7.1复数的概念 同步练习（含解析）2023——2024学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

7.1复数的概念同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数在复平面内对应的点为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．设则是纯虚数的充要条件是
B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方
C．设复数与满足，则
D．若复数与满足，则
3．已知复数（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
4．设复数满足在复平面内对应的点为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．
B．的最大值为2
C．复数在复平面内对应的点位于第二象限
D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
6．已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
7．若复数对应的点在第四象限，则m的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．已知，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
二、多选题
9．设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则或
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若，则点的集合所构成图形的面积为
10．若复数，则下列正确的是（ ）
A．当或时，为实数
B．若为纯虚数，则或
C．若复数对应的点位于第二象限，则
D．若复数z对应的点位于直线上，则或
11．设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若，则的模为
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
12．在复数城内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小．“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内表示一个圆
B．若，则方程无解
C．若为虚数，且，则
D．复平面内，复数对应的点在直线上，则最小值为
三、填空题
13．设，若，其中是虚数单位，则
14．已知关于的方程有实根，则实数 ．
15．已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为 .
16．若实数、满足，复数，则的最大值是 ；最小值 ．
四、解答题
17．已知复平面内表示复数（）的点为.
(1)若点在函数图像上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
18．已知是虚数单位，复数，.
(1)当复数z为实数时，求m的值；
(2)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(3)当复数z在复平面内对应的点在第三象限时，求m的取值范围.
19．已知，复数，当为何值时；
(1)是纯虚数；
(2)？
20．复平面内表示复数的点为．
(1)当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；
(2)当点位于第四象限时，求实数的取值范围；
(3)当点位于直线上时，求实数的值．
21．设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据复数的几何意义，写出复数的标准式，结合虚部的定义，可得答案.
【详解】由题意可知，则其虚部为.
故选：A.
2．C
【分析】A.由一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0判断；B.由实数与其共轭复数对应的点都在实轴上判断；C.由得到与都是实数判断；D.分实数和虚数判断.
【详解】解：一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，故A选项错误；
实数与其共轭复数对应的点都在实轴上，故B选项错误；
说明与都是实数，所以C正确；
选项对实数成立，但对虚数未必成立．如但不成立.
故选：C
3．C
【分析】根据复数的几何意义可得，将代入即可求解.
【详解】由，
得，
又，所以当时，取得最大值4，
所以的最大值为2.
故选：C
4．C
【分析】由复数的几何意义分析即可.
【详解】由复数满足，则，
由复数的几何意义可知，
复数在复平面内对应的点与复数对应的点之间的距离为.
所以.
故选：C.
5．B
【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，
，当时取等号，B正确；
对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误；
对于D，，，
，，
因此的面积为：，面积的最大值为，D错误.
故选：B
6．A
【分析】由复数的几何意义和复数的模长公式求解即可.
【详解】由复数的几何意义可得，
所以.
故选：A.
7．B
【分析】由复数表示的点在第四象限，可得实部为正且虚部为负即得.
【详解】由可得，又m为整数，所以.
故选：B.
8．C
【分析】分别求出的模，利用复数模的性质求结论.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：C.
9．BCD
【分析】对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案；
对于B，根据复数的几何意义，写出点的轨迹方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离，可得答案；
对于C，根据复数的模长公式，可得答案；
对于D，根据模长的几何意义作图，结合圆的面积公式，可得答案.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，设对于的点为，则其轨迹方程为，
由原点到的距离为，如下图：
易知当对应的点为时，取得最小值，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
点的集合所构成图形为图中的阴影部分，面积，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】根据复数的类型、几何意义，结合复数的具体形式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：当，；当，，故或时，均为实数，A正确；
对B：为纯虚数，则，解得，故B错误；
对C：复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确；
对D：复数z对应的点位于直线上，则，
即，解得或，对应复数分别为或，故D正确；
故选：ACD.
11．BD
【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD．
【详解】对A,由，可得，且，故A错误；
对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确；
对C,若，则的模为，故C错误；
对D,设,若，则，
则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
12．BCD
【分析】根据已知条件，理解的意义，结合复数的几何意义，点到直线距离公式对选项逐一判断即可.
【详解】根据已知条件表示模长为，在复平面位于轴上方的复数，
所以并不是一个圆，A错误；
若，则方程为一个实数，所以无解，B正确；
若为虚数，且，设，则，，，
所以，C正确；
复数对应的点在直线上，则最小值为：
点到直线的距离，所以最小值为：，D 正确.
故选：BCD
13．7
【分析】根据复数相等求解.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
故答案为：
14．
【分析】设是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解．
【详解】设为方程有实根，
则，即，
所以，解得，
故答案为：.
15．45°（或）
【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解.
【详解】根据题意，，，
，又，
所以向量与的夹角为.
故答案为：（或）.
16． 6 4
【分析】由复数的几何意义结合向量的运算得出答案.
【详解】设，则.
则，即.
即，即.
因此的最大值为，最小值为.
故答案为：；.
17．(1)3
(2)
【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可；
（2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可.
【详解】（1）因为点在函数图像上，
所以，解得.
（2），，
因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
即，即，
当两向量共线且反向时，设，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数为实数的概念列方程求解即可；
（2）根据复数为纯虚数的概念列方程求解即可；
（3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可.
【详解】（1）当z为实数时，有，
解得；
（2）当z为纯虚数时，有，
解得.
（3）当z在复平面内对应的点在第三象限时，有，
解得，
所以m的取值范围为.
19．(1)或
(2)
【分析】（1）根据实部为0，虚部不为零可求参数的值；
（2）利用复数相等的条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得参数的值.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴,解得或，
∴当或时，是纯虚数.
（2）∵，∴，解得，
∴故时，.
20．(1)，虚部为
(2)
(3)或
【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；
（2）根据复数的几何意义列式计算；
（3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求.
【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为．
（2）依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限．
（3）依题意得当，即或时，点位于直线上．
21．(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取复平面上的圆，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i在复平面上对应的点在圆外，得到结论；
（2）先证明必要性，令复数，取复平面上的圆，得到是的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当时，不是的“可分离子集”，得到结论.
【详解】（1）是，理由如下：
取复平面上的圆，
则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内．
而，
故复数i在复平面上对应的点在圆外．
因此，是的“可分离子集”．
（2）必要性：当时，令复数，
取复平面上的圆，
则在复平面上对应的点在圆周上，
又，
故1在复平面上对应的点在圆外．
由，
，
知．
故在复平面上对应的点在圆外．
因此，当时，是的“可分离子集”．
充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”．
假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外．
设圆心表示的复数为．再设．
由知
，
故．
由知
，
故．
进而，，
由知，
故，
进而．
这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．
即当时，不是的“可分离子集”，充分性证毕，
综上，是的“可分离子集”当且仅当.
【点睛】集合新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
答案第1页，共2页
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