2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高一（上）开学数学试卷【解析版】

2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高一（上）开学数学试卷
一、选择题（每题5分）
1．如图，四边形ABCD中，=，则必有( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．=
B．=
C．=
D．=
2．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么 的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则角A为( )
A．
B．
C．
D．或
4．已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于( )
A．3：2：1
B．：2：1
C．：：1
D．2：：1
5．已知△ABC的面积为，，则A=( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
6．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过 h，该船的实际航程为( )
A．2 km
B．6 km
C．2 km
D．8 km
7．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=( )
A．1
B．2
C．4
D．8
8．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为( )
A．12
B．18
C．22
D．44
9．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )
A．an=n2﹣n+1
B．an=
C．an=
D．an=n2+1
10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4
B．5
C．6
D．7
11．若a＞b，则下列不等式正确的是( )
A．
B．a3＞b3
C．a2＞b2
D．a＞|b|
12．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为( )
A．12
B．10
C．8
D．2
二、填空题：（每题5分）
13．根据如图所示算法语句，当输入x为60时，输出y=__________
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14．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于__________．
15．不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集是__________．
16．若x＞0，y＞0且+=1，则xy的最小值是__________．
三、解答题：（10+10+12+12+12+14）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积．
（2）若b+c=6，求a的值．
18．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列
（Ⅰ）求{an}的公比q；
（Ⅱ）a1﹣a3=3，求Sn．
19．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，求λ的值．
20．已知=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（2，1）．
（1）若∥，求tanθ的值；
（2）若||=||，，求θ的值．
21．某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如表：
产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）
A产品 3 9 4
B产品 10 4 5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每 ( http: / / www.21cnjy.com )吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
22．（14分）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
2015-2016学年新疆克拉玛依十三中高一（上）开学数学试卷
一、选择题（每题5分）
1．如图，四边形ABCD中，=，则必有( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．=
B．=
C．=
D．=
考点：相等向量与相反向量．
专题：平面向量及应用．
分析：根据=，得出四边形ABCD是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
解答： 解：四边形ABCD中，=，
∴AB∥DC，且AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴=﹣，A错误；
=﹣，B错误；
≠，C错误；
=，D正确．
故选：D．
点评：本题考查了平行向量与相等向量、相反向量之间的关系与应用问题，是基础题目．
2．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么 的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题．
分析：利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值．
解答： 解：∵=（3，k+2）
∵共线
∴k+2=3k
解得k=1
∴=（1，1）
∴=1×2+1×2=4
故选D
点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．
3．在△ABC中，a2=b2+c2﹣bc，则角A为( )
A．
B．
C．
D．或
考点：余弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：根据题中等式，利用余弦定理算出cosA=，结合A为三角形的内角即可得到角A的大小．
解答： 解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣a2，
由余弦定理，得cosA==，
∵A∈（0，π），∴A=
故选：A
点评：本题给出三角形边的关系式，求角A的大小．着重考查了特殊角的三角函数值和用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
4．已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应的三边之比a：b：c等于( )
A．3：2：1
B．：2：1
C．：：1
D．2：：1
考点：正弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：由A+B+C=π，可得C=，从而得到三内角的值．再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC，运算求得结果．
解答： 解：∵已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=，
故三内角分别为 A=、B=、C=．
再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：：=2：：1，
故选：D．
点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，求得 A=、B=、C=，是解题的关键，属于中档题．
5．已知△ABC的面积为，，则A=( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
考点：三角形中的几何计算．
专题：计算题．
分析：由题意可得 =，由此求得sinA=，再根据A的范围求出A的值．
解答： 解：由△ABC的面积为，，则可得 =，由此求得sinA=．
再由A∈（0°，180°），可得A=60°，或A=120°，
故选D．
点评：本题主要考查三角形中的几何计算，根据三角函数的值求角，求出sinA=，是解题的关键，属于基础题．
6．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过 h，该船的实际航程为( )
A．2 km
B．6 km
C．2 km
D．8 km
考点：向量的三角形法则．
专题：解三角形；平面向量及应用．
分析：根据题意，画出示意图，根据三角形的知识求出解来．
解答： 解：如图所示，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则表示船的实际速度；
又||=2，||=4，∠AOB=120°，则∠CBO=60°，
∴||=2，∠AOC=∠BCO=90°
∴实际速度为2km/h，则实际航程为2×=6km．
故选：B．
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点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应注意船在静水中的速度，水流速度和船的实际速度的区别，是基础题目．
7．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=( )
A．1
B．2
C．4
D．8
考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．
分析：由公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，且a3a11=16，知．故a7=4=，由此能求出a5．
解答： 解：∵公比为2的等比数列{an} 的各项都是正数，
且 a3a11=16，
∴．
∴a7=4=，
解得a5=1．
故选A．
点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
8．若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为( )
A．12
B．18
C．22
D．44
考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．
专题：计算题．
分析：根据等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式可得 S11 ==，运算求得结果．
解答： 解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a10=4，
∴S11 ===22，
故选C．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．
9．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是( )
A．an=n2﹣n+1
B．an=
C．an=
D．an=n2+1
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：探究型；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：仔细观察数列1，3，6，10，…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．
解答： 解：仔细观察数列1，3，6，10，…可以发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
…
∴第n项为1+2+3+4+…+n=，
∴数列1，3，6，10，…的通项公式为an=，
故答案为an=．
点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，属于基础题．
10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4
B．5
C．6
D．7
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数
解答： 解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：
是否继续循环 S K
循环前/0 0
第一圈 是 1 1
第二圈 是 3 2
第三圈 是 11 3
第四圈 是 2059 4
第五圈 否
∴最终输出结果k=4
故答案为A
点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结 ( http: / / www.21cnjy.com )果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） ②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
11．若a＞b，则下列不等式正确的是( )
A．
B．a3＞b3
C．a2＞b2
D．a＞|b|
考点：不等关系与不等式．
专题：证明题．
分析：用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．
解答： 解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：
=﹣1，=﹣，显然A不正确．
a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．
a2 =1，b2=4，显然C不正确．
a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．
故选 B．
点评：通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
12．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为( )
A．12
B．10
C．8
D．2
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：1．作出可行域 2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值
解答： 解：本题主要考查目标函数最值的求法 ( http: / / www.21cnjy.com )，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．
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点评：本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义
二、填空题：（每题5分）
13．根据如图所示算法语句，当输入x为60时，输出y=8
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：循环结构．
专题：算法和程序框图．
分析：根据题意，模拟算法语句的运行过程，得出该算法语句输出的是什么．
解答： 解：根据题意，模拟程序语句的运行过程，得出该程序运行的是；
输入x=60，
r是60除以2的余数，∴r=0；
∴y==8，输出y=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了算法语句的应用问题，解题时应读懂语句的含义，判断出算法的功能是什么，是基础题．
14．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于3（1﹣3﹣10）．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知a2=﹣，可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
解答： 解：∵3an+1+an=0
∴，
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列
∵a2=﹣，
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，s10= ( http: / / www.21cnjy.com )=3（1﹣3﹣10）．
故答案为：3（1﹣3﹣10）．
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于中档题．
15．不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集是[﹣2，]．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：把不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，求出解集即可．
解答： 解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0可化为
2x2+x﹣6≤0，
解得﹣2≤x≤；
∴该不等式的解集是[﹣2，]．
故答案为：[﹣2，]．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．
16．若x＞0，y＞0且+=1，则xy的最小值是64．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵x＞0，y＞0且+=1，
∴，化为xy≥64，当且仅当4x=y=16时取等号．
则xy的最小值是64．
故答案为：64．
点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
三、解答题：（10+10+12+12+12+14）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积．
（2）若b+c=6，求a的值．
考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．
专题：综合题．
分析：（1）由角A的余弦值和平方关系求出A的正弦值，再由数量积的值求出bc的值，代入面积公式进行求解；
（2）根据（1）求出的式子和题意，求出边b和c的值，利用余弦定理求出边a的值．
解答： 解：（1）由题意知，，0＜A＜π
∴，，∵．
∴，解得，bc=5
∴△ABC的面积S=
（2）由（1）知，bc=5，又∵b+c=6，
∴或
由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=20
∴．
点评：本题是有关三角的综合题，考查了同角三角函数的关系，面积公式，余弦定理的应用等，难度不大，也是高考常考的题型．
18．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列
（Ⅰ）求{an}的公比q；
（Ⅱ）a1﹣a3=3，求Sn．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2（a1+a1q+）=a1+a1+a1q，由此能求出{an}的公比q．
（Ⅱ）由a1﹣a3=3，q=﹣，求出a1=4，由此能求出Sn．
解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，
S1，S3，S2成等差数列，
∴2（a1+a1q+）=a1+a1+a1q，
解得q=﹣或q=0（舍）．
∴q=﹣．
（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，q=﹣，
∴，a1=4，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=[1﹣（﹣）n]．
点评：本题考查数列的公比和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．
19．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+λ，求λ的值．
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
专题：平面向量及应用．
分析：根据题意，画出图形，结合图形，用向量与表示出即可．
解答： 解：△ABC中，D是AB边上一点，且=2，=+λ，
如图所示；
∴=+=+2①，
又=+，
∴2=2+2=2﹣2②；
①+②得，3=+2，
∴=+；
∴λ=．
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点评：本题考查了平面向量的线性运算的几何意义与应用问题，是基础题目．
20．已知=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（2，1）．
（1）若∥，求tanθ的值；
（2）若||=||，，求θ的值．
考点：平行向量与共线向量；向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）因为∥，所以sinθ=2（cosθ﹣2sinθ），由此求得tanθ的值．
（2）由||=||可得sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5，化简求得 sin4θ=0，可得4θ=kπ，即，由，求得k和θ．
解答： 解：（1）因为∥，所以sinθ=2（cosθ﹣2sinθ），于是4sinθ=cosθ，故tanθ=．
（2）由||=||知，sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5，∴1﹣2sin2θ+4sin2θ=5，
从而﹣2sin2θ+2（1﹣cos2θ）=4，即sin2θ+cos2θ=﹣1．
∴1+2sin2θcos2θ=1，即sin4θ=0，
∴4θ=kπ，即，由，得，
∴k=2或3，即或．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
21．某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如表：
产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）
A产品 3 9 4
B产品 10 4 5
已知生产每吨A产品的利润是 ( http: / / www.21cnjy.com )7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：根据已知条件列出约束条件，与目标函数利用线性规划求出最大利润．
解答： 解：设生产A、B两种产品分别为x，y吨，利润为z万元，
依题意可得： ( http: / / www.21cnjy.com )，目标函数为z=7x+12y，
画出可行域如图：6﹣2阴影部分所示，
当直线7x+12y=0向上平移，经过M时z取得最大值，
所以该企业生产A，B两种产品分别为20吨与24吨时，获利最大．
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点评：本题考查线性规划的简单应用，列出约束条件画出可行域是解题的关键，考查逻辑思维能力与计算能力．
22．（14分）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题；分类讨论．
分析：当a=0时，得到一个一元一次不等 ( http: / / www.21cnjy.com )式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．
解答： 解：当a=0时，不等式的解为{x|x＞1}；
当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0
当a＜0时，原不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＞0，
不等式的解为{x|x＞1或x＜}；
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为{x|1＜x＜}；
当a＞1时，＜1，不等式的解为{x|＜x＜1}；
当a=1时，不等式的解为 ．
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．