中国教育学会中学数学教学专业委员会
第七届高中青年数学教师优秀课展示与研讨活动
《两角差的余弦公式》教学设计
青海师范大学附属中学刘义
一、教材内容解析
（1）内容：高中数学人教A版必修4第三章《三角恒等变换》第一节第一课时，两角差的余弦公式，是用两个单角的三角函数值来表示两个差角的余弦值。揭示单角三角函数与复角三角函数的内在联系，开辟了三角函数研究的新领域。
（2）地位：这一内容是任意角三角函数知识的延伸，是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式的知识基础，起着承上启下的作用。
（3）作用分析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，是在学生掌握了任意角的三角函数、平面向量的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数。教材采用了一种学生易于接受的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时的公式。对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力。
（4）重点与难点：两角差的余弦公式的探索推导将是本节的重点，探索过程中老师的组织和适当的引导是本节课的难点，因为这不仅是学习积极性的问题，还有探索过程中必用的基础知识是否具备的问题，以及对已经学过的知识和方法应用能力等问题。
教学目标的设置：
（1）知识与技能目标：掌握公式的两种证明方法，数形结合法和向量法；学会运用分类讨论思想完善证明；熟记公式的结构特征，学会公式最简单的应用。
（2）过程与方法目标：以学生学习向量数量积时物理学中力做功的例子为引例，创设问题情景，经历用向量数量积推导两角差余弦公式的过程，进一步体会向量方法的应用。经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程，加强新旧知识的联系，锻炼应用已学过的知识与方法解决问题的能力，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识，从而体会数形结合的数学思想方法。
（3）情感、态度与价值观目标：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、猜想，培养学生的“问题意识”，使学生感受科学探索的乐趣和勇气，通过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神，感受运用新知解决实际问题的成就感。
三、学生学情分析：
学生在前两章的学习内容中，学习了单角三角函数以及向量的相关知识；初步掌握了一些同角三角函数关系式；对三角函数的定义也由锐角三角函数扩展到任意角的三角函数；会借助单位圆分析有关三角函数的问题。但还远未达到综合运用这些方法自主探究和证明的水平，让他们做好比较充分的预习，在所有学生独立探究这个内容时，教师在做恰当的引导。
四、教学策略分析：
尝试“将带着学生走向知识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位。让学生在头脑中主动地对知识进行自主构建，教学过程中设置了从生活走入知识，从特殊到一般，从猜想到理论证明的探究过程，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，剖析部分学生出现的错误，让学生在纠错的过程中获得新知，培养学生严密的思维习惯，尝试自我提高的喜悦，为学生全面发展打下基础。
五、教学过程设计分析：
１．提出问题，引入新课
引例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为，且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了3m,求力F作用在物体上的功W？
解：W ==30．
提出问题：
1）、解决问题需要求什么?
2）、你能找到哪些与有关的条件?
3）、能否利用这些条件求出？如果能，提出你的猜想。
4）、怎样检验这些猜想是否正确？
２．观察联想，推导公式
展示课件反问：会不会是呢？
经过学生对特殊值的验证发现公示不成立。
思考：公式不成立的原因是？
方法一：涉及到的余弦值我们可以考虑联系单位圆上的三角函数线。不妨先假设与都为锐角，。并引导学生在单位圆中做出的余弦线。的终边与单位圆的交点为，=，=，过P作PM垂直于x轴，OM就是角的余弦线。那么如何用与的正弦线，余弦线来表示OM呢？
发现OM=OB+BM=OA+AP
即为：（与都为锐角，且β<α）
方法二：请同学观察这个式子的结构特征，与a?b=有怎样的联系呢？
在单位圆中作出任意角，的终边与单位圆的交点A（，），B（，）是学生产生与向量数量积的联系？
得出公式
方法小结：1）对比一下两种证明方法，你认为哪种更简洁？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！
2）处理一般探索性问题的方法：先猜想→再证明
３．例题分析，推广应用
例１：利用差角余弦公式求的值。
问题1：可用哪两个特殊角来表示？
预计学生两种解法：
或
解：方法一：
==
方法二：
==
思考1：求出的值后，你能进一步求的值吗？
思考2：解决引例中的问题？
巩固练习：求=
例２：已知，，，第三象限角，求的值。
问题1：根据公式要计算要先求单角的哪些三角函数值？
解：由，，得
又由，第三象限角，
得
则
=
问题2：如果去掉条件“是第三象限角”怎样求
的值？
4．探究思考，巩固深化：
Ｐ１２７练习1,2,3,4,
课后思考：适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取为，你能得到哪些结论？
5．总结概括，加深理解：
1）公式的探索过程：猜想——证明——应用
2）两角差的余弦公式：
3）已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.
6．作业：Ｐ１３７：
１（１）（３），２，3，4
7．板书设计：
公式：
证明一：
3.1.1两角差的余弦公式
证明二：
例1：
例2： 小结：
设计意图：以生活实例引出本节课题，感受数学与实际的联系。使学生增强应用意识。而如何求两角差的余弦，又是迫切解决的问题，增加了学生对知识的渴望，激发学生的积极性。同时也让学生体会数学知识的产生，发展过程。
设计意图：加强新旧知识的联系，锻炼应用已学过的知识与方法解决问题的能力，使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识。
设计意图：让学生经历用向量知识解决一个数学问题的过程，是学生体会向量方法的应用。
设计意图：使学生通过应用理解公式最基础的练习，为后面变换函数种类的思考做出铺垫，应用所学知识解决实际问题，获得成功的喜悦。
设计意图：使学生通过应用理解公式最基础的练习。思考使用公式前作出必要的准备，作出必要准备运用同角三角函数的知识。
设计意图：下节课公式的推导做铺垫。
设计意图：让学生通过小结，让学生反思过程加深对公式的推导过程，及公式的结构特征。
设计意图：突出本节课的重点。
教学反思：本节课改变了以往的教学模式，而是“带着学生走向知识的”的探究式教学模式。充分尊重学生，让学生大胆勇敢的去探索公式，体会在探索过程中成功的喜悦，不需要害怕学生犯错，因为谬误本身也有它的认识价值，也是一种很好的课堂教学资源，主要是看老师怎样正确的引导和评价，这样提高了对已经学过知识和方法的应用能力，也为今后自主探究打下良好的基础。
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课例《两角差的余弦公式》点评
本节课的设计合理，思路清晰，坚持启发式教学思想，以学生熟悉的背景为载体，让学生在学习问题情境中经历知识的形成与发展，通过观察、操作、归纳、反思，认识与理解数学知识、培养了学生学习的能力。
以本班学生的实际情况入手，首先简单复习了三角函数与向量的相关知识点，为公式的推导这一难点进行做了一点铺垫。对课本中的引例做了适当的变动，但仍然遵循了课本，以生活实例引出课题，让学生感受了数学与实际生活的联系，激发了学生的学习兴趣。 在公式的推导方法上首先选择了借助单位圆三角函数线，揭示探究对象的性质与关系，从而渗透数形结合的数学思想。而选用用向量法证明公式，使学生体会到了向量法应用，体现了新课标对向量的教学要求。
这节课以提出问题，再组织学生思考，反问的形式进行师生互动，体现了教师为主导 ，学生为主体的教学模式，解答了学生可能出现的错误，体现了数学思维的严谨性。
但这节课比较平淡，没有达到高潮部分，使学生体会到探究成功的喜悦，如果在语言上再精练些，设计的问题再贴切些，可能效果会更好一些。
课件9张PPT。第三章 三角恒等变换两角差的余弦公式复
习知识点一：三角函数的定义
1）若角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，
则: ， ， ；
xyMPOMATP点的坐标可以用角α的正，余弦值表示为：P（ ， ）；2）如图，写出角α的三角函数线：
知识点二：向量数量积的定义
复
习1）已知a，b夹角为θ，则a?b= ；
夹角θ的取值范是： ；
2）若a= ，b= ， 则a?b= 。
问题 ：如图所示，一个斜坡的高为6m，斜坡的水平长度为8m，已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°，且大小为10N，在力F的作用下物体沿斜坡运动了3m，求力F作用在物体上的功W。1、解决问题需要求什么?2、你能找到哪些与 β有关的条件?3、能否利用这些条件求出 ？如果能， 提出你的猜想。4、怎样检验这些猜想是否正确？引
题解： 例题1：利用差角余弦公式求cos15°的值。问题1：15° 可用哪些特殊角来表示？问题2：求出cos15° 的值后，你能进一步求sin75°的值吗？例
题练习练习2：解决引例中的问题 练习1：求 的值。 例题2：已知 为第三象限角，求 的值。问题1：根据公式要计算 要先求单角的
哪些三角函数值？问题2：如果去掉条件“是第三象限角”怎样求
的值？例
题小
结C，探索证明；应用数形结合思想，借助单位圆中的三角函数线，推导出了公式在特殊角锐角时创立，又用向量法完善公式在任意角时成立，体会到向量方法在解决数学问题中的作用。D，推广应用：公式的正用和逆用。B，引发猜想：A，提出问题： A，Ｐ137习题1（1）（3）/2/3/4。
B，适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，
例如取 β为–β ，你能得到哪些结论？作
业谢谢！
