6.4平面向量的应用 同步练习（含解析）2023——2024学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

6.4平面向量的应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在锐角中，若，且，则能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． D．3
2．在锐角三角形中，角所对的边分别为.若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．在非直角三角形中，设角的对边分别为.若，是角C的内角平分线，且，则（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，四边形的顶点都在圆上，且经过圆的圆心，若圆的半径为4，，四边形的面积为，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为.想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此处山腰高（单位：）为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则（　　）
A． B． C． D．
7．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）

A． B．
C． D．
8．在中，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．或
二、多选题
9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则此三角形为直角三角形
C．若，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
10．如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，D是外一点，且DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的有（　　）
A．是等边三角形
B．若，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积的最小值为
D．四边形ABCD面积的最大值为
11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若为斜三角形，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是等边三角形
12．给出下列的命题，其中正确的是（ ）．
A．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则
B．若角α的终边在第一象限，则的取值集合为
C．
D．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的最小值为
三、填空题
13．已知的三边长分别为角是直角，则的取值范围是 ．
14．在中，角的对边分别为；已知，若向量满足，则的面积为 ．
15．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米．
16．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得到 ．

四、解答题
17．已知的内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角B的大小；
(2)若，，点D在边上，且，求的长.
18．在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求的值．
(2)若是的平分线．
（i）求证：；
（ii）若，求的最大值．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)若，求的值．
(2)在下列条件中选择一个，试判断是否存在．如果存在，求b长的最小值；如果不存在，请说明理由．
①；② 的面积；③ .
20．的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
21．如图，已知平面四边形中，，，．

(1)若，，，四点共圆，求的面积；
(2)求四边形面积的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】由可求，再根据，化简可得，用对应角的正弦来表示边，得，最后结合两角差的正弦公式、辅助角公式即可求解.
【详解】由，
又，
所以，则．
因为,
根据正弦定理得，
故，
即，
所以，即．
根据正弦定理得，
所以，．
因为为锐角三角形，且，
所以，，即，，解得，
所以
．
因为，所以，则，
所以，即．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于用正弦定理的边角互化，求出和用对应角表示对应边，将所求边长之和转化为关于角的三角函数进行化简，再根据所求角的范围来求值域即可.
2．B
【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用是锐角三角形，可得角度关系，进而求出的范围，对所求式子化简，可求出结果．
【详解】因为，由正弦定理可知，
又，所以，所以，
所以，即.
又是锐角三角形，则，则，，
所以，即，所以，解得，
所以
，
因为，所以，则，则.
故选：B.
3．A
【分析】利用正弦定理对给定式子进行边角互化及使用余弦定理的推论求得，再利用等面积法及三角形的面积公式，结合正、余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系求解即可．
【详解】由，
及正弦定理得，．
由余弦定理得，.
因为为非直角三角形，所以，所以
因为是角的内角平分线，且，
所以由三角形的面积公式得，
所以，即，
因为，所以，则，所以，
所以，.
故选：A.
4．A
【分析】因为圆的半径为4，且，所以的等边三角形，得到，所以.用的三角函数表示出四边形的面积，从而求出，计算弦长即可.
【详解】连接，，则是等边三角形，.
四边形的面积为
，
解得.因为，所以.
所以是等边三角形，所以.
故选：
5．C
【分析】在处测得山顶的仰角为，的倾斜角，在处测得山顶的仰角为，利用正弦定理即可算出山腰高度.
【详解】由题意可知，，
分别在中，，
所以，
又，
在中，由正弦定理可得，即，，
在中，，所以山腰高为.
故选：C.
6．A
【分析】在中利用正弦定理得，结合平方关系求解即可．
【详解】在中，．
在中，，，，
即，所以.
又且，
所以.
故选：A.
7．A
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求周长的最大值.
【详解】因为四边形木板的一个内角满足，如图，

设，由题设可得圆的直径为，
故，因，为三角形内角，故，
故，
故，
故，
故，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当等号成立，
故四边形周长的最大值为，
故选：A.
8．A
【分析】先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】在中，若，，，
由余弦定理得，
即，解得（舍去），
所以.
故选：A.
9．BD
【分析】根据正弦定理、二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、三角形个数的判断方法以及辅助角公式即可求解．
【详解】对于A：因为，由正弦定理可得，
则,
又，则，，，
可得，整理得，
又因为，
可得或，即或，
所以或，故A错误；
对于B：因为，则，
所以，
所以，
在三角形中，，所以，所以，
则此三角形为直角三角形，故B正确；
对于C：因为，所以，所以，
则解此三角形只有一解，故C错误；
对于D：因为是锐角三角形，
所以，所以，
所以，所以，即，
同理，
则，故D正确．
故选：BD.
10．AD
【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是等边三角形，从而判断A；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD.
【详解】已知，由正弦定理，
得，即，
因为，所以又，
所以或，由题意知，即有，
则，，所以是等边三角形，故A正确；
在中，由余弦定理，得，
则，即，所以A，B，C，D四点不共圆，故B错误；
设，，由余弦定理，得：
，
所以四边形ABCD的面积，
即，
因为，所以，
所以当，即时，S取得最大值，无最小值，故C不正确，D正确.
故选：AD.
11．BCD
【分析】由正弦定理推理判断AD；由诱导公式及两角和公式判断B；由平面向量的数量积判断三角形形状判断C．
【详解】对于A，由正弦定理得，
或，则是等腰三角形或直角三角形，A错误；
对于B，依题意，
整理得，B正确；
对于C，由正弦定理得，，即，
则，是等腰三角形，C正确；
对于D，由及正弦定理得，，
即，而，则，为等边三角形，D正确．
故选：BCD
12．BCD
【分析】根据正余弦定理得，由角的范围可判定A，根据已知得的范围，利用三角函数符合可判定B，根据基本关系式、正余弦二倍角公式及辅助角公式可判定C，根据正弦定理、两角差的正弦公式、基本关系式、正切二倍角公式及基本不等式可判定D.
【详解】选项A：，
即或，故A错误；
选项B：因为角α的终边在第一象限，即，
所以，所以在第一、三象限，
当在第一象限时，，
当在第三象限时，，
即的取值集合为，故B正确；
选项C：
，故C正确；
选项D：因为，所以，
，
即，又，
所以或(舍去)，即，
，
当且仅当，
或时等号成立，故D正确；
故选：BCD.
13．
【分析】解法1：分，和三种情况讨论，结合基本不等式和对勾函数分析运算；解法2：根据直角三角形边化角结合三角恒等变换整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算．
【详解】解法1：∵ 由角是直角，故，原式，则有
当时，则，令，则原式.
∵ ，
当且仅当，即时，等号成立，
∴原式，故；
当时，；
当时，则，
令，可得，
则，
在上单调递减，则在上单调递增，
，即.
综上，的取值范围是.
解法2：由角是直角，得，，，
可得
，
.，则，可得，
.
故答案为：.
14．
【分析】利用向量平行的坐标表示可得，再由余弦定理解得，利用面积公式可得结果.
【详解】根据题意由可得，
整理可得；
又可知，即可得，解得；
所以的面积为.
故答案为：
15．
【分析】由题意判断是等边三角形，为等腰三角形，取的中点，解直角三角形即可.
【详解】由题意可得是等边三角形，千米.记直线与直线的交点为，
，所以，为的中点，
所以为等腰三角形，由，
所以千米.
故答案为：.
16．
【分析】运用余弦定理可求得，再利用诱导公式可求得答案．
【详解】在中，由余弦定理得
，
所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理角化边，最后整理得角即可.
（2）利用正弦定理结合同角三角函数的基本关系求解，再利用余弦定理求解，最后再利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）

因为,
由余弦定理得，
整理可得,
所以，又，
所以.
（2）因为
所以由正弦定理可得,
由,可得A为锐角，可得，
由余弦定理得故
整理可得解得或(舍去),
又点D在边AC上, 且所以
所以在中，由余弦定理可得 .
18．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
，
且，则，所以.
（2）（i）在中，由正弦定理可得①，

由余弦定理可得②，.
在中，由正弦定理可得③，
由余弦定理可得 ④.
因为是的平分线，则，
所以.
因为，所以，，
①÷③，得⑤，所以，，
②＋④，得
所以
，得证．
（ii）由（1）可得，则，即，
由⑤式（或由角平分线定理）知，，
所以，，
所以由（i）知，所以，
因为，即，解得，
当且仅当时，取得等号，
所以的最大值为.
19．(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）由正弦定理角化边可得，结合已知可得，两边平方结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）选①，结合题设得出，结合正弦函数性质，即可求得b的最小值，进而判断存在；选②，利用三角形面积结合题设推出的表达式，结合正弦函数性质，即可求得b的最小值，进而判断存在；选③，根据勾股定理逆定理判断C为直角，结合题设可推出矛盾，即可得结论.
【详解】（1）在△ABC中，，由正弦定理可得，
代入中，可得，
两边平方得，∴，
∴ ，，
即，结合，
∴ ；
（2）选①，∵ ，，
∴ ，
故，
∵，且，
∴，
∴ 当，即时，，
此时，，
∴ 存在；
选②，∵，
∴ ，.
∵，∴ ，
故
，
∵ ，，
∴ 当，即时，，
此时，，，∴ △ABC存在．
选③，∵，故 C为直角，∴ A，B互余，且，
而，
∴，
化简可知，该式矛盾，
∴ 这样的不存在.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.
（2）利用三角形面积公式求出，再余弦定理列方程求解即得.
【详解】（1）依题意，，
在中，由正弦定理得，
因此，而，则，又，
所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得，
而，则，解得，，
所以的周长为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理写出的表达式，结合A，，，四点共圆求出，求出的值，进而利用三角形的面积公式求解即可；
（2）由（1）可得，表示出四边形的面积S的表达式得，由题意，结合三角形内角的范围及余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得
．①
在中，由余弦定理得
．②
因为A，，，四点共圆，所以，因此，
由①+②得，得．
将代入①，得，故，
因此．
（2）由（1）可知，
得．③
四边形的面积，
则．④
将③式两边同时平方，得，
将④式两边同时平方，得，
得，
化简得．
由于，，
因此当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，且，得，
故四边形面积的最大值为．
答案第1页，共2页
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