2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市开州区云枫教育集团七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.的平方根是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知，小明把三角板的直角顶点放在直线上若，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.估计的值( )
A. 在到之间 B. 在到之间 C. 在到之间 D. 在到之间
5.关于的一元一次不等式组的解集如图所示，则它的解集是( )
A. B. C. D.
6.若点在轴上，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.已知方程组，则的值是( )
A. B. C. D.
8.孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，根据这个规律，点的坐标为( )
A. B. C. D.
10.已知关于，的方程组，给出下列说法：当时，方程组的解也是的解；若，则；无论取何值，，的值不可能互为相反数；以上说法中正确的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.比较大小： ______填“”或“”
12.不等式的解集为______．
13.如图，点在的延长线上，若，则平行的是：______．
14.已知，那么 ______．
15.已知线段的长为，且轴，点的坐标为，则点的坐标为______．
16.二元一次方程的正整数解是______．
17.将一张矩纸条按如图所示折叠，若折叠角，则 ______．
18.对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与百位数字之和等于，十位数字与个位数字之和也等于，那么称这个数为“永恒数”对于一个“永恒数”，记为例如：，因为，所以是一个“永恒数”，则 ______；若一个四位自然数是“永恒数”，且为整数，则满足条件的四位自然数的最大值与最小值的差为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算或解方程：
；
．
20.本小题分
解下列方程组：
；
．
21.本小题分
阅读下列推理过程，完成下面的证明．
已知：如图，已知，，垂足分别为、，求证：．
证明：，已知
______
______
____________
又______
____________
____________
______
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、每个方格的边长均为个单位长度．
请画出先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的，并直接写出、、的坐标；
在轴上是否存在点，使的面积等于面积的，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23.本小题分
今年春季，蔬菜种植场在亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为万元和万元请解答下列问题：
求出茄子和西红柿的种植面积各为多少亩？
假设茄子和西红柿每亩地的利润分别为万元和万元，那么种植场在这一季共获利多少万元？
24.本小题分
如图，在中，若，．
试说明；
若为的角平分线，，，求的度数．
25.本小题分
在平面直角坐标系中，为原点，点，并且，满足满足关于，的二元一次方程如图，过点作轴，垂足为，求三角形的面积；
如图，将线段向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，写出、的坐标，并求四边形的面积；
如图，点为对角线上一动点，轴于点，连接，直接写出的最小值．
26.本小题分
已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．
如图，若，求的度数．
在的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数．
如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
利用平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】
解：，的平方根是．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
首先根据同位角相等，两直线平行求出，根据求出即可．
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
先估算出的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据数轴可知：不等式组的解集是，
故选：．
根据数轴得出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据数轴得出正确信息是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了点的坐标的求解，利用轴上的点纵坐标等于列式求出的值是解题的关键．
根据轴上的点纵坐标为，列式求出的值，然后计算求出横坐标，从而点的坐标可得．
【解答】
解：在轴上，
，
解得，
，
点的坐标为．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：，
则得：
，
故
．
故选：．
直接利用已知方程组变形进而得出，即可求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的解，正确将原方程组变形是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：设木头长为尺，绳子长为尺，
由题意可得，
故选：．
设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9.【答案】
【解析】解：根据动点的运动方式可知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
，
由此可见，点为正整数的纵坐标为，且点的横坐标按，，，循环出现，
因为，，
所以点的坐标为．
故选：．
根据所给动点的运动方式，依次求出，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据动点的运动方式，发现其对应点坐标的变化规律是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是，
，，
当时，方程组的解也是的解，
选项符合题意．
，
，可得，
，
，
解得，
若，则，
选项符合题意．
假设，的值互为相反数，则，
，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是，
，
无论取何值，，的值不可能互为相反数，
选项符合题意．
综上，可得正确的说法的个数为个：、、．
故选：．
当时，，应用加减消元法，求出方程组的解，再判断出、的值是否是的解即可；
把关于，的方程组的两个方程左右两边分别相加，可得，再根据，求出的值即可；
首先应用加减消元法，求出关于，的方程组的解，然后把求出的、的值相加，判断出，的值能不能互为相反数即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
11.【答案】
【解析】解：，
又，
，
故答案为：．
先把写成，然后根据被开方数大的算术平方根也大即可得出比较结果．
本题考查了实数的大小比较，是一道基础题．
12.【答案】
【解析】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
故答案为．
本题是关于的不等式，应先只把看成未知数，按照解一元一次不等式的步骤求得的解集．
本题主要考查了解一元一次不等式的方法，需要注意在不等式两边都除以同一个负数时，应改变不等号的方向．
13.【答案】
【解析】解：，
内错角相等，两直线平行，
故答案为：．
根据“内错角相等，两直线平行”求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：．
根据算术平方根的性质求解即可．
本题考查了算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：因为轴，
所以，两点的横坐标相等，
则．
又因为，
所以，，
所以点的坐标为或．
故答案为：或．
根据轴，可得出，两点的横坐标相等，再根据长为，可求出点的坐标．
本题考查坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：当时，，则；当式，，则，
方程的正整数解和．
故答案为：和．
采用列举法求得方程的所有正整数解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据翻折变换的性质求出的度数，从而求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题意可知：；
根据“永恒数”的定义，
设，
其中，，，都为整数，，
为整数，
是整数，
由于各个数位上的数字互不相同，
当取最大值时，，最大，
当取最小值时，，时最小，
最大为，
最小为，
，
故答案为：，．
根据直接进行求解即可；根据“永恒数”的定义，设，求出的值，根据为整数，分情况求出的最大值与最小值即可得出结果．
本题考查了新定义的实数运算，整式运算，理解新定义并将其转化为整数的运算是解题的关键．
19.【答案】解：原式
；
由原方程可得，
则，
解得： 或．
【解析】利用二次根式的性质，算术平方根的定义及绝对值的性质计算即可；
利用平方根的定义解方程即可．
本题考查实数的运算及平方根，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键．
20.【答案】解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为；
原方程组整理得，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【解析】利用加减消元法解方程组即可；
将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
21.【答案】垂直的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知 同角的补角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【解析】解：，已知，
垂直的定义，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补，
又已知，
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；已知；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的性质与判定条件结合垂直的定义，同角的补角相等进行证明即可．
本题主要考查了垂直的定义，平行线的性质与判定，同角的补角相等等等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
22.【答案】解：如图，即为所求．
的坐标为，的坐标为，的坐标为．
的面积为，
的面积等于面积的，
的面积为，
设点的坐标为，
，
解得或，
点的坐标为或．
【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案．
由题意可得，的面积为，设点的坐标为，则可列方程为，解方程即可得出答案．
本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
23.【答案】解：设茄子和西红柿的种植面积各为亩，亩，
由题意得，，
解得，
答：茄子和西红柿的种植面积各为亩，亩；
万元，
答：种植场在这一季共获利万元．
【解析】设茄子和西红柿的种植面积分别为亩，亩，根据蔬菜种植场在亩的大棚地里分别种植了茄子和西红柿，总投入是万元，其中，种植茄子和西红柿每亩地的投入分别为万元和万元列出方程组求解即可；
根据所求，列式计算即可．
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．
24.【答案】解：，
．
又，
．
．
由得，．
为的角平分线，
．
．
【解析】根据平行线的性质，由，得，进而推断出根据平行线的判定，得．
根据角平分线的定义，得再根据三角形内角和定理求得．
本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义、三角形内角和定理是解决本题的关键．
25.【答案】解：是关于，的二元一次方程，
，
解得，
又，
，
又轴，
，
，，
；
，，
且线段向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到线段，
，，
过点作的垂线交的延长线于点，过点作轴于点，且交的延长线于点，如图，
；
显然的最小值为点的纵坐标，
的最小值为．
【解析】根据二元一次方程定义求出，，得到点的坐标，以及点的坐标，从而确定，的值，根据三角形面积公式求出三角形的面积；
根据平面直角坐标系中点的平移的规定得到点，点的坐标；再利用割补法即可求出四边形的面积；
根据垂线段最短即可直接写出的最小值．
本题考查二元一次方程的定义，坐标系中图形面积计算，平移，垂线段最短，掌握相关概念，以及割补法求图形的面积的方法是解题的关键．
26.【答案】解：如图所示，过点作，
，
，
，，
，
，
．
如图所示，过点作，
，，，
平分，平分，
，
，
，，
；
如图所示，将与的交点记作，
平分，且，
，，
平分，
，
设，
，
由同理可得，，
，
，
在中，，
，即为定值．
【解析】过点作，利用平行线的性质求解；
分别过点和作，，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值；
根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明．
本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．
第1页，共1页