2023-2024学年湖南省湘潭市岳塘区四校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省湘潭市岳塘区四校联考九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列几何体中，主视图和左视图都为矩形的是( )
A. 球 B. 直立圆柱 C. 圆锥 D. 倒放圆柱
3.某球员参加一场篮球比赛，比赛分节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为( )
A. 分
B. 分
C. 分
D. 分
4.已知关于的方程的解是，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为：若的面积为，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，现在要将两侧的管道对接，如果一侧铺设的角度为，那么另一侧铺设的角度大小应为( )
A. B. C. D.
7.若点在反比例函数图象上，则该函数图象一定经过点( )
A. B. C. D.
8.对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为( )
A. B.
C. 或 D. 或
9.如图，四边形内接于，，，、分别为、上一点，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数，其中与的部分对应值如表：
下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若或时，
D. 方程的解为，
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式： ______．
12.一只不透明的袋中，装有枚白色棋子和枚黑色棋子，除颜色外其余均相同若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在，则的值可能是______．
13.在中，，，，则的值是______．
14.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______．
15.如图，在正方形中，点为上一点，与交于点若，则等于______度．
16.如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数表达式为______．
三、解答题：本题共6小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校的一个社会实践小组对本校学生中开展主题为“垃圾分类知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如表：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
频数
请根据调查结果，若该校有学生人，请估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数．
在“比较了解”的调查结果里，其中九班学生共有人，其中名男生和名女生，在这人中，打算随机选出位进行采访，求出所选两位同学恰好是名男生和名女生的概率．要求列表或画树状图
18.本小题分
重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门处，有一斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一花台，在处仰望的仰角，的延长线交校门处的水平面于点，米．
求斜坡的坡度．
求的长．
参考数据：，
19.本小题分
某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价多元；棵甲种树苗与棵乙种树苗的总价相等．
求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元？
若购买甲、乙两种树苗共棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍请为采购组设计最省钱的方案，并求出此时的总费用？
20.本小题分
如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线两侧，且，，．
求证：四边形是平行四边形，
若，，，当为何值时，四边形是菱形．
21.本小题分
已知：如图，是圆的直径，是圆的弦，，为垂足，，是延长线上一点，连接交圆于，连接、．
求圆的半径；
求证：∽；
当点是弧的中点时，求得面积与的面积比．
22.本小题分
抛物线过点，点，顶点为，与轴相交于点，点是该抛物线上一动点，设点的横坐标为
求抛物线的表达式．
如图，连接，，，若的面积为，求的值；
连接，过点作于点，是否存在点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由数轴图可知，，，，
，选项错误，该选项不符合题意；
，选项错误，该选项不符合题意；
，选项正确，该选项符合题意；
，选项错误，该选项不符合题意；
故选：．
利用数轴知识判断、的符号和绝对值，再判断选项正误．
本题考查了实数与数轴，绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．
2.【答案】
【解析】解：球的主视图和左视图都为圆，所以选项不符合题意；
B.直立圆柱的主视图和左视图都为矩形，所以选项符合题意；
C.圆锥的主视图和左视图都为等腰三角形，所以选项不符合题意；
D.倒放圆柱的主视图为矩形或圆，左视图为圆或矩形，所以选项不符合题意．
故选：．
分别写出各几何体的主视图和左视图，然后进行判断．
本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．记住常见的几何体的三视图．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据平均分的定义即可判断；
本题考查折线统计图、平均数的定义等知识，解题的关键是理解题意，掌握平均数的定义；
【解答】
解：该球员平均每节得分，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的解，把代入原方程中进行计算是解题的关键．把代入原方程中即可解答．
【解答】
解：把代入方程中得：
，
解得：．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：与是位似图形，
∽，
位似比为：，
，
的面积为，
的面积，
故选：．
根据位似变换的概念得到∽，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：两侧铺设的角属于同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为，
故选：．
根据两直线平行，同旁内角互补定理，已知角为，那么它的补角即可求出．
本题主要考查了平行线的性质之一：两直线平行，同旁内角互补．
7.【答案】
【解析】解：点在反比例函数图象上，
，
符合此条件的只有，．
故选：．
将点代入，求出的值，再根据对各项进行逐一检验即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了新定义，解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
根据与的大小关系，取与中的最大值化简所求方程，求出解即可．
【解答】
解：当，即时，所求方程变形得：，
去分母得：，即；
当，即时，所求方程变形得：，即，
解得：或舍去，
经检验与都为分式方程的解．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：延长，连接，
四边形内接于，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
延长，连接，根据圆内接四边形的性质得出，，进一步证得≌，得出，，，然后根据证得≌，即可求得．
本题考查的是圆内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，；，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
设，
把代入得，解得，
，
，所以选项错误；
，所以选项错误；
抛物线开口向上，抛物线与轴的交点坐标为，，
或时，，所以选项正确；
方程表示为，解得，，所以选项错误．
故选：．
利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，利用交点式求出，然后对各选项进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据提公因式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：不透明的布袋中的棋子除颜色不同外，其余均相同，共有个棋子，其中黑色棋子个，
根据古典型概率公式知：黑色棋子，
解得，
经检验，是分式方程的解．
故答案为：．
根据黑色棋子的概率公式，列出方程求解即可．
本题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
13.【答案】
【解析】【试题解析】
解：在中，，
则，
故答案为：．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
解得，
解得，
根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
首先解每个不等式，然后根据不等式组无解即可得到一个关于的不等式，从而求得的范围．
本题主要考查解一元一次不等式组，解此类题目常常要结合数轴来判断．
15.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，．
，
，
．
，，，
≌，
．
故答案为：．
先由正方形的性质求得的度数，再由三角形的内角和定理求得的度数，然后证明≌，从而可得，则问题得解．
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理及全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设经过点的反比例函数解析式为．
如图，作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
≌，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
经过点的反比例函数解析式为．
故答案为：．
作轴于，轴于，根据是等腰直角三角形，可证明≌，利用反比例函数的几何意义得到，则，所以，然后求出得到经过点的反比例函数解析式．
此题考查了全等三角形的判定与性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17.【答案】解：估计这些学生中“比较了解”垃圾分类知识的人数为人；
画出树状图如下：
一共有种情况，恰好是名男生和名女生的有种情况，
所以所选两位同学恰好是名男生和名女生的概率为．
【解析】用总人数乘以样本中“比较了解”人数占被调查人数的比例即可得；
画出树状图，然后根据概率的意义列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：过作于，
则四边形是矩形，
米，
米，
米，
的坡度；
在中，
，
在中，
，
米，
，
解得米．
米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确理解题意是解题的关键．
过作于，则四边形是矩形，求得米，然后根据勾股定理求得，即可求得斜坡的坡度．
在中，，在中，，根据米，列方程求得米，即可得出结论．
19.【答案】解：设甲种树苗的单价为元，则乙种树苗的单价为元，
根据题意得，
解得：，
则，
甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元．
设购买甲种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
根据题意得，
解得，
为正整数，
，
设购买棵甲、乙两种树苗的总费用为元，
则，
由一次函数的性质可知，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为元．
即最省钱的方案为购买甲种树苗棵，购买甲种树苗棵，此时的总费用为元．
【解析】设甲种树苗的单价为元，则乙种树苗的单价为元，根据“甲种树苗的单价乙种树苗的单价”列出方程，求解即可；
设购买甲种树苗棵，则购买甲种树苗棵，根据题意列出不等式，求得的取值范围，设购买棵甲、乙两种树苗的总费用为元，则可得出关于的一次函数，根据一次函数的性质求解即可．
本题主要考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，读懂题意，正确找出等量关系或不等关系列出方程和不等式是解题关键，注意解决此类问题需注意自变量的实际意义．
20.【答案】解：在和中，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
当时，四边形是菱形．
理由如下：
连接，交与点，
，
，
即，
若四边形是菱形时，
，，．
在中，，，
．
，
即．
在中，，，
．
，
，
当时，四边形是菱形．
【解析】由“”可证≌，可得，，可证，可得结论；
由面积法可求的长，利用勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，求出的是解题的关键．
21.【答案】解：如图，
连接，设的半径为，
，
，
直径，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
即：的半径为；
如图，
连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
如图，
在中，，，根据勾股定理得，，
连接交于，
点是的中点，
，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，根据勾股定理得，，
点是的中点，
，
，
由知，，
，
，
由知，∽，
．
【解析】先表示出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论；
利用同角的余角相等，判断出，即可得出结论；
先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理求出，即可得出，最后用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，解的关键是利用勾股定理建立方程，解的关键是判断出，解的关键是求出．
22.【答案】解：将点，点代入得：
，
解得．
抛物线的表达式为；
，令，则，
点，
设直线的解析式为，
点，
，
解得．
直线解析式为，
过点作轴交于点，
设点，点，
，
的面积为，
，
，，
的值为或，
，
的值为；
存在点，使得；理由如下：
在中，，
，
设交轴于点，延长交轴于，连接，过点作轴于点，如图，
，
顶点，
，
，，
，，．
，．
在中，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
，为的中点，
是等腰三角形，，
，
，
∽，
，
，
．
，
设直线的解析式为，
，
解得．
直线的解析式为．
，
解得，，

【解析】利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；
利用待定系数法求出直线解析式为，过点作轴交于点，设点，点，根据的面积为，可得出关于的方程，解方程即可得到的值；
设交轴于点，延长交轴于，连接，过点作轴于点，可得，则，是等腰三角形，证明∽，根据相似三角形的性质可得，，求出直线的解析式为，联立得方程组，解方程组即可求得点的坐标．
本题属于二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定与性质．熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用数形结合思想，方程思想是解题的关键．
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