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第18章 勾股定理 单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1.如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，取中点，连接，
∵，，点D是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，最小为，
由勾股定理得，，
故选：C．
2.如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作于D，先证明得到，再证明，得到，进一步证明，，则可证明，由此求解即可．
【详解】解：过F作于D，连接，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
同理可证，
∴．
由可得：，
∴，
∵，即，且，，
∴，又，
又，
∴四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故选：A．
3.如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
【答案】D
【分析】本题考查方向角、含的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作于点，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题．
【详解】解：作于点，如图所示．
，
，
，
，
，
，
．
设，则，，，
，
，
，解得，则．
故选：D．
4.若某三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．先判断是直角三角形，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，
∴此三角形的面积．
故选：C．
5.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，，
∵，，
∴，
∴点三点共线，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴乙船的航向为南偏东或北偏西，
故选：．
二、填空题
6.已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分当锐角B翻折时，点B与点D重合，当锐角A翻折时，点A与点D重合，两种情况根据折叠前后对应线段相等，在中利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，当锐角B翻折时，点B与点D重合，
由折叠的性质可得，
D为的中点，
，
设，则，
在中，由勾股定理得
，
解得
；
如图，当锐角A翻折时，点A与点D重合，
由折叠的性质可得，
D为的中点，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得
故答案为：或．
7.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，将长方体展开，连接、，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：将长方体展开，连接，
根据两点之间线段最短，（）；
如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，根据勾股定理可知所用细线最短需要（）．
故答案为：，．
8.如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度求得到飞行时间即可解决问题．
【详解】过点C作，垂足为D，
∵，，，且
∴，
∵，
∴
以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴着火点C受到洒水影响时间为．
三、解答题
9.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
【答案】米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，由可得两个直角三角形，由米，米可得米，由米结合勾股定理即可求解．
【详解】解：于点B，
．
米，米，
米
又米，
米．
10.如图，在中，，．
(1)在边上找一点，使，请利用尺规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图：
（1）由勾股定理可得，则只需要保证即可，故作的垂直平分线交于D，点D即为所求，
（2）由勾股定理求出，设，则，即可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，作的垂直平分线交于D，点D即为所求；
由线段垂直平分线的性质得到，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴的长为．
11.在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得．
(1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：；
(2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆定理．
（1）利用“”证明，即可得证结论；
（2）延长至点M，使，延长交于G，连接，，由（1）同理可得，得到，，由，，可得，从而有，证得，进而根据得到，得证．
【详解】（1）在和中，
∴，
∴
（2），理由如下：
延长至点M，使，延长交于G，连接，，
在和中，
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴．
12.某小区在全国文明创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
【答案】(1)测量的是点，之间的距离；理由见解析．
(2)绿化这片空地共需要元．
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；
（2）由（1）中的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式，最后计算费用即可．
【详解】（1）解：测量的是点，之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
（2）如图，连接，
，，，
，
由勾股定理，得，
又，，
，
是直角三角形，
．
．
绿化费用为：（元）．
答：绿化这片空地共需要元．
（二）单元质量检测作业属性表
序号 类型 对应单元作业目标 对应学 难度 来源 完成时间
了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 选编 30 分钟
2 选择题 1、2 √ 易 选编
3 选择题 1、2 √ 易 选编
4 选择题 1、2、3 √ 易 选编
5 选择题 1、2 √ 中 改编
6 填空题 2、3 √ 中 改编
7 填空题 2、3 √ 中 原创
8 填空题 1、2 √ 中 改编
9 解答题 1、2 √ 中 改编
10 解答题 1、2、3 √ 较难 选编
11 解答题 1、2 √ 较难 选编
12 解答题 1、2 √ 较难 改编
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第18章 勾股定理 单元质量检测作业
（一）单元质量检测作业内容
一、选择题（单项选择）
1.如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
2.如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、．若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
3.如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东和南偏西方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．80海里
4.若某三角形的三边长分别为5，12，13，则该三角形的面积是（ ）
A．65 B．60 C．30 D．15
5.两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定
二、填空题
6.已知中，，将它其中一个锐角沿着某条直线翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则的长为 ．
7.如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要 ；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要 ．
8.如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响 秒．
三、解答题
9.如图，是一棵古老的大树，其两侧各有一根斜拉的绳子，经测量，于点B，米，米，米，请你求出绳子的长．
10.如图，在中，，．
(1)在边上找一点，使，请利用尺规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接，若，，求的长．
11.在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得．
(1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：；
(2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明．
12.某小区在全国文明创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
（二）单元质量检测作业属性表
序号 类型 对应单元作业目标 对应学 难度 来源 完成时间
了解 理解 应用
1 选择题 1 √ 易 选编 30 分钟
2 选择题 1、2 √ 易 选编
3 选择题 1、2 √ 易 选编
4 选择题 1、2、3 √ 易 选编
5 选择题 1、2 √ 中 改编
6 填空题 2、3 √ 中 改编
7 填空题 2、3 √ 中 原创
8 填空题 1、2 √ 中 改编
9 解答题 1、2 √ 中 改编
10 解答题 1、2、3 √ 较难 选编
11 解答题 1、2 √ 较难 选编
12 解答题 1、2 √ 较难 改编
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