导数的概念及运算 同步练习（含答案）高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

单元评价作业（四）导数的概念及运算
基础达标练
1. 物体运动的位移 与时间 的关系为 ，则物体在 这段时间内的平均速度为( )
A. B. C. D.
2. 已知物体做直线运动的过程中，路程与时间的关系为 ，其中 表示路程（单位： ）， 表示时间（单位： ），则 表示的意义是( )
A. 经过 后物体向前走了 B. 物体在前 内的平均速度为
C. 物体在第 内向前走了 D. 物体在第 时的瞬时速度为
3.如图所示，连接棱长为 的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点 处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点 到水面的距离 以每秒 的速度匀速增加，设该容器内水的体积 与时间 的函数关系是 ，则函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
4. 曲线 在 处的切线方程是( )
A. B. C. D.
5. (多选题)已知函数 的图象如下图所示，则关于函数 在区间 上的平均变化率的说法正确的是( )
A. 在区间 上的平均变化率最小
B. 在区间 上的平均变化率大于0
C. 在区间 上的平均变化率比 上的大
D. 在区间 上的平均变化率最大
6. (多选题)下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 函数 的图象在点 处的切线斜率为 .
8. 设 是定义在 上的可导函数，若 ，则 .
9. 如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 .
10. 记函数 的导函数为 ，且满足 ，则 .
11. 已知某容器的高度为 ，向容器内注入液体，且容器内液体的高度 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数关系式为 .当 时，液体上升高度的瞬时变化率为 ，则当 时，液体上升高度的瞬时变化率为 .
12. 函数 的图象在 处的切线的斜率为 ，倾斜角为 .
13. 已知曲线 ，则过点 且与曲线 相切的直线方程为 .
素养提升练
14. 已知 ， 为 的导函数，则 的图象大致是( )
A. B. C. D.
15. （多选题）设 为实数，若直线 能作为曲线 的切线，则函数 可以为( )
A. B.
C. D.
16. （多选题）若 存在，则称 为二元函数 在点 处对 的偏导数，记为 ；若 存在，则称 为二元函数 在点 处对 的偏导数，记为 ，已知二元函数 ，则( )
A.
B.
C.
D. 的最小值为
17. 若直线 是曲线 和 的公切线，则实数 的值是 .
18. 设函数 ， 为 的导函数，若 ，求 的值.
创新拓展练
19. 存在过点 的直线与曲线 相切，则实数 的取值范围为 .
参考答案
基础达标练
1.物体运动的位移 与时间 的关系为 ，则物体在 这段时间内的平均速度为( B )
A. B. C. D.
[解析]所求平均速度为 .故选 .
2. 已知物体做直线运动的过程中，路程与时间的关系为 ，其中 表示路程（单位： ）， 表示时间（单位： ），则 表示的意义是( D )
A. 经过 后物体向前走了 B. 物体在前 内的平均速度为
C. 物体在第 内向前走了 D. 物体在第 时的瞬时速度为
[解析]根据导数的物理意义可知， 的导数是 时刻的瞬时速度， 表示的意义是物体在第 时的瞬时速度为 .故选 .
如图所示，连接棱长为 的正方体各面的中心得到一个多面体容器，从顶点 处向该容器内注水，直至注满水为止.已知顶点 到水面的距离 以每秒 的速度匀速增加，设该容器内水的体积 与时间 的函数关系是 ，则函数 的图象大致是( A )
A. B. C. D.
[解析]通过几何体的特征可得，容器下半部分“先小后大”，即水面高度匀速变化时，体积变化速度越来越快；容器上半部分“先大后小”，即水面高度匀速变化时，体积变化速度越来越慢.故函数图象的切线斜率先增大后减小，故选 .
4. 曲线 在 处的切线方程是( D )
A. B. C. D.
[解析] ， ， ，则曲线 在 处的切线方程为 .故选 .
5. （多选题）已知函数 的图象如下图所示，则关于函数 在区间 上的平均变化率的说法正确的是( BC )
A. 在区间 上的平均变化率最小
B. 在区间 上的平均变化率大于0
C. 在区间 上的平均变化率比 上的大
D. 在区间 上的平均变化率最大
[解析]函数 在某区间上的平均变化率为 ，由题图可得，在区间 上， ，即函数 在区间 上的平均变化率小于0；在区间 ， ， 上， 且 相同，由题图可知函数在区间 上的 最大.故选 .
6. (多选题)下列求导运算正确的是( BCD )
A. B.
C. D.
[解析] ， 错误； ，故 正确； ，故 正确； ，故 正确.故选 .
7. 函数 的图象在点 处的切线斜率为2.
[解析]由 ，得 ，所以 .
8. 设 是定义在 上的可导函数，若 ，则 .
[解析] .
9. 如图，直线 是曲线 在 处的切线，则 7.
[解析] 直线 过点 ， ， 直线 的斜率 ，又直线 是曲线 在 处的切线， ，又 ， .
10. 记函数 的导函数为 ，且满足 ，则 .
[解析]由题意得， ， ，解得 ， ， .
11. 已知某容器的高度为 ，向容器内注入液体，且容器内液体的高度 （单位： ）与时间 （单位： ）的函数关系式为 .当 时，液体上升高度的瞬时变化率为 ，则当 时，液体上升高度的瞬时变化率为 .
[解析] ，由 ，解得 ，故 .所以 ，所以当 时，液体上升高度的瞬时变化率为 .
12. 函数 的图象在 处的切线的斜率为 ，倾斜角为 .
[解析] ，所以函数 的图象在 处的切线斜率 .由于切线的倾斜角的取值范围是 ，所以切线的倾斜角为 .
13.已知曲线 ，则过点 且与曲线 相切的直线方程为 或 .
[解析]设过点 的直线与曲线 相切的切点为 ，由 ，得 ，所以此直线方程为 ，即 ，将 代入得 ，解得 或 ，所以所求直线方程为 或 .
素养提升练
14. 已知 ， 为 的导函数，则 的图象大致是( A )
A. B. C. D.
[解析]因为 ，所以 ，又因为 ，且 的定义域为 ，关于原点对称，所以 为奇函数，故排除 ， ；因为 ，所以排除 .故选 .
15. (多选题)设 为实数，若直线 能作为曲线 的切线，则函数 可以为( ACD )
A. B.
C. D.
[解析]因为直线 能作为曲线 的切线，所以 有解.对于 ，由 ，得 ，由 ，得 ，解得 ，所以直线 能作为曲线 的切线，所以 正确；对于 ，由 ，得 ，由 ，得 ，化简得 ，因为 ，所以方程无解，所以直线 不能作为曲线 的切线，所以 错误；对于 ，由 ，得 ，由 ，得 ，解得 ，所以直线 能作为曲线 的切线，所以 正确；对于 ，由 ，得 ，由 ，得 ，解得 ，所以直线 能作为曲线 的切线，所以 正确.故选 .
16. (多选题)若 存在，则称 为二元函数 在点 处对 的偏导数，记为 ；若 存在，则称 为二元函数 在点 处对 的偏导数，记为 ，已知二元函数 ，则( ACD )
A.
B.
C.
D. 的最小值为
[解析]因为 ，所以
，则 ，故 正确；同理可得 ，所以 ，故 不正确； ， ，故 正确；因为 ，所以当 时， 取得最小值，为 ，故 正确.故选 .
17. 若直线 是曲线 和 的公切线，则实数 的值是1.
[解析]设直线 与曲线 , 分别相切于点 , ,对函数 求导得 ,则 ，曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,对函数 求导得 ,则 ,曲线 在点 处的切线方程为 ,即 ,所以 解得 所以 .
18. 设函数 ， 为 的导函数，若 ，求 的值.
[解析]由题意可知， ，
由 ，得 ，
即 ，从而 ，
所以 .
故 的值为 .
创新拓展练
19. 存在过点 的直线与曲线 相切，则实数 的取值范围为 .
[解析]详细解析 ，设切点坐标为 ，由题意可得 ，整理可得 ，所以 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围是 .