人教版数学八年级下册第十九章一次函数培优练习（含解析）

人教版数学八年级下册第十九章一次函数培优练习
一、选择题
1．下列曲线中不能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．直线与x轴的交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．已知一次函数 的函数值 随 的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．点、在一次函数图象上，下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
5．已知一次函数：y= - mx +n 的图象经过第二、三、四象限，则化简 的结果是（　　）
A．n B．-m C．2m—n D．m-2n
6．如图，直线和直线相交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
7．如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；
②汽车在行驶途中停留了0.5小时；
③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时；
④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．
其中正确的说法共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正方形、正方形、正方形的顶点、、和、、、分别在一次函数的图像和轴上，若正比例函数则过点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点的坐标为，点的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
11．若直线经过，则　 　 ．
12．将直线沿轴向上平移个单位，可得直线的解析式　 　．
13．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是，则c的值是　 　．
14．[推理能力]如图，直线 与 x 轴、y轴分别相交于A，B两点，C是OB 的中点，D是AB上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE的面积为　 　 .
15．已知一次函数与坐标轴围成的三角形面积为，则的值为　 　 ．
16．甲乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙先骑共享自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校．已知步行速度甲比乙每分钟快5米．图中的折线表示甲乙两人之间的距离y（米）与甲步行时间x（分钟）的函数关系图像，根据图像可知：甲步行速度为　 　米/分；乙骑自行车的速度为　 　米/分；乙到还车点时，甲乙两人相距　 　米．
三、解答题
17．一次函数（）的图象经过点，．求一次函数的表达式．
18．已知与成正比例，且当时，．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
19．正比例函数y＝k1x（k1≠0）与一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象的交点坐标为A（4，3），一次函数的图象与y轴的交点坐标为B（0，-3）．
（1）求正比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20．已知函数，（m为常数，）．
（1）若点在的图象上，求m的值．
（2）如图，当时，求自变量x的取值范围．
21．某超市分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
购进数量（件） 购进所需费用（元）
A B
第一次 30 40 2900
第二次 40 30 2700
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
22．如图，已知直线y=kx+b与直线y= x-9平行，且y=kx+b过点(2，3)，与y轴交于点A．
（1）求点A坐标．
（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，在四边形PMON 上分别截取：PC= MP ，MB= OM ，OE= ON，ND= NP，证明： 四边形BCDE是平行四边形．
（3）在(2)的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于两点．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）点，在直线上，且，分别过点作轴于点轴于点，求的值；
（3）在（2）的条件下，分别过点的直线，与轴相交于点和，若，求证：恒为定值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
【解析】【解答】解：令y=0
则0=-x+3
解得：x=3
∴直线y=-x+3与x轴的交点坐标是（3，0）
故答案为：C.
【分析】根据一次函数与x轴的交点的纵坐标为0即可求解。
3．【答案】A
【解析】【解答】解： 一次函数 的函数值 随 的增大而增大
一次函数的图象经过一、二、三象限
故答案为：A．
【分析】先根据一次函数 随 的增大而增大，判断出 ，再根据 即可得出一次函数图象经过一、二、三象限．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数y=-2x+b中，k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵P1(-1，y1)，P2(2，y2)，且-1＜2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，据此可解此题.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限，
∴﹣m＜0，n＜0，
即m＞0，n＜0，
∴m-n＞0，
∴
＝|m﹣n|+|n|
＝m﹣n﹣n
＝m﹣2n，
故答案为：D．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系.根据题意一次函数y＝﹣mx+n的图象经过第二、三、四象限可得﹣m＜0，n＜0，所以，故 ，．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线y=kx+b和直线y=mx+n相交于点（3，-2），
∴方程组的解是.
故答案为：D.
【分析】根据两直线的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的方程组的解.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错；
从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2﹣1.5=0.5小时，②对；
汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为：240÷4.5= 千米/时，③错．
汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错．
故选A．
【分析】根据图象上的特殊点的实际意义即可作出判断．
8．【答案】D
【解析】【解答】解：由图可知，当x＜3时，直线l1：y＝ax+b在直线l2：y＝mx+n上方，
∴不等式ax+b＞mx+n的解集为x＜3.
故答案为：D.
【分析】先观察图象，要解这个不等式，从“形”的角度看，就是找出直线l1：y＝ax+b在直线l2：y＝mx+n上方部分的x的取值范围即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】解： 在中， 当x=0时，y=1，则A（0，1），
∴OC=OA=1，
∴C（0，1），D（1，1），
把x=1代入中，y=2，
∴A1C=2，则CC1=A1C=2，
则D1（1+2，1×2），即（3，2），
同理：D2（1+2+4，2×2），即（7，4），
D3（1+2+4+8，2×2×2），即（15，8），
D4（1+2+4+8+16，2×2×2×2），即（31，16），
D5（1+2+4+8+16+32，2×2×2×2×2），即（63，32），
把D5（63，32）代入中，得k= ，
故答案为： .
【分析】先求出A（0，1），从而求出C（0，1），D（1，1），然后将D的横坐标代入中求出A1的纵坐标，即得A1的坐标，求出D1的坐标，同理求出D2、D3、D4、D5的坐标，再把D5的坐标代入中求出k值即可.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OB，OB的中点为M，的中点为N，多点D作BQ⊥x轴，垂足为Q，点B坐标为（6，），
∴AQ=6-4=2，，∠BAQ=∠COA=60°.
根据翻折的性质可知，对角线OB翻折后，落在y轴上.
在Rt△OBQ中，OB=
∴
∴N（0，），
由中点坐标公式得：M（3，）
设MN所在直线的解析式为y=kx+b，代入M、N的坐标得：
解得，
∴MN所在直线的解析式为
∵平行四边形是中心对称图形
∴过MN的直线平分六边形的面积.
∴直线l的解析式可以为：
又∵将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形
∴OC所在的直线也平分六边形的面积.
过点C作CP⊥x轴，垂足为点P，在Rt△OPC中，CP=BQ=，∠COB=60°，
∴OP=2
∴点C坐标为（2，）
设OC所在直线的解析式为y=kx，将点C坐标代入得
，解得k=
∴OC所在直线的解析式为y=x.
综上所述，直线l的解析式为y=x或.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形是中心对称图形，过中心点的直线平分图形的面积，以及图形对称轴所在直线平分图形的面积，即可找出直线了所在的位置，再求出直线l的解析式即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：将点(1，0)代入y=ax+1得a+1=0，
解得a=-1.
故答案为：-1.
【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特点，将点(1，0)代入y=ax+1即可求出a的值.
12．【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：
平移后的直线方程为：y=3x-8+5
整理得：y=3x-3
故答案为：
【分析】根据直线平移的性质：左加右减（对x），上加下减（对y）。即可求出答案。
13．【答案】6
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC的面积为，
∴ab=，
∴ab=9；
∵点P（-1，）在“勾股一次函数”的图象上，
∴，
整理得-2a+2b=c，
两边同时平分得4a2+4b2-8ab=2c2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2，
∴4c2-8×9=2c2，
解得c=6（负值已舍）.
故答案为：6.
【分析】根据直角三角形的面积计算公式可得ab=9，由一次函数图象上点的坐标特点得，整理并两边平方得4a2+4b2-8ab=2c2，在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2，从而整体代入，求解可得c的值.
14．【答案】
【解析】【解答】解：
【分析】
延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B(0,4)，A(，0)，利用三角函数得到∠OBA=60°，接着根据菱形的
性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD= ∠COE = 60°，所以ZEOF = 30°，则，然后根据三角形面积公式计算.
15．【答案】
【解析】【解答】解：将x=0代入，可得y=5，
将y=0代入，可得，
∵一次函数与坐标轴围成的三角形面积为，
∴三角形的面积=，
解得：，
故答案为：.
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式列出方程，再求出k的值即可.
16．【答案】80；200；840
【解析】【解答】解：由题意得：甲步行的速度为：960÷12=80（米/分），
乙骑自行车的速度为：80+960÷（20-12）=200（米/分），
乙步行的速度为：80-5=75（米/分），
乙全程：200（c-12）-75（31-c）=2700，解得c=27，
所以乙骑自行车的路程为：200×（27-12）=3000（米），
所以自行车还车点距离学校为：3000-2700=300（米），
乙到还车点时，乙的路程为3000米，
甲步行的路程为：80×27=2160（米），
此时两人相距：3000-2160=840（米）．
故答案为：80，200，840
【分析】由图象知甲12分钟走了960米，利用速度=路程÷时间即得甲步行的速度；先求出甲乙的速度差，再加上80米/分，即得乙骑车的速度；乙步行的速度=乙骑车的速度-5，根据乙走完全程，可求出c值，由200×（c-12）可求出骑自行车的路程，再减去2700可得自行车还车点与学校的距离，然后利用乙到还车点时乙的路程减去甲步行的路程，即得两人相距的路程.
17．【答案】解：∵直线过点，．
∴
∴
∴一次函数的表达式为．
【解析】【分析】考查的是待定系数法求一次函数解析式。
18．【答案】（1）解：设．
当时，，
，
解得，．
与之间的函数关系式是；
（2）解：由知，．
所以，当时，，即．
【解析】【分析】本题考查正比例函数。根据题意列出函数关系，代入自变量和函数值，求解析式。
19．【答案】（1）解：∵正比例函数y＝k1x（k1≠5）的图象经过A（4，3），
∴7＝4k1，即k1＝，
∴正比例函数的解析式为y＝x；
∵一次函数y＝k2x+b（k2≠0）的图象经过A（4，8），B（0，-3），
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝x-6；
（2）解：∵A（4，3），B（0，-3）
∴点A离y轴的距离为4，OB＝3，
∴△AOB的面积＝×3×2＝6．
【解析】【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式，即可求解；
（2）根据点到坐标轴的距离，三角形的面积公式，即可求解．
20．【答案】（1）解：把代入，得到，
∴
（2）解：联立，解得，
∴两条直线的交点的横坐标为，
∵，
∴当时：，解得：，
由图可知：当时，．
【解析】【分析】（1）把代入，即可求出m的值；
（2）联立，解得，即两条直线的交点的横坐标为，然后求出y2和x轴的交点，进而即可求解.
21．【答案】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元
根据题意得：
解得：
答：A、B两种商品每件的进价分别是30元，50元．
（2）解：设A商品a件，B商品（1000-a）件，利润为m元
根据题意得：
解得：800≤a≤1000
m=（45-30）a+（75-50）（1000-a）=25000-10a
∵k=-10＜0，
∴m随a的增大而减小
∴a=800时，m的最大值为17000元．
∴A商品800件，B商品200件．
【解析】【分析】（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元，利用表中数据可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解.
（2）设A商品a件，利润为m元，可表示出B商品的数量，再根据题意可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的解集；再根据题意可得到m与a的函数解析式，利用一次函数的性质可求出结果.
22．【答案】（1）解：∵直线y=k×+b与y=x-9平行，且过点(2，3)，
则解得．一次函数表达式为y=x+4，
当×=0时，y=4，∴点A坐标是(0，4)．
（2）解：∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴∠PMO=∠PNO=∠NOM= 90° ，∴四边形PMON是矩形，
∴ PM= ON，OM=PN，∠PMO=∠NOM= ∠ PNO= C NPM= 90°．
∵PC=MP ，MB=OM，OE=N，ND=NP，
∴PC=OE， CM=NE ，ND= BM， PD=OB．
在△OBE和△PDC中，0B=PD，∠EOB=∠CPD ，OE=PC，
∴△OBE≌△PDC，∴DC= BE，
同理可证△MBC≌△NDE，
∴DE= BC，∴四边形BCDE是平行四边形．
（3）解：存在这样的点P，且点P坐标为()或(-8，8)．
【解析】【解答】解：（3）设点P，则CM=PM==，PD=
当四边形BCDE为正方形时，则∠DCB= 90° ，DC=BC，
而∠CBM+∠MCB=90°，∠MCB+∠DCP=90°，
∴∠CBM=∠DCP，
而∠DPC=∠CMB= 90°，
∴△DPC≌△CMB，∴PD= CM，
即，解得m=，或-8，
故点P坐标是(，)或(-8，8)．
【分析】(1)由直线y=kx+b与直线平行 可得，再将点(2，3)代入函数解析式，解得b的值，然后求得点A坐标.
(2)先通过垂直的定义证得四边形PMON是矩形，再利用矩形的性质得到PC=OE， CM=NE ，ND= BM， PD=OB，进而通过SAS判定△OBE≌△PDC，△MBC≌△NDE，即可证得四边形BCDE是平行四边形．
(3)设点P，可得，，当四边形BCDE为正方形时，则∠DCB= 90° ，DC=BC，利用余角的性质可得∠CBM=∠DCP，再通过AAS判定△DPC≌△CMB，可得PD= CM，进而解得，或-8，故点P坐标是(，)或(-8，8)．
23．【答案】（1）把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵，，
∴点，在第二象限，
根据题意画出示意图，如图所示，
过点作于点，
则，
∵轴，轴，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）根据题意画出示意图，如图所示，
由图象，得，
∵，，
∴，
当时，，，
∴，
∵，
∴，
∵直线与直线交于点，
∴联立方程组，
∴，
则，
∴即，
∴，
∴的横坐标，
同理，的横坐标，
∵，
∴ ，
∴，
∴．
∴恒为定值．
【解析】【分析】（1）利用函数解析式，可求出点A，B的坐标，可证得OA=OB，据此可证得结论.
（2）利用已知可证得点M，N在第二象限，过点N作NE⊥MC于点E，利用已知易证四边形CDNE是矩形，利用矩形的性质可证得EN=CD；再证明EM=EN，利用等腰直角三角形的性质可得到MN与CD的比值.
（3）利用函数图象可知k2＜k1，利用已知张凯德CD=HK，同时可表示出HK的长，将两函数联立方程组，可得到方程组，解方程组求出点M的横坐标，同理可得到点N的横坐标，由CD=HK，可得到 恒的值，可证得结论.
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