向量的相关概念，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】若，但方向不能确定，选项A错误：
非零向量与平行，则与的方向相同或相反，选项B正确：
根据向量相等的定义，选项C正确：
向量不能比较大小，选项D错误．
故选：BC．
13．/
【分析】设，，可得出关于实数、的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为、是两个不共线的单位向量，，，若与是共线向量，
设，，则，
所以，解得.
故答案为：.
14．
【分析】根据向量平行的定义，列出关于的方程，最后求解方程得出答案.
【详解】由得，，解得.
故答案为：.
15．菱形；
【分析】利用向量得到四边形对边和邻边的位置关系，判断四边形的形状.
【详解】是单位向量，在四边形ABCD中，，，
则，在四边形ABCD中，，，可知四边形ABCD是平行四边形，
又，，所以四边形ABCD是菱形.
故答案为：菱形.
16．3
【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解.
【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个.
故答案为：3
17．(1)23；
(2)存在，4；
(3)9.
【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论.
（2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论.
（3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论.
【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，
所以这样的向量共有23个.
（2）存在，由正六边形的性质知，，
所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.
（3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上，
所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.
18．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设，则，由得，即可证明；
（2）将代入，化简即可求解.
【详解】（1）设，则，又，所以，
所以.
（2）由题意知，，代入，
得，由，得，
故经过反演变换后的轨迹是直线．
19．(1)
(2)与，与，与
【分析】（1）根据相等向量定义判断选择即可；
（2）根据相反向量定义判断选择即可.
【详解】（1）与方向相同且长度相等，故．
（2）与，与，与方向相反且长度相等分别互为相反向量．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，可得三点共线；
（2）利用向量共线的条件，设，列方程组求实数的值．
【详解】（1）证明：，，
则有，可得且为公共点，
所以三点共线.
（2）向量与共线，则存在唯一实数，使得，
可得，即，解得 .
21．(1)图见解析
(2)点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆
【分析】（1）根据相等向量的定义，即可画出向量；
（2）根据模长，画出向量，在判断轨迹.
【详解】（1）如图，感觉向量相等的定义，与的方向相同，长度相等，即，即可得到向量；

（2）如图，画出一个满足条件的向量，点的轨迹是以点为圆心，半径的圆.

答案第1页，共2页
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