选择题
1、已知函数,且关于的方程有且只有一个实根,则实数的范围是( )。
A. B. C. D.
2、当x∈[0,2)时,=log2(x+1),则的值为( )。
A.-2 B.-1 C.2 D.1
3、已知定义在R上的奇函数和偶函数满足,若,则( )。
A. 2 B. C. D.
4、在y=2x,y=log2x,y=x2,这三个函数中,当0恒成立的函数的个数是( )。
A.0 B.1 C.2 D.3
5、设,则函数的零点位于区间( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
6、方程的实根( )
A.不存在 B.有一个 C.有二个 D.有三个
函数的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(e,3)
C.(2,e) D.(e,+∞)
8、已知函数有个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、已知函数f(x)在区间(0,a)上有唯一的零点(a>0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为(0,),(0,)(0,),则下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)在区间(0,)内一定有零点
B.函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点,或零点是
C.函数f(x)在(,a)内无零点
D.函数f(x)在区间(0,)或(,)内有零点
10、在区间[3,5]上有零点的函数有( )
A. B.
C. D.
二、填空题
11、方程有实根,则实数的取值范围是
12、已知,则不等式的解集是_____________。
13、已知f(x)是定义在R上的奇函数,当
,若直线与函数的图象恰有3个不同的公共点,则实数的取值范围为 .
14、已知函数f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在x0,使f(x0)=0,则实数m的取值范围是________.
15、函数则函数的零点是 .
16、函数的图像关于直线对称,则m= .
三、简答题
17、已知函数f(x)=ax2+2(a+1)x+a-1,
(1)求a为何值时,函数的图象与x轴有两个交点;
(2)如果函数的一个零点在原点,求a的值.
18、二次函数f(x)满足f (x+1)-f (x)=2x且f (0)=1.
(1)求f (x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f (x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
19、已知函数有两个零点;
(1)若函数的两个零点是和,求k的值;
(2)若函数的两个零点是,求的取值范围
参考答案
一、选择题
1、【解析】本题可采用数形结合的方法解答.如图,在同一坐标系内分别作出的图象,其中表示直线在轴的截距,结合图形可知当时,直线与只有一个交点. 即.
【答案】D
2、【解析】由=知是周期为2的函数,
∴===log22+log21=1.
3、C
4、 [考场错解] C
[专家把脉] 对四个函数图像不熟悉导致错误.由题设条件知F(x)在(0,1)上是凸函数,认为y=log2x和y=cos2x在(0,1)上是凸函数.其实y=cos2x在(0,)是凸函数,在(,1)是凹函数.
[对症下药] B 根据条件,当0恒成立知f(x)在(0,1)上是凸函数,因此只有y=log2x适合.y=2x和y=x2在(0,1)上是函数.y=cos2x在(0,)是凸函数,但在(,1)是凹函数,故选B.
5、C
6、C
7、C
8、D
9、解析:根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在(0,)或(,)中或f()=0.
答案:B
10、A
二、填空题
11、
12、
13、
14、m≤-2或m≥1
15、0
16、-2
三、简答题
17、解:(1)若函数的图象与x轴有两个交点,则已知函数为二次函数,且方程f(x)=0有两个不相等的实数根,于是有a≠0,Δ>0.
又Δ=4(a+1)2-4a(a-1)>0,即a>-,所以满足题意的实数a的取值范围为(-,0)∪(0,+∞).
(2)如果函数的一个零点在原点,即x=0是方程f(x)=0的一个根,易得a-1=0,解得a=1.
18、解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以
,∴f(x)=x2-x+1.
(2)由题意x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立.
设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.
故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.
19、解:(1)和是函数的两个零点,
,……………2分
则: 解的; ………………4分
(2)若函数的两个零点为
,
…………7分
则 …………9分
…… 12分