河南省焦作市普通高中2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（PDF版无答案）

绝密★启用前 6 2．已知O为坐标原点，直线 l过抛物线D : y 2px p 0 的焦点 F ，与D及其准线依次交于 A,B,C三
焦作市普通高中 2023—2024学年（上）高三年级期中考试
点（其中点 B在 A,C之间），若 AF 4， BC 2 BF ,则 OAB的面积是
数 学 A B 4 3 C 2 3 D 8 3． 3 ． ． ．
3 3
π
考生注意： 7． l、 l 为两条直线， , 为两个平面，满足： l l O, l与 l 的夹角为 , / / , l , 与 之间的距
6
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴 离为 2．以 l为轴将 l 旋转一周，并用 , 截取得到两个同顶点O (点O在平面 与 之间)的圆锥．设
在答题卡上的指定位置。
2 V、V V V．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 这两个圆锥的体积分别为 1 2，则 1 2的最小值为
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 2
A 2 ． B． C． D．
在本试卷上无效。 3 3 9 9
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 8．设 x 表示不超过 x的最大整数（例如： 3.5 3， 1.5 2），则 log21 log2 2 log2 3 log2 2046
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 A．9 2
10 8 B．9 211 8 C．9 210 2 D．9 211 2
是符合题目要求.
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
1．已知集合M x | x 1 0 ，N x | 2x 1 ，则下列 Venn图中阴影部分可以表示集合 x | 1 x 0 题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
的是 9．有一组样本数据 x1, x2 , , xn的平均数为 x，方差为 s2，则下列说法正确的是
A．设 a R ，则样本数据ax1， ax2 ，…，axn的平均数为ax
A． B．
B．设 a，b R ，则样本数据 ax1 b，ax 2 22 b，…， axn b的标准差为a s
C x2 2 2 2．样本数据 1 ， x2，…， xn 的平均数为 x
C． D．
1 n 2
D 2． s x2 xn ii 1
2．复数 z满足1 zi zi2 3 4i ，则 z 10．已知m 0,n 0，且m n 2mn，则下列结论中正确的是
A．mn 1 B．m n 2 C．m2 n2 2 D．A 2 2i B 2 2i C D 2m n 3 2 2． ． ． 2 2i ． 2 2i
2 2
1 11．在平面直角坐标系 xOy中，由直线 x 4
x y
上任一点 P向椭圆 1作切线，切点分别为 A，B，
3．已知等比数列 an 的前 n项积为Tn，a1 16，公比 q ，则Tn取最大值时 n的值为 4 32
点 A在 x轴的上方，则
A．3 B．6 C．4或 5 D．6或 7
1 A． APB
1
恒为锐角 B．当 AB垂直于 x轴时，直线 AP的斜率为
4．在 ABC中，BD BC
2
，点E是 AD的中点，记
3 AB a
， AC b ，则BE

1 1 2 1 1 1 2 1 C． | AP |的最小值为 4 D．存在点 P，使得 (PA PO) OA 0A． a b B． a b C． a b D． a b
3 3 3 6 3 3 3 6 12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为 2 的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为
5．在边长为 1的小正方形组成的网格中， ABC如图所示，则 tan A r(0 r 2)，设圆台的体积为 V，则下列选项中说法正确的是
7
A． B．1
4 A．当 r 1时，V 7 3π B．V存在最大值
5
C D 5． ． C．当 r在区间 (0,2)内变化时，V逐渐减小 D．当 r在区间 (0,2)内变化时，V先增大后减小
3 2
数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页）
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分. 序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13．A市高三年级男生的身高 X（单位：cm）近似服从正态分布N 175, 2 ，已知 P 175 X 180 0.2，
成绩 xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
若P X a 0.3,0.5 .写出一个符合条件的 a的值为 . 10 10
2 2
记这 10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 x， s2，经计算 x1 x 1690， xi 33050．
2 2 i 1 i 114．已知圆C : x y 4xcos 4y sin 0，与圆C总相切的圆D的方程是 ．
（ I ）求 x；
15．组合数学常应用于计算机编程，计算机中著名的康威生命问题与开关问 （ II ）规定体质测试成绩低于 50分为不合格，从这 10名学生中任取 3名，记体质测试成绩不合格的
(1,1) (1, 2) (1,3)
“ ” “ ” 人数为 X，求 X的分布列；题有相似的地方．下图为一个开关阵列，每个开关只有 开 和 关 两种
状态，按其中一个开关一次，将导致自身和周围所有相邻的开关改变状 (2,1) (2, 2) (2,3) （ III
2
）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N , ，用 x，s2的值分别作为 ， 2 的近
态，例如，按 (2, 2)将导致 (1, 2)， (2,1)， (2,3)， (3, 2)改变状态．如果要 (3,1) (3, 2) (3,3) 似值，若监测中心计划从全市抽查 100名高中生进行体质测试，记这 100名高中生的体质测试
求只改变 (1,1)的状态，则需按开关的最少次数为 ．
成绩恰好落在区间 30,82 的人数为 Y，求 Y的数学期望E Y ．附：若 N , 2 ，则
16．机器学习是人工智能的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算
P( ) 0.6827， P( 2 2 ) 0.9545 ， P( 3 3 ) 0.9973．
不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形
1
式．两点 A x1, y1 ,B x2 , y2 的闵氏距离为Dp A,B x1 x p y y p p ，其中 p为非零常数．如2 1 2
20.（12分）
果点M 在曲线 y ex 上，点N在直线 y x 1上，则D1 M ,N 的最小值为 ． 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；图 1，由射线 PA，PB，PC构成的三
面角P ABC， APC ， BPC ， APB ，二面角 A PC B的大小为 ，则 cos cos cos sin sin cos ．
π
四、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （ I ）当 、 0, 2 时，证明以上三面角余弦定理；
17．（10分）
（ II ）如图 2，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，平面 AA1C1C 平面 ABCD， A1AC 60 ， BAC 45 ，
已知数列 an 为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取a1 1，接着复制该项
①求 A1AB的余弦值；
粘贴在后面作为 a2，并添加后继数 2作为a3；再复制所有项 1，1，2并粘贴在后面作为a4，a5，a6，
②在直线CC1上是否存在点 P，使BP//平面DA1C1？若
并添加后继数 3作为a7，…依次继续下去.记bn 表示数列 an 中n首次出现时对应的项数. 存在，求出点 P的位置；若不存在，说明理由．
（ I ）求数列 bn 的通项公式；
21.（12分）
（ II ）求 a1 a2 a3 a63 . 我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数 e（离
心率）.我们称此定点是焦点，定直线是准线.已知双曲线E : 3x2 y2 24x 36 0 .
18.（12 （ I ）求双曲线E的准线；分）
A,B,C a,b,c （ II ）设双曲线 E的右焦点为F ，右准线为 l .椭圆C以 F 和 l为其对应的焦点及准线过点 F 作一条平行在 ABC中，角 所对的边分别为 ，满足6cosC c 2b， a 3 .
于 y x的直线交椭圆C于点A和 B .已知C的中心 P在以 AB为直径的圆内，求椭圆C的离心率 e
（ I ）证明： ABC外接圆的半径为 3；
的取值范围.
（ II ）若 2S ABC t a 2 2b 2 11c 2 恒成立，求实数 t的取值范围.
22.（12分）
19. a x
2
（12分） 已知函数 f (x) e x x3 2ax．
3 2
为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划
（ I ）当a 0，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程．
优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较 10名学生进行
体质测试，得到如下表格： （ II ）若 f (x)在[0, )上单调递增，求 a的取值范围；
（ III ）若 f (x)的最小值为 1，求 a．
数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页）
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