华师大版八年级下册数学第十八章平行四边形提高练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级下册数学第十八章平行四边形提高练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 835.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-30 08:35:42 | ||
图片预览
文档简介
华师大版八年级下册数学第十八章平行四边形提高练习
一、选择题
1．下列说法中，正确的是 （ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（ ）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
3．如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
4．如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．如图，在 ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点，交于点，作交于点，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
10．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，E，F分别在边 BC，AD 上，有以下条件：①AF=CF；②AE=CF；③∠BEA =∠FCE.若要使四边形AFCE 为平行四边形，则还需添加上述条件中的 (填序号).
12．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、则顶点的坐标是 ．
13．在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
14．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，及边的中点，求作：平行四边形．
小静的作法如下：
在数学课上，老师提出如下问题：
①连接并延长，在延长线上截取；
②连接．所以四边形就是所求作的平行四边形．
老师说：“小静的作法正确”．
请回答：小静的作法正确的理由是 ．
15．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 s时其中一个新四边形为平行四边形．
三、解答题
17．如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE=BD，连接AE、CE.求证：四边形ABCE是平行四边形.
18．如图，在 中，点 ， 分别在 、 上，且 ，连接 ， 交于点 ．求证： ．
19．已知：如图，在平行四边形中，M，N分别是，的中点，，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，求的大小；
（3）过点C作 于点E， 交于点P， 若 ，求的长．
20．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
21．如图，在 ABCD中，AF 平分∠BAD，交 BC 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点 E.
（1）若AD=12，AB=8，求CF 的长.
（2）连结 BE，与 AF 相交于点 G，连结 DF，与CE 相交于点 H，连结 EF，GH 相交于点O.求证：EF 和GH 互相平分.
22．如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）若，，求的长度；
（2）如图，若平分交于点，于点，求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、因为等腰梯形的对角线相等，所以对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误；
B、一组对边平行， 另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形，故此选项错误；
C、 一组对边平行，一组对角相等的四边形才是平行四边形 ，故此选项错误；
D、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又CM⊥AB，∴线段CM的长是两平行线AB与CD间的距离。
故答案为：C.
【分析】首先由平行四边形可以判定两组对边分别平行，再由平行线间的距离（平行线中一条直线上任意一点到另一条直线垂线段的长度）可以判断答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=3，
∵BE=2，
∴BC=BE+CE=2+3=5，
∴平行四边形的周长=2×（BC+CD）=2×（5+3）=16，
故答案为：B.
【分析】先利用角平分线定义及平行线的性质可得∠CED=∠CDE，再利用等角对等边的性质可得CE=CD=3，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OE⊥AC于点O，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴CE+DE+CD=DE+AE+CD=AD+CD=11cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2(AD+CD)=2×11=22cm.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，易得OE是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可得AD+CD=11cm，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2 的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
11．【答案】③
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AF∥CE
∵∠BEA=∠FCE
∴AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形
故答案为：③.
【分析】根据对边平行的四边形是平行四边形判定即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：在中，AO∥BC，所以C点纵坐标等于B点纵坐标3，因为O(0，0)，A(5，0)，所以AO=5，又因为AO=BC，所以C点横坐标=2-5=-3，所以C点坐标为(-3，3).
故答案为：(-3，3).
【分析】根据平行四边形的性质以及坐标和图象的性质求解即可.
13．【答案】8或3
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
14．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】【解答】解：∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
又由作图知：OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【分析】由作图知道OB=OD，又知道OA=OC，故而根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定得到的四边形ABCD是平行四边形。
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，
∴，
∴阴影部分面积为平行四边形ABCD面积的一半，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵CD=AB=2，∠ADC=60°，
∴BG=1，AG=，
∴，
∴；
故填：.
【分析】考查平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，利用平行四边形的对称性，结合勾股定理求解即可.
16．【答案】4或5
【解析】【解答】解：设点P和点Q运动时间为t
∵，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止
∴点P运动时间秒
∵，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止
∴点Q运动时间秒
∴点P和点Q运动时间
在P、Q共同运动ts时
，，，
直线PQ分原四边形为两个新四边形，其中一个新四边形为平行四边形，分两种情况分析：
当时，四边形PDCQ为平行四边形
即：∴，且满足
当时，四边形APQB为平行四边形
即：∴，且满足
∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5.
【分析】结合题意，表示出AP、PD、CQ、BQ，根据平行四边形的判定和性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
17．【答案】解：∵BD是△ABC的AC边上的中线，
∴AD=CD
∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形
【解析】【分析】根据中线的性质，可得AD=CD，又利用平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明 四边形ABCE是平行四边形.
18．【答案】证明： 四边形 是平行四边形，
，
在 和 中
．
【解析】【分析】证明题可以用反推法，要证明两条线段相等，可以证明这两条线段所在的三角形全等，即，再根据平行四边形的性质找出三角形全等的条件。
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵M、N分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵M是的中点，，
∴，
∵平行四边形是菱形，
∴
（3）解：由（2）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，利用线段中点的性质可得，再结合，利用“SAS”证出即可；
（2）先证出平行四边形是菱形，再利用菱形的性质可得；
（3）先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
21．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=8，
∴CF=BC-BF=12-8=4
（2）证明：同理可证DE=DC=8，
∴AE=AD-DE=12-8=4，
∵CF=4，BF=8，
∴AE=CF，BF=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.
（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.
22．【答案】（1）解：如图，连接，四边形是平行四边形
，
，，
平分
；
（2）证明：如图，延长交于，，平分，
，
∵
平分，平分
，
，
，
和均为等腰直角三角形
，
．
【解析】【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由勾股定理求出CF的长，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，可得BC=CE，由CF=CE可得BC=CF=4；
（2）延长交于，根据等腰三角形的性质可得CH⊥EF，EF=2EH，利用平行线的性质及垂直的定义可得，结合角平分线的定义可得，继而求出△CMN和均为等腰直角三角形，可得，，，从而得出 ．
23．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
1 / 1
一、选择题
1．下列说法中，正确的是 （ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（ ）
A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°
3．如图，在中，过点C分别作边，的垂线，，垂足分别为M，N，则直线与的距离是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
4．如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．如图，在 ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
8．如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点，交于点，作交于点，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（ ）
A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形
10．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，E，F分别在边 BC，AD 上，有以下条件：①AF=CF；②AE=CF；③∠BEA =∠FCE.若要使四边形AFCE 为平行四边形，则还需添加上述条件中的 (填序号).
12．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、则顶点的坐标是 ．
13．在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
14．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，及边的中点，求作：平行四边形．
小静的作法如下：
在数学课上，老师提出如下问题：
①连接并延长，在延长线上截取；
②连接．所以四边形就是所求作的平行四边形．
老师说：“小静的作法正确”．
请回答：小静的作法正确的理由是 ．
15．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12 cm，BC=15 cm，点P自点A向D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发 s时其中一个新四边形为平行四边形．
三、解答题
17．如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE=BD，连接AE、CE.求证：四边形ABCE是平行四边形.
18．如图，在 中，点 ， 分别在 、 上，且 ，连接 ， 交于点 ．求证： ．
19．已知：如图，在平行四边形中，M，N分别是，的中点，，连接交于点O．
（1）求证：；
（2）若，求的大小；
（3）过点C作 于点E， 交于点P， 若 ，求的长．
20．如图，在ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．
（1）求证：△ADP≌△BCM；
（2）若PA=PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求的值.
21．如图，在 ABCD中，AF 平分∠BAD，交 BC 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点 E.
（1）若AD=12，AB=8，求CF 的长.
（2）连结 BE，与 AF 相交于点 G，连结 DF，与CE 相交于点 H，连结 EF，GH 相交于点O.求证：EF 和GH 互相平分.
22．如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交于点，且，连接．
（1）若，，求的长度；
（2）如图，若平分交于点，于点，求证：．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、因为等腰梯形的对角线相等，所以对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误；
B、一组对边平行， 另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形，故此选项错误；
C、 一组对边平行，一组对角相等的四边形才是平行四边形 ，故此选项错误；
D、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐个判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解： 在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，
∵∠A：∠B=1：2，
∴∠B=180°×=120°，
∴∠D=∠B=120°.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又CM⊥AB，∴线段CM的长是两平行线AB与CD间的距离。
故答案为：C.
【分析】首先由平行四边形可以判定两组对边分别平行，再由平行线间的距离（平行线中一条直线上任意一点到另一条直线垂线段的长度）可以判断答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】∵平行四边形的对角线，交于点，已知，，
∴BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，
∵的周长为15，
∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，
∴AD=BC=7，
故答案为：C.
【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=BD=5，CO=AO=AC=3，再利用三角形的周长公式求出BC的长，最后利用平行四边形的性质可得AD=BC.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=3，
∵BE=2，
∴BC=BE+CE=2+3=5，
∴平行四边形的周长=2×（BC+CD）=2×（5+3）=16，
故答案为：B.
【分析】先利用角平分线定义及平行线的性质可得∠CED=∠CDE，再利用等角对等边的性质可得CE=CD=3，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OE⊥AC于点O，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴CE+DE+CD=DE+AE+CD=AD+CD=11cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2(AD+CD)=2×11=22cm.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，易得OE是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可得AD+CD=11cm，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图1：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，
∵OE=OF，OB=OD，
∴DF=EB，
∵点E关于AD ，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2 ，
∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．
∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，
∴∠E1DB=60°，
同理∠F1BD=60°，
∴DE1∥BF1，
∴四边形 E1E2F1F2 是平行四边形，
如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，
∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，
∴四边形E1E2F1F2 是菱形．
如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则 DF2=DF=1，DE1=DE=3，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=，连接AE，AO，
∵∠ABO=60°，BO=2=AB，
∴△ABO是等边三角形，
∵E为OB中点，
∴AE⊥OB，BE=1，
∴∠E1=90°，
即四边形E1E2F1F2 是矩形．
当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1 都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2 是菱形，
∴在整个过程中，四边形 E1E2F1F2 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，
故答案为：A．
【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2 的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
11．【答案】③
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AF∥CE
∵∠BEA=∠FCE
∴AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形
故答案为：③.
【分析】根据对边平行的四边形是平行四边形判定即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：在中，AO∥BC，所以C点纵坐标等于B点纵坐标3，因为O(0，0)，A(5，0)，所以AO=5，又因为AO=BC，所以C点横坐标=2-5=-3，所以C点坐标为(-3，3).
故答案为：(-3，3).
【分析】根据平行四边形的性质以及坐标和图象的性质求解即可.
13．【答案】8或3
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
14．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】【解答】解：∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
又由作图知：OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【分析】由作图知道OB=OD，又知道OA=OC，故而根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定得到的四边形ABCD是平行四边形。
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，
∴，
∴阴影部分面积为平行四边形ABCD面积的一半，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵CD=AB=2，∠ADC=60°，
∴BG=1，AG=，
∴，
∴；
故填：.
【分析】考查平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，利用平行四边形的对称性，结合勾股定理求解即可.
16．【答案】4或5
【解析】【解答】解：设点P和点Q运动时间为t
∵，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止
∴点P运动时间秒
∵，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止
∴点Q运动时间秒
∴点P和点Q运动时间
在P、Q共同运动ts时
，，，
直线PQ分原四边形为两个新四边形，其中一个新四边形为平行四边形，分两种情况分析：
当时，四边形PDCQ为平行四边形
即：∴，且满足
当时，四边形APQB为平行四边形
即：∴，且满足
∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．
故答案为：4或5.
【分析】结合题意，表示出AP、PD、CQ、BQ，根据平行四边形的判定和性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．
17．【答案】解：∵BD是△ABC的AC边上的中线，
∴AD=CD
∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形
【解析】【分析】根据中线的性质，可得AD=CD，又利用平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明 四边形ABCE是平行四边形.
18．【答案】证明： 四边形 是平行四边形，
，
在 和 中
．
【解析】【分析】证明题可以用反推法，要证明两条线段相等，可以证明这两条线段所在的三角形全等，即，再根据平行四边形的性质找出三角形全等的条件。
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵M、N分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵M是的中点，，
∴，
∵平行四边形是菱形，
∴
（3）解：由（2）得，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，利用线段中点的性质可得，再结合，利用“SAS”证出即可；
（2）先证出平行四边形是菱形，再利用菱形的性质可得；
（3）先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用线段的和差求出即可.
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD= BC，∠ADC+ ∠BCD =180°．∵PM∥ DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，
∴PD=CM，∠PDC+∠DCM= 180°，∴∠ADP= ∠ BCM．在△ADP和△BCM中，，∴△ADP≌△BCM( SAS)． ．
（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH= DG，
∴，即S△BCP = 2S△ABP，，即S△ADP=S△ABP．
∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH= DG，得到S△BCP= 2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.
21．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=8，
∴CF=BC-BF=12-8=4
（2）证明：同理可证DE=DC=8，
∴AE=AD-DE=12-8=4，
∵CF=4，BF=8，
∴AE=CF，BF=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.
（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.
22．【答案】（1）解：如图，连接，四边形是平行四边形
，
，，
平分
；
（2）证明：如图，延长交于，，平分，
，
∵
平分，平分
，
，
，
和均为等腰直角三角形
，
．
【解析】【分析】（1）连接，由平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，由勾股定理求出CF的长，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，可得BC=CE，由CF=CE可得BC=CF=4；
（2）延长交于，根据等腰三角形的性质可得CH⊥EF，EF=2EH，利用平行线的性质及垂直的定义可得，结合角平分线的定义可得，继而求出△CMN和均为等腰直角三角形，可得，，，从而得出 ．
23．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
1 / 1