6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（含解析）2023——2024学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，，，，则（ ）
A． B．4 C． D．
2．已知向量，，若，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，分别为边，的中点，若，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．已知向量，向量满足，且，则（ ）
A． B．5 C． D．25
5．已知向量，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，则向量和向量夹角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．设向量，，且，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．或3
8．已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知点，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是直角三角形
B．若点，则四边形是平行四边形
C．若，则
D．若，则
10．两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，他们的位移分别为，．则（ ）
A．在该时刻，
B．在该时刻，两个粒子的距离为
C．在该时刻，粒子相对于的位移为
D．在该时刻，在上的投影向量为
11．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D．若，则向量在向量上的投影向量为
12．已知向量．若，则（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．与反向的单位向量是
三、填空题
13．已知向量，．若，，则 ．
14．在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则 .
15．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 ．
16．如图，所在平面内的两点满足．若是线段的两个三等分点，则 ；若是线段上的动点，则 ．
四、解答题
17．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，，求与的夹角的余弦值．
18．在平面直角坐标系中，已知点，点满足．
(1)若，求；
(2)若，求的坐标．
19．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为．
(1)求的最大值及此时的值；
(2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值．
20．已知向量．
(1)若，求；
(2)若，求与的夹角的余弦值．
21．已知为坐标原点，，.
(1)判断的形状，并给予证明；
(2)若，求证：、、三点共线；
(3)若是线段上靠近点的四等分点，求的坐标.
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参考答案：
1．A
【分析】根据平面向量的加法法则，减法法则，将，用，表示，再利用向量的数量积公式计算即可求解.
【详解】因为，
所以，
，
又，，，
则
.
故选：A.
2．B
【分析】根据向量垂直的坐标表示求得，再利用投影向量的定义求解即可.
【详解】由题意得，
因为，所以，
即，解得，
所以，则，，
故在方向上的投影向量为，
故选：B．
3．C
【分析】根据题意画出示意图，结合图形，利用平面向量的线性运算性质，从而得到，进而即可求解．
【详解】由，
又，所以．

故选：C．
4．B
【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.
【详解】由于向量，可得，
由，得，
故，得，得或(舍去)．
所以
故选：B
5．B
【分析】根据坐标运算的加减法进行运算，再结合向量垂直即可得出结果.
【详解】由题，
因为，所以，.
故选：B.
6．D
【分析】根据向量的夹角公式求出，再根据平方关系求出正弦值.
【详解】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
所以向量和向量夹角的正弦值为，
故选：D.
7．C
【分析】由，可得，再根据数量积的坐标公式计算即可.
【详解】因为，
所以，解得或.
故选：C.
8．C
【分析】根据重心的性质和向量的线性运算求解.
【详解】延长与交于点，根据重心的性质，为中点，且，
于是由，可得.
故选：C
9．ABD
【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示，线性运算的坐标表示求解后判断各选项．
【详解】，，所以，，是直角三角形，A正确.
若点，则,，四边形是平行四边形，B正确.
若，则，C错误.
若，则是中点，，D正确.
故选：ABD．
10．BCD
【分析】由向量垂直的坐标表示可得A错误；由两点间距离公式可得B正确；由向量的减法法则可得C正确；由投影向量的运算可得D正确.
【详解】A：因为，所以与不垂直，故A错误；
B：由两点间距离公式可得，故B正确；
C：在该时刻，粒子相对于的位移为，故C正确；
D：在上的投影向量为，故D正确；
故选：BCD.
11．AC
【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标表示判断C; 利用向量投影的坐标表示判断D
【详解】若，则，解得，故A正确．
若，则，解得，故B错误．
若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确．
若，则，又，所以向量在向量上的投影向量为，故D错误．
故选：AC．
12．ABC
【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.
【详解】．
．
，即．
，即，解得，则．
对于A，，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，在方向上的投影向量为，故正确；
对于D，与反向的单位向量是，故D错误．
故选:ABC．
13．
【分析】根据可得：，借助平面向量数量积的坐标运算，用表示出上式，根据时恒成立，可求的值.
【详解】因为，所以.
因为，
，
由，
因为上式对任意都成立，所以.
故答案为：
14．
【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得.
【详解】记与交于点O，，
由题知，①，
在中，由余弦定理有②，
联立①②解得，
所以，
因为，所以.
所以，
以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，
所以，
所以.
故答案为：
15．
【分析】建立坐标系，求出直线的方程，利用坐标法表示数量积即可求解.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建系，如图所示：
设等边三角形边长为,
可得：，，，，
设直线的方程为：，则有，解得，
直线的方程为：，
可设：，则有，
即有：，
，解得（负舍）
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，得出相关点的坐标，则得到直线的方程为：，最后得到，代入计算即可.
16． 1 2
【分析】第一空由向量的加法法则结合图形关系可得；第二空取的中点，然后由向量共线的充要条件可得.
【详解】因为，①
因为是线段的两个三等分点，
所以，
所以由①可得，
所以；
取的中点，由平行四边形定则可得，
所以，
因为三点共线，
所以，
所以，
故答案为：1；2.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求得值，然后由模的坐标表示计算；
（2）由向量平行的坐标表示求得，然后由数量积的坐标运算求向量夹角的余弦值．
【详解】（1）由题意，
因为，则，得，
则，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
则，
故．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示，列出方程求解即可；
（2）由平面向量平行的坐标表示，列出方程求解即可．
【详解】（1）由题可得，，，
因为，所以，解得．
（2）由题可知，，
因为，所以，解得，
所以，即的坐标为．
19．(1)最大值是，此时.
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量；
（2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得．
【详解】（1）由题意知的坐标分别为，．
，
.
由题意可知.
，.
所以，故时，
的最大值是，此时.
（2），，
.
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求出x，再根据向量模的坐标运算可得结果；
（2）根据向量平行的坐标运算求出x，再根据向量夹角的坐标运算可得结果.
【详解】（1）由可得，整理得．
因为，所以，解得．
所以，所以．
（2），因为，所以，解得．
所以，又，所以，
所以与的夹角的余弦值为．
21．(1)直角三角形，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）法一：求出，的坐标，根据证明即可；法二：求出，，，根据勾股定理逆定理证明即可；
（2）首先求出，的坐标，根据向量共线的坐标表示得到与共线，即可得证；
（3）依题意可得，再由求出的坐标，即可得解.
【详解】（1）法一：因为，，
所以，，，
其中，所以，即，
故为直角三角形.
法二：因为，，
所以，，，
所以，所以，即，
故为直角三角形.
（2）因为，，，
所以，，
因为，所以与共线，
又与有公共点，所以、、三点共线.
（3）因为是线段上靠近点的四等分点，
所以，
所以，故.
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