2023-2024学年云南省三新教研联合体高二（下）第二次联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年云南省三新教研联合体高二（下）第二次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足：为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
3.近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有人，把这人按照年龄分成组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取人做进一步的问卷调查，则应从第组抽取的人数为( )
A. B. C. D.
4.已知集合，则中的元素个数有个．( )
A. B. C. D.
5.在等差数列中，公差，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.设，函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若函数过点，则
B. 若，则在方向上的投影向量的坐标为
C. 若弧长为的弧所对圆心角为，则扇形面积为
D.
10.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则( )
A.
B. 函数的一条对称轴为直线
C. 在上单调递减
D. 当时，若方程恰有三个不相等的实数根，，，则
11.在长方体中，已知，，点满足，其中，，则( )
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点使得
D. 当时，三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.设，，若直线过曲线，且的定点，则的最小值为______．
14.定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则 ______若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，且的面积为，求，．
16.本小题分
如图，在四面体中，平面，是中点，是线段上一点不包含端点，点在线段上，且．
若是中点，求证：平面；
若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为，且两人射击成绩是否优秀相互独立．
若甲、乙两人各射击一次，求至多人射击成绩优秀的概率；
在一次训练中，甲、乙各连续射击次，甲击中环数的平均数为，方差为，乙击中环数的平均数为，方差为，求两人在这次射击中击中环数的方差．
18.本小题分
已知数列中，为的前项和，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
已知动点到点的距离比到直线的距离小，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
已知点，过点作直线与曲线交于，两点，连接，分别交于，两点．
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
求面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，得，即，所以．
故选：．
根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案．
本题考查向量数量积公式、向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为
所以，
则．
故选：．
根据复数运算法则求，再利用复数的模的公式求．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由图可知，第二组的频率为，频数为，第四组频率为，频数为，
按分层随机抽样抽取人，则应从第二组抽取的人数为人．
故选：．
根据题意，利用频率分布直方图的性质，结合分层抽样的方法，即可求解．
本题考查频率分布直方图、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由双曲线的渐近线为，
因为直线与平行，所以有个交点，所以中的元素个数为个．
故选：．
根据题意，求得双曲线的渐近线方程，结合直线与平行，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
可得，
所以，即，
又因为，所以．
故选：．
根据题意，利用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程，即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，令，则，其中，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
则满足，即，解得，
分析选项：的一个充分不必要条件是．
故选：．
根据题意，利用复合函数单调性的判断方法，结合对数函数的图象与性质，列出不等式组，求得的范围，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解．
本题考查复合函数单调性的判断方法，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设圆心坐标为，则，圆的方程为，
因为、两点在圆上，
所以，
解得或，
当时，为劣弧所对角，故舍去．
所以，，
所以，
所以为等腰直角三角形，
所以．
故选：．
根据题意得出满足条件的过三点，，的圆的方程，由已知当取最大值时，圆必与轴相切于点，得出对应的切点分别为，即可得出答案．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有个零点，
时，若，，对称轴为，
函数的大致图象如下：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，无零点，
综上，此时只有两个零点，不符合题意，
若，此时的大致图象如下：
令，解得，
显然令在上存在唯一负解，
要使恰有个零点，
只需在上除或外不能再有其他解，
即不能再有除或外的其他解，
故，即，解得，所以．
故选：．
令，先考虑时，函数在上有个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案．
本题考查复合函数零点个数问题，属于难题．
9.【答案】
【解析】解：对于中，因为过点，所以，所以，所以A正确；
对于中，由向量，
可得在方向上的投影向量的坐标为，所以B错误；
对于中，由弧长为的弧所对圆心角为，可得，
则，所以C错误；
对于中，由，所以D正确．
故选：．
根据题意，利用幂函数的定义，向量的数量积的运算，以及弧长与面积公式，三角恒等变换的公式，准确计算，即可求解．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查扇形的面积公式及投影向量的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由图知，
，
，因为，所以，
则，
所以，故A正确；
B.当时，，此时取到最大值，
所以是的一条对称轴，故B正确；
C.因为，所以，
而在上单调递增，所以在上单调递增，故C错；
D.由，得，因为，
所以，
所以的图象如下：
所以，即，所以，
而，所以，
则，故D正确．
故选：．
，根据图象显示可得函数周期，最值，代入最低点即可得，再平移即可得；，将代入计算看是否取最值即可；，求出的范围，利用正弦函数的单调性来判断；，画图，通过图象观察结合函数对称性进行计算．
本题考查三角函数的性质，考查函数与方程的关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A，当时，，
即，
即，
点在上，
当点为中点时，的周长为；
当点在点处时，的周长为，
周长不是定值，故选项A错误；
对于选项B，当时，，
即，
即，
可得，
点在上，
，且平面，平面，
平面，
直线上的点到平面的距离相等，
即的面积为定值，
三棱锥的体积为定值，故B选项正确；
对于选项C，当时，，
取中点，中点，连接，则，
，
即，
即，
可得，
点在上，
又过点作的垂线，只能作出一条，
过点作的垂线，也只能作出一条，
有且仅有一点中点使，故选项C正确；
对于选项D，当时，，
点在上，
三棱锥的外接球与四棱锥的外接球是同一个球，
当点为中点时，，
为直角三角形，其外心为中点， 外心为中点，
则平面，则球心为，半径，
当不是中点时，平面截球得到小圆，则球半径，
三棱锥的外接球表面积的最小值为，故选项D正确．
故选：．
当点为中点和点在点处时，分别求得其的周长，可判定A错误；当时，得到点在上，证得平面，结合直线上的点到平面的距离相等，可判定B正确；取中点，中点，连接，得到过点作的垂线，只能作出一条，可判定C正确；由三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，结合球的性质，可判定D正确．
本题考查立体几何中的动态问题与存在性问题，属于难题．
12.【答案】
【解析】解：，
当时，，
故切线方程为，即．
故答案为：．
求导，得到斜率，利用点斜式求出切线方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为曲线过定点，
所以，即，
则，
当且仅当，即时取“”，
所以的最小值为．
故答案为：．
根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可．
本题考查了指数的运算性质和基本不等式应用问题，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由椭圆的离心率为，
可得，解得，
由椭圆的定义得，
如图，连接，，设的内切圆半径为，
则，即，
所以，所以，
因为，所以，
所以．
故答案为：，．
根据题意，得到，求得的值，连接，，设的内切圆半径为，结合，，化简得到，即可求解．
本题考查椭圆的定义及性质，考查三角形的内切圆的性质，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
所以，
，
，
，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，
所以有，
所以；
因为，且的面积为，
所以有或．
【解析】根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中档题．
16.【答案】解：证明：如图，取中点，连接，，
因为为中点，所以，
平面，平面，故GE平面，
因为为中点，为中点，所以，
又因为，所以，故GF，
平面，平面，故GF平面，
因为，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面；
如图，取，中点，，连接，则，
因为平面，故平面，
连接，由于是正三角形，故，
以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由于，故，则，
，
设平面的法向量，
则，，
令，则，
而平面的法向量可取为，
设平面与平面的夹角为，，
所以．
【解析】取中点，连接，，证明平面平面，利用面面平行的性质定理，即可证明结论；
建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面与平面的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案．
本题考查线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：设成绩优秀的人数为，
则至多人射击成绩优秀的概率为：
．
设甲连续射击次击中环数为，，，，平均数为，
乙连续射击次击中环数为，，，，平均数为，
两人这次射击的平均数
由，得，
同理，
方差：
．
【解析】设成绩优秀的人数为，则，再由独立事件的乘法公式求解即可．
由方差公式求解即可．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：由数列中，为的前项和，，
当时，，两式相减得，
可得，即，
当时，，则，
所以是等比数列，首项为，公比为，所以，
所以数列的通项公式为．
方法一：由知，
可得
，
所以
．
方法二：由，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以数列的前项和．
【解析】根据题意，推得，且，得到是等比数列，即可求得数列的通项公式；
方法一：由求得，结合裂项相消法求和，即可求解；
方法二：由求得，分为奇数和为偶数，结合相消法求和，即可求解．
本题主要考查了数列的和与项的递推关系在数列通项公式及求和中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：因为点到点的距离与到的距离相等，
所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，
则曲线的轨迹方程为；
不妨设，
易知直线斜率不为，
不妨设得方程为，
联系，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
所以，
联立，消去并整理得，
可得，是方程的两根，且，
所以，
解得，
同理得，
所以，
因为，
所以，
则；
由知直线的方程为，
整理得，
即，
令，
所以直线过定点，
则
，
当且仅当时，面积取得最小值，最小值为．

【解析】由抛物线的定义得到轨迹方程；
设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出和的值，再利用斜率的定义得到，代入即可求出定值；
利用点斜式写出直线方程，得到过定点，再由三角形面积公式表达出面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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