函数的单调性与导数
教 学 设 计
新乡市一中 刘银平
【三维目标】
知识技能：(1)探索函数的单调性与导数的关系;
(2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间;
过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；
(2)强化数形结合思想.
情感态度：(1)培养学生的探究精神；
(2)体验动手操作带来的成功感.
【教学重点难点】
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系.
【教学过程】
（一）设问篇：有效设问，引入新课
如何判断函数 (x＞0)的单调性，你有几种方法？
（利用选号程序，挑选一名幸运的同学，可提升学生注意力 ）
设计意图：利用问题吸引学生，达到激发学习兴趣的目的.若学生能说出单调区间，则追问端点“1”的由来；若学生不清楚单调性，则引导他们用定义法求解，但判断差值的正负会很麻烦.有便捷而通用的方法吗？从而引入新课.
（二）观察篇：观察分析，初步探究
首先由陈若琳跳水视频引入，高台跳水是教材一以贯之的例子，这样即引起学生注意，又体现新教材强调背景的特点.
思考1:图（1）为高度h随时间t变化的函数 图象.图（2）为速度v随时间t变化的函数图象，分析运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
设计意图：“学会看图是21世纪青年人必须具备的能力”，让学生观察高度和速度图象，体会这二者的关系.
（图1） （图2）
思考2：在函数 的单调区间上，其导数的解析式是什么？观察导数图象，通过（图2）回答导数在相应单调区间上的正负.
思考3：导数与切线斜率有什么关系？曲线切线斜率变化与图像的升降有什么关系？
设计意图：新课标强调“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用”.所以，我鼓励学生借助直观分析切线斜率的正负与图象升降的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质.
在几何画板的动态演示中，让学生反复观察图形来感受导数在研究函数单调性中的作用，一方面加强学生对导数本质的认识，把他们从抽象的极限定义中解放出来；另一方面体现数学直观这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用.
（三）操作篇：动手操作，深入探究
思考4：这种情况是否具有一般性呢？
设计意图：在学生得到初步结论之后，为了检验这一结论的普遍性，引领学生从具体的函数出发，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度.
为了让这一过程更加直观，组织学生动手操作：把牙签当切线，移动牙签观察导数正负与函数单调性的关系.让学生在老师的引导下自主探索,体会探究后的成功感,树立自信心.
并将观察结果填入下表
设计意图：灵活使用教材，不拘泥于教材，上述图象没有使用课本中提到的 图象，并将 的定义域设为 。因为学生会在“个别点处导数为零不影响单调性”的问题上纠结，不妨把这个问题放到下节课，这样可以突出本节课的重点.
（四）归纳篇：归纳结论，揭示本质
思考5：依据上述分析，可得出什么结论？
设计意图：经历上述活动之后，引导学生对一般情况进行归纳、总结，得出结论，教师板书.并解决开始提出的问题：如何判断函数 ( ＞0)的单调性，及端点“1”是怎样产生的？
函数单调性与其导数正负的关系：
在某个区间内，如果>0,那么函数 在区间 内单调递增；如果<0,那么函数 在区间内单调递减.
强调：某个区间是定义域的子区间.
（五）实践篇：典例演练，强化应用
例1.求函数 的单调区间.（教师板演，起到示范作用）
变式：求函数 的单调区间.（学生板演，规范解题格式）
设计意图：通过例题的讲解和课堂练习让学生加深对知识的理解,学以致用;(再次利用选号程序，挑选一名幸运的同学，望在中途授课提升学生注意力）
思考6：什么情况下用导数法判断单调性、求单调性比较简单？
练习：已知导函数 的下列信息：
当10;
当x>4,或x<1时， <0;
当x=4,或x=1时， =0.则函数图象的大致形状是( ）。
设计意图：本练习是课本例1改编的，考虑到本节课是新授课，授课对象为文科生，抽象能力不是太强，所以降低难度，由画图像改为选择图象，但本质不变.
例2.求函数 的单调区间.
设计意图：在教学中，由于预设学生会在求单调区间时忘掉定义域，让他们先练习然后同桌互评，自己发现问题订正错误，随后动态生成图象验证。从而让学生意识到考察单调性时定义域优先的原则.之后由学生总结求单调区间的步骤.
思考7：你能小结求解函数单调区间的步骤吗？ （强调定义域）
（六）反思篇：课堂小结，内化知识
提出问题 探究问题 解决问题 未解决的问题
设计意图：引领学生按这一模式进行小结，提高学生概括归纳总结的能力，升华对知识的理解.
（七）作业布置
必做题：课本31页 习题1.3 A组 第1，2题
选做题：判断函数 在区间 上的单调性.
设计意图：以巩固知识、培养能力、反馈信息为目的，将作业设计为必做题与选做题，可使不同基础的学生得到相应的训练和提高.
（八）板书设计
函数的单调性与导数 教学设计说明
新乡市一中 刘银平
一、教学内容的本质、地位、作用分析
本节内容隶属于导数在研究函数中的应用，函数单调性是刻画函数变化的一个最基本的性质。对于函数单调性的研究在高中分为两个阶段：第一个阶段是在数学《必修1》中，用定义研究函数单调性；第二阶段在《选修1-1》中，用导数研究函数单调性。虽然学生已经能够使用定义判定在所给区间上函数的单调性,但在判断较为复杂的函数单调性时,使用定义法局限性较大。而通过本节课的学习，能很好的解决这一难题，能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工具，其有效性和优越性。另一方面，导数是求函数的单调性、极值、最值的重要工具，同时对研究不等式问题起着重要作用。所以，学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系，也为后继学习做好了铺垫，教材的这种设计独具匠心，起到了承前启后的作用。
二.教学目标分析
1、知识与技能目标：
考虑到学生的接受能力，本节课分两课时完成，本节课为第一课时。《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例，引导学生借助几何直观探索并了解函数单调性与导数的关系，这里要求学生对函数单调性与导数的关系只是做了解的要求，严格的证明需要导数的很多基础知识，远远超出了本节课的教学要求；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，特别是对于不超过三次的多项式函数，要求会求其单调区间。
2、情感态度与价值观目标：
让学生通过观察、探讨、归纳、总结的方法得出函数单调性与导数正负的关系。培养学生观察、归纳和总结的技能，增强学生团结协作探究、合作交流表达的意识。
三、教学问题诊断
本课时要求学生了解函数单调性与导数的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间，而这种关系的基本思想是数形结合。由于学生刚刚接触导数的应用，所以他们在利用导数研究函数的单调性，求单调区间的水平和自觉性上都还有一定的差距。
学生已有的基础是解不等式和对一元二次函数及其他基本初等函数图象和性质的分析，之前还学习了导数的概念、计算、几何意义等内容。所以，在知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础。因此要充分利用这些基础，本节课的教学思路是由“形”到“数”，再由“数”到“形”，数形结合思想。
综上，本节课的重点是函数单调性与导数正负的关系；判断函数单调性，求单调区间。难点是函数单调性与导数正负关系的探究。
下面具体分析学生在学习新知的过程中可能存在的困难及对策：
第一、教学设计应突出数学思想和方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂主体，必须把课堂时间交还给学生。怎样才能真正的调动学生积极主动地参与学习活动，而不流于形式呢？为了实现这一目的，本教学设计通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，由此引出课题。然后我依据教材选用学生熟悉的“陈若琳高台跳水”的例子，让学生借助图形直观，初步了解函数单调性与导数之间的关系，还用几何画板动态演示，让学生直观观察函数单调性与切线斜率的关系，有效促进了学生探索问题的本质。为突破本节课的难点,我继续举例并指导学生动手实验：把准备好的牙签放在表中曲线的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在学案的相应表格中，引导学生经历从具体实例揭示数学本质的过程，鼓励学生发现数学的规律和解决问题的途径，使他们经历知识的形成过程。经历上述探究之后，将学生分成小组，进行讨论交流，揭示函数的单调性与导数的本质关系，让小组派代表归纳结论。在此基础上，我和学生共同完善并板书结论。这里归纳结论是本教学设计的主要思路：由原函数和导函数的图象形状归纳到“数”的相应性质。之后，我设计了两个问题：什么情况下用导数法判断单调性比较简单？你能小结求解函数单调区间的步骤吗？以提高学生求单调区间的水平和自觉性。
第二、灵活使用教材，不拘泥于教材。首先在牙签实验时，我没有使用课本中提到的和的图象，这两个图象都涉及函数在个别点处导数为零不影响单调性这一结论，学生可能会在这纠结，不如把这两个函数图象放在下节课，这样可以突出本节课的重点。另外，我将课本上的例1放到练习的位置是考虑到授课对象为文科生，想象能力及抽象能力都不是太强，况且连理科生在画本题图像时都很容易画成折线，这就需要给学生解释可导的概念，远远超出了本节课的教学要求，所以为了降低难度，由画图像改为选择图象，但本质一样。
第三、考虑到学生的接受能力有差异，我设计了开放型的课堂小结：这堂课里如何提出问题，探究问题，解决问题，最后还有哪些没解决的问题。通过讨论，学生可以畅所欲言，特别是说出自己的困惑，对于本节课没弄懂的地方可当堂解决，和下节课有关联的以后解决。
四、教法和预期效果分析
教无定法，贵在得法。下面便是我本节课的一些基本构思：
本节课，学生在不知函数单调性与导数正负的关系的前提下，在我预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，让学生经历了知识形成的过程，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中提高。
数学是思维的体操，是培养学生发现问题、解决问题的能力的载体。长期以来，我们的课堂教学太过于重结论，轻过程了。为了应付考试，为了使对公式定理应用达到所谓的“熟能生巧”，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化。在教学中，往往采用的所谓“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用结论的解题机器，这样的学生面对新问题就束手无策。新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能再让学生脱离自己内心的感受，必须让学生追求过程的体验，把“数学发现的权利”还给学生。
基于以上认识，本节课我所考虑的不是简单的把函数单调性与导数正负的关系告诉给学生，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现结论，从发现的过程中让学生体会到：结论并不是凭空产生的。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激励了学生的学习兴趣，培养了他们的合作、交流、探究的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。
授课过程中的一点遗憾：由于这种探究课型在平时的教学中还不够深入，有些学生往往以一种观赏者的身份参与其中，主动探究意识不强，思维水平没有达到足够的提升。但相信随着我们的努力，这种状况会逐步改善。此外，由于本节课是第一课时，并没有让学生动手画图，我将会在第二课时重视这个问题。
轻松愉快的课堂是学生思维发展的天地，是合作交流、探索创新的主阵地，是思想教育的好场所。新课标下的课堂是学生和教师共同成长的舞台！
