2023-2024学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市徐汇区位育中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是附：( )
A. 有的人认为该电视栏目优秀
B. 有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D. 没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
2.直线：，：，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设随机变量的分布列是
则当在内增大时，
( )
A. 增大 B. 减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
4.在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身，平面曲线上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，现有下列命题：
若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；
若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称；
单位圆的“伴随曲线”是它自身；
一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.直线的倾斜角是______．
6.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______．
7.双曲线的两条渐近线夹角为______．
8.的二项展开式中常数项是______．
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，双曲线上有一点，若，则______．
10.为了研究小滑块在平面上的运动，测量得到如下一组数据：
时间
位移
这组数据的线性回归方程经过点，则 ______．
11.已知，且，则 ______．
12.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为______．
13.将位志愿者分成组，其中两个各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种______用数字作答
14.已知实数，满足，则的取值范围是______．
15.已知点在圆：上运动，若对任意点，在直线：上均存在两点，，使得恒成立，则线段长度的最小值是______．
16.设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
一个盒子中有大小、形状完全相同的个红球和个黄球，从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取次，设取到红球的个数为，若，求的值．
18.本小题分
已知椭圆的焦点是，，长轴长是短轴长的倍，求椭圆上的点到直线距离的最大值．
19.本小题分
已知双曲线，直线经过点，且与双曲线交于，两点，线段的垂直平分线过点，求直线的方程．
20.本小题分
如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．
当时，求后质点移动到点的位置的概率；
记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围．
21.本小题分
已知椭圆：．
若双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方程；
过点的动直线交椭圆于，两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为时，才能有的把握认为该栏目是否优秀与改革有关，
而，
所以没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系，故选项D正确．
故选：．
利用卡方的值，对照临界表中的数据进行分析，即可得到答案．
本题考查了独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，当时，直线：，：，
两条直线的斜率都为，且在轴上截距不相等，故，充分性成立；
反之，若，则且，解得，必要性成立．
因此，“”是“”的充要条件．
故选：．
根据两条直线平行与方程的关系，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查两条直线平行与方程的关系、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．
方差公式结合二次函数的单调性可得结果．
【解答】
解：，
，
，先减小后增大，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：对于，若令，则其“伴随点”为，
而的“伴随点”为，而不是，故错误；
对于，设曲线关于轴对称，
则与方程表示同一曲线，其“伴随曲线”分别为
与也表示同一曲线，
又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以正确；
对于，设单位圆上任一点的坐标为，其“伴随点”为仍在单位圆上，故正确；
对于，直线上任一点的“伴随点”为，
的轨迹是圆，故错误，
所以正确的为序号为．
故选：．
利用新定义，转化求解判断个命题，是否满足新定义，推出结果即可．
本题考查命题的真假的判断与应用，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．
5.【答案】
【解析】解：直线方程可化为：
直线的倾斜角的正切值为
直线的倾斜角为
故答案为：
将直线方程化为斜截式，利用直线的倾斜角的正切值为斜率，可求直线的倾斜角．
本题以直线为载体，考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是求出直线的斜率即倾斜角的正切值．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题着重考查了椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于基础题．
方程表示焦点在轴的椭圆，可得、的分母均为正数，且的分母较大，由此建立关于的不等式，解之即得的取值范围．
【解答】
解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，
．
故答案为．
7.【答案】或
【解析】解：双曲线的渐近线方程为：，
即，
两条渐近线的倾斜角分别为，，
两条渐近线夹角为．
故答案为：或
根据双曲线的几何性质，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：展开式通项公式为：，，，，，
令，解得：，
展开式中常数项为．
故答案为：．
根据二项式定理可得展开式通项，代入即可得到常数项．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由双曲线方程知：，
根据双曲线定义知：，
解得：舍或，
故答案为：．
由双曲线定义可直接构造方程求得结果．
本题考查了双曲线的定义和性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设时间为，位移为，性回归方程经过点，，
由题意可知．
故答案为：．
根据线性回归方程的性质代入成立，求出可得结果．
本题主要考查线性回归方程，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意，且，可知：，
所以．
故答案为：．
利用分布列的性质求解，然后求解概率即可．
本题考查正态分布的性质的应用，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：记事件表示“下雨”，事件表示“刮风”，事件表示“既刮风又下雨”，
则，，，
既刮风又下雨的概率为．
故答案为：．
利用条件概率计算公式求解．
本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，先将人按分成组，有种分组方法，
再对应分配到四个不同场馆，有种方法，
则共有种方法；
故答案为．
根据题意，先分组，再分配；先将人按分成组，有种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有种方法，进而由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列、组合的应用，注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类，要用对公式．
14.【答案】
【解析】解：由得，，则函数对应的曲线为圆心为，半径为的下半圆，
由的几何意义，为圆上的点到定点的斜率，
由图象知的斜率最小，此时的斜率，
当直线与半圆在第四象限相切时，斜率取得最大值此时，
设直线为，即，
则圆心到直线的距离，
解得或舍，
所以的取值范围是
故答案为：
作出函数的图象，利用几何意义，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合即可得到结论．
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，
由题可知，圆心为点，半径为，
若直线：上存在两点，，使得恒成立，
则：始终在以为直径的圆内或圆上，点到直线的距离为，
所以长度的最小值为．
故答案为：．
由恒成立可知，：始终在以为直径的圆内或圆上，求出点到直线的距离即为线段长度的最小值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
则根据题意可得，
解得，，
又，，
，
，
，
，
，
，
，又
，
．
故答案为：．
设，，则根据题意可得，从而可得，，又，，从而根据余弦定理可得，进而可得，从而可得，再通过函数思想，即可求解．
本题考查双曲线的离心率的范围的求解，函数思想，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：依题意，随机变量，
又知道，
所以，
解得：．
【解析】依题意，随机变量，所以，解方程即可．
本题考查了二项分布以及二项分布的数学期望公式，属于基础题．主要考查对二项分布的概念的掌握情况和二项分布的期望公式的应用．
18.【答案】解：由已知，
解得，，
所以椭圆的方程为，
设椭圆上的点，
点到直线距离为：，其中．
，当且仅当时取得最大值．
椭圆上的点到直线距离的最大值为．
【解析】由题意可得，，，的关系，计算即可得到，，进而得到椭圆方程；
Ⅱ设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理，化简整理即可得到，进而得到所求直线方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角代换的应用，是中档题．
19.【答案】解：设，，的中点，
则，，
又，两式相减可得：
，
，设直线的斜率为，
，，
又，，
由解得，，代入可得：
，，
解得或，又易知一条渐近线的斜率为，
，又直线经过点，
所求直线方程为，即．
【解析】根据点差法，两点的斜率公式，建立方程，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，方程思想，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：后质点移动到点的位置，则质点向左移动了次，向右移动了次，
所求概率为：；
由题所有可能的取值为，，，，
且．
，
，
，
因为，
解得，又因为，
故的取值范围为．
【解析】质点回到原点可知质点向右移动次，向左移动次，根据二项分布的概率公式，即可求解；
求得的可能取值及对应概率，根据期望公式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望和独立重复试验的概率问题，属于中档题．
21.【答案】解：易知椭圆的左、右焦点分别为，，
因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
因为双曲线与椭圆有公共焦点，
所以，
联立，
解得，，
则该双曲线的方程为；
当直线的斜率为时，
直线的方程为，
联立，
解得，
所以，
则以为直径的圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，
易知以为直径的圆的方程为，
联立，
解得，，
所以存在点满足条件；
当直线斜率存在且不为时，
易知以为直径的圆恒过点，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，，
所以，
又，，
所以，
即，
所以，
则以为直径的圆恒过点，
故在坐标平面上存在一个定点满足条件．
【解析】由题意，结合题目所给信息求出和的值，进而可得双曲线的方程；
对直线的斜率为和不存在这两种情况进行讨论，得到定点的坐标，当直线的斜率存在且不为时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算再进行求解即可．
本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
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