6.2平面向量的运算 同步练习（含解析）2023——2024学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

6.2平面向量的运算 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量满足，，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
3．在菱形中，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
4．已知ABCD是平面四边形，设p：＝3，q：四边形ABCD是梯形，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
6．已知相互垂直，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．若对于向量，是一个单位向量，，与的夹角为，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
二、多选题
9．下列结论中正确的有（ ）
A．已知非零向量，，“”是“”的充要条件
B．已知四边形，“”是“四边形是平行四边形”的充要条件
C．已知非零向量，，“”是“与共线”的充分不必要条件
D．已知非零向量，，“”是“，夹角为锐角”的必要不充分条件
10．下列说法正确的是（ ）
A．向量在向量上的投影向量可表示为
B．若，则与的夹角的范围是
C．若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为
D．若非零向量满足，则
11．已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
三、填空题
13．设均为单位向量，且可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件的的值 ．
14．已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影是 ．
15．化简向量运算： ．
16．如图，在△ABC中，，，，则 ．
四、解答题
17．已知，，且与的夹角为.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值；
(3)求向量与向量夹角的余弦值.
18．已知，，且，，与的夹角为45°．，．
(1)求的值；
(2)若向量，的夹角为锐角，求实数的取值范围；
(3)若四边形为梯形，求的值．
19．如图，已知O为平面直角坐标系的原点．，，
(1)求和的坐标；
(2)求向量与向量的夹角；
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标．
20．已知，，.
(1)求与的夹角；
(2)求；
(3)若，，求的周长.
21．在中，，，，为角平分线，D在线段BC上.
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB、AC于不同点E、F，且，，求的值
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】根据已知条件有：，又，所以，
在上的投影向量为.
故选：C
2．B
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果．
【详解】由，为在上的投影向量，
则有，所以.
故选：B.
3．A
【分析】利用展开计算即可.
【详解】如图，因为四边形是菱形，
所以，又，
所以.
故选：A.
4．A
【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】在四边形中，若，则，且，
即四边形为梯形，充分性成立；
若当为上底和下底时，满足四边形为梯形，但不一定成立，
即必要性不成立，故是的充分不必要条件．
故选：A．
5．D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
6．B
【分析】根据条件，利用向量垂直,其数量积为0，建立等式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又相互垂直，，所以，解得，
故选：B.
7．B
【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定，判断与的角平分线所在向量的关系推出选项．
【详解】
,分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线对应的方向相同，
又，，
在向量上移动，
点P的轨迹一定通过的内心
故选：B.
8．D
【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.
【详解】因为是一个单位向量，，与的夹角为，所以，
所以.
故选：D
9．ABCD
【分析】A选项，分均为非零向量或其中之一为零向量或两者均为零向量，结合数量积公式和定义得到A正确；B选项，根据平面向量的加法法则得到B正确；C选项，两边平方得到与反向共线，充分性成立，举出反例得到必要性不成立；D选项，举出反例得到充分性不成立，利用向量数量积公式得到必要性成立，得到答案.
【详解】A选项，若均为非零向量，，
综上，”是“”的充要条件，A正确；
B选项，根据平面向量加法平行四边形法则，可以得到四边形是平行四边形，反之也成立，故B正确；
C选项，非零向量满足，两边平方得，
故，
设的夹角为，由于，故，
故与反向共线，充分性成立，
若非零向量与正向共线，则，必要性不成立，
故C正确；
D选项，非零向量正向共线时，满足，但此时，夹角为0，不是锐角，充分性不成立，
当，夹角为锐角时，，必要性成立，D正确.
故选：ABCD
10．ABD
【分析】对A，根据投影向量公式求解即可；对B，根据数量积公式判断即可；对C，由向量夹角的定义判断即可；对D，根据数量积公式判断即可.
【详解】对A，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确；
对B，根据，可知，，所以与的夹角的范围是，故B正确；
对C，由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误；
对D，若非零向量满足，则，则，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：，故B错误；
对C：，
故，即，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：ACD.
12．ABC
【分析】对A，根据面积关系可得，再结合重心的概念即可得解；对B，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.
【详解】对于A，取的中点，连接，如图所示
由，则，所以，所以三点共线，且，设分别为得中点，同理可得，所以为的重心，故A正确；
对于B， 由为的内心，则可设内切圆半径为，如图所示
则，
所以，即，故B正确；
对于C ，如图所示，
因为为的外心，所以，
所以，即，即，
所以，同理可得，
所以，故C正确；
对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点，如图所示，
由为的垂心，，则，
又，则，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D错误.
故选：ABC.
13．（答案不唯一）
【分析】设的夹角为，则可计算得，，再由等比中项定义可求解.
【详解】由均为单位向量，设的夹角为，则，
则，，
，
，
当成等比数列时，有，解得或（舍），
则由二倍角公式得，，
同理，当成等比数列时，解得，
当成等比数列时，有，此时，.
故答案为：（答案不唯一）
14．
【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可.
【详解】向量，，与的夹角为，则，
所以在方向上的投影是.
故答案为：
15．
【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.
【详解】.
故答案为：.
16．
【分析】由得，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.
【详解】由,可知，
,则
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；
（2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得；
（3）首先求出、，再根据夹角公式计算可得.
【详解】（1）因为，，且与的夹角为，
所以.
（2）因为，所以，
即，
即，解得.
（3）因为
，
，
设向量与向量的夹角为，
则，
即向量与向量夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将平方开根号即可；
（2）由向量，的夹角为锐角，可得且向量，不共线，先根据求出范围，再排除向量，共线时的值即可；
（3）根据平面向量共线定理分别求出和时的值，即可得解.
【详解】（1），
；
（2）因为向量，的夹角为锐角，
所以且向量，不共线，
由，得，
即，解得，
若向量，共线，则存在唯一实数，使得，
即，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（3），
，
若，则存在唯一实数，使得，
即，
所以，解得，
若，则存在唯一实数，使得，
即，
所以，解得，
综上所述，，不同时成立，
所以四边形为梯形，的值为或.
19．(1)
(2)向量与向量的夹角为
(3)在向量上的投影向量的坐标为
【分析】（1）依题意求出A、B、C的坐标，即可得解；
（2）利用向量的夹角公式可求向量与向量的夹角；
（3）首先求出，，再根据数量积的几何意义求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量.
【详解】（1）依题意，设，
则，
，
，
，
所以，所以；
（2）由（1）可得，
设向量在向量的夹角为，
所以，
因为，所以.
所以向量与向量的夹角为；
（3）由（1）可得，
所以在向量在向量上的投影长度为，
所以在向量上的投影向量的坐标为．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可；
（2）利用，展开化简即可得到答案；
（3）结合（1）可得，利用或余弦定理可得，从而求得的周长
【详解】（1），
，
又，，，
，
又，；
（2），
；
（3）因为与的夹角，
，又，，
解法1：，
，
则；
所以周长为.
解法2：在中，由余弦定理得，，，
则，
所以周长为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据角平分线定理，结合平面向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理进行求解即可；
（2）根据平面共线向量的性质，结合（1）的结论进行求解即可.
【详解】（1）根据角平分线定理：，，
.
，
，即；
（2）由（1）可知：，
E、D、F三点共线，
，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页