专题17 一次函数的性质综合（六大题型，60题）（原卷版）
目录
一、题型一：判断一次函数的增减性，10题，难度三星 1
二、题型二：根据一次函数增减性求参数，难度四星 2
三、题型三：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况，10题，难度四星 4
四、题型四：比较一次函数值的大小，10题，难度四星 6
五、题型五：一次函数的规律探究，10题，难度五星 8
六、题型六：一次函数的性质压轴题，10题，难度五星 11
一、题型一：判断一次函数的增减性，10题，难度三星
1．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像过点 B．值随着值增大而增大
C．当时， D．它的图像不经过第二象限
2．（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）对于一次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．的值随着的值增大而增大 B．点在函数的图象的上
C．函数的图象与直线平行 D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为
3．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象一定经过点
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，函数图象一定不经过第二象限
D．当时，函数图象经过第一、二、三象限
4．（23-24八年级·山东青岛·期中）对于一次函数（），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（ ）
函数图像不经过第三象限 函数图像经过点
A．y随x的增大而增大 B．函数图像与y轴的交点位于x轴下方
C． D．
5．（23-24八年级·广东佛山·期中）关于函数有下列结论，其中错误的是（ ）
A．图象经过点
B．若点，在图象上，则
C．图象向下平移个单位长度后，图象经过点
D．当时，
6．（23-24八年级·安徽宿州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为6 B．当时，
C．与直线平行 D．值随着值增大而增大
7．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为 B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
8．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，
C．随的增大而减小 D．
9．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ．
10．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ．
二、题型二：根据一次函数增减性求参数，难度四星
11．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①若，则；②图象过定点；③原点O到直线的距离最大值为5，正确的个数（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．（23-24八年级·浙江宁波·期末）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，直线与交于点，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）一次函数，当时，则 ．
15．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是 ．
16．（23-24八年级·广东梅州·期中）一次函数，当时，，则的值是 ．
17．（23-24八年级·河南漯河·期末）若关于自变量x的函数的函数值始终大于的函数值，则a的取值范围为 ．
18．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数，其中．
(1)若点在y的图象上，求a的值；
(2)当时，若函数有最小值，求的函数表达式；
(3)对于一次函数，其中，若对一切实数x，都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
19．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数（k，b为常数，且）．
(1)若此一次函数的图象经过两点；
①求该一次函数的表达式；
②当时，求y的取值范围；
(2)若，点在该一次函数图象上，求k的取值范围．
20．（22-23八年级·安徽安庆·期末）已知一次函数，当时，，求这个一次函数表达式．
三、题型三：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况，10题，难度四星
21．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）对于实数，，定义符号，，其意义为：当时，， ，当时，， ，例如：，，，，若关于的函数，，则该函数的最大值为( )
A．0 B．2 C．3 D．5
22．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③若，是图象上两点，则；④关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）一次函数和与的部分对应值如表1，与的部分对应值如表2：
0 1 0 1
3 5 0 -1
则当时，的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
24．（22-23八年级下·湖北随州·期末）关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象与轴交点坐标为
C．图象是与平行的一条直线 D．当时，函数值有最小值3
25．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当时，；②当的值随值的增大而增大时，；
③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则．
26．（22-23八年级下·湖北随州·期末）如图，直线与直线交于点，下列结论：①，；②关于的方程的解为；③关于的不等式的解集为；④直线上有两点，，若时，则．其中正确结论的序号是 ．
27．（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知是一次函数．
(1)求的值；
(2)若，求对应的取值范围．
28．（23-24八年级·广西崇左·阶段练习）已知y关于x的函数关系式为
(1)若函数图象经过原点，则k的值为 ，若函数的图象平行直线，则直线在y轴上的截距为 ；
(2)若点在它的图象上，求这个函数的表达式；
(3)在（2）的结论下，若x的取值范围是，求y的取值范围．
29．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知正比例函数过点，点在正半轴上，又，且．
(1)求正比例函数解析式；
(2)判断点和是否在这个函数图象上，并说明理由；
(3)当时，直接写出函数值的取值范围；
(4)点的坐标为
30．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知与x成正比例，当时，.
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)分别求出（1）中函数关系所表示的图像与x、y轴的交点坐标；
(3)当时，y的最大值是______；y的最小值为______.
四、题型四：比较一次函数值的大小，10题，难度四星
31．（23-24八年级·陕西西安·期中）点，在一次函数的图像上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
32．（23-24八年级·宁夏银川·期中）对于函数的图象，下列结论错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．与x轴的交点为
C．与y轴的交点为 D．若两点，在该函数图象上，则
33．（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）若一次函数的图象经过两点和，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
34．（22-23八年级下·福建莆田·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
35．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则P为（ ）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数
36．（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
37．（23-24八年级·陕西西安·期中）已知，为直线（为常数）上的两个点，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
38．（23-24八年级·山东青岛·期中）若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
39．（23-24八年级·陕西·阶段练习）一次函数的图像过点，，，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
40．（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
x … 0 1 2 3 4 5 6 …
… 5 m 1 1 3 n …
(1)函数自变量的取值范围是______．
(2)表格中：______，______．
(3)在直角坐标系中画出该函数图象．
(4)观察图象：
①当______时，随的增大而减小；
②该函数的最小值为______；
③已知点和在函数的图象上，则比较______（填“”或“”）．
④已知直线过点和直接写出当的x取值范围是______．
五、题型五：一次函数的规律探究，10题，难度五星
41．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形、正方形、正方形、…、正方形的顶点A、、、…、和O、C、、、…、分别在一次函数的图象和x轴上，若正比例函数则过点，则系数k的值是（ ）．
A． B． C． D．
42．（23-24八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
43．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，则为（ ）
A． B． C． D．
44．（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）正方形，，，…按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标为 ．
45．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去，的长为 ．
46．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与x轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到x轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是 ．
47．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ．
48．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ．
49．（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．
50．（23-24八年级·四川成都·期中）正方形，，，按如图的方式放置，点，，和点，，分别在直线和轴上，已知点，，按此规律，则的坐标是 ．
六、题型六：一次函数的性质压轴题，10题，难度五星
51．（23-24八年级·河南驻马店·期中）正方形，，，…按如图的方式放置，其中点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
52．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数，，下列说法：
①函数与的图象关于y轴对称；
②若，则此关于x的方程有且仅有两个相等的实数根；
③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
53．（22-23八年级·江苏泰州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
54．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．
55．（23-24八年级·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且直线与轴相交所成的锐角为，如图所示，在直线上，点，，，在轴正半轴上，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，则只由前个正方形所形成图形的周长和是 ．（用的代数式表示）
56．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号）
57．（22-23八年级·福建漳州·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点．
(1)求点，的坐标；
(2)设点，的纵坐标分别为，，当时，为定值，求的值；
(3)在（2）的条件下，分别过点，作，垂直于轴，垂足分别为点，，当时，求长方形周长的最大值．
58．（22-23八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线（为常数）．
(1)当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为______．
(2)当时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差；
(3)点的坐标为，点的坐标为，以为对角线作矩形，使矩形的边与坐标轴垂直，并且点在轴上．
①直线与矩形的对角线互相平行或垂直时，求的值；
②直接写出直线与矩形的边共有两个交点时的取值范围．
59．（22-23八年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”．
(1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ；
(2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值；
(3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围．
60．（22-23八年级下·山西忻州·期末）综合与探究
如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，且它们的图像交于点．
(1)求点与点的坐标．
(2)当时，求自变量的取值范围（直接写出结果）．
(3)在轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题17 一次函数的性质综合（六大题型，60题）（解析版）
目录
一、题型一：判断一次函数的增减性，10题，难度三星 1
二、题型二：根据一次函数增减性求参数，难度四星 7
三、题型三：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况，10题，难度四星 14
四、题型四：比较一次函数值的大小，10题，难度四星 24
五、题型五：一次函数的规律探究，10题，难度五星 31
六、题型六：一次函数的性质压轴题，10题，难度五星 43
一、题型一：判断一次函数的增减性，10题，难度三星
1．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像过点 B．值随着值增大而增大
C．当时， D．它的图像不经过第二象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，函数图像过点，故此选项正确，不符合题意；
B、，值随着值增大而增大，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，，解得：，故此选项错误，符合题意；
D、，，函数图像不经过第二象限，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
2．（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）对于一次函数，下列结论中正确的是（ ）
A．的值随着的值增大而增大 B．点在函数的图象的上
C．函数的图象与直线平行 D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的的符号判断随增大而减小，把点的横坐标代入解析式即可判断点是否在图象上，根据是否相等判断两直线是否平行，由函数解析式求出直线与坐标轴交点坐标，从而可求出图象与坐标轴围成三角形的周长，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、因为，所以随的增大而减小，所以选项不合题意；
、当时，，故点不在函数图像上，所以选项不合题意；
、函数和函数中，，则它们不平行，所以选项不合题意；
、与坐标轴的交点坐标为，，因为，则函数的图象与坐标轴围成的三角形的周长为，所以选项符合题意；
故选：．
3．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象一定经过点
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，函数图象一定不经过第二象限
D．当时，函数图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
由可得抛物线经过定点，当时，随增大而减小，当时，直线经过第一，三，四象限．
【详解】解：∵，
∴时，，
∴直线经过点，选项A正确．
∵时，，直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，
∴选项B错误，选项C错误，
当时，，直线经过第一，三，四象限，
∴选项D错误．
故选：A．
4．（23-24八年级·山东青岛·期中）对于一次函数（），根据两位同学的对话信息，下列结论一定正确的是（ ）
函数图像不经过第三象限 函数图像经过点
A．y随x的增大而增大 B．函数图像与y轴的交点位于x轴下方
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图像及性质，根据一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征判断即可．
【详解】解：一次函数（）的图像不经过第三象限，
一次函数（）的图像经过第二、四象限或第一、二、四象限，
，
随x的增大而减小，故A错误，不合题意；
又函数图像经过点，
函数图像与y轴的交点位于x轴上方，故B错误，不合题意；
，，
，故选项C正确，符合题意；
不一定大于0，故选项D错误，不合题意．
故选：C．
5．（23-24八年级·广东佛山·期中）关于函数有下列结论，其中错误的是（ ）
A．图象经过点
B．若点，在图象上，则
C．图象向下平移个单位长度后，图象经过点
D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数图象上点的坐标特点判定；根据一次函数的性质判定；根据一次函数图象的平移规律判定；利用一次函数与轴交点，求不等式解集，判定；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：、当时，，图象经过点，故本选项正确，不合题意；
、因为函数中，，所以随的增大而减小，因为，所以，故本选项正确，不合题意；
、根据平移的规律，函数的图象向下平移个单位长度得解析式为，当时，，故本选项错误，符合题意；
、把代入函数，所以当时，，故本选项正确，不符合题意；
故选：．
6．（23-24八年级·安徽宿州·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为6 B．当时，
C．与直线平行 D．值随着值增大而增大
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握函数图像的图形和性质是解题的关键．根据一次函数的图形和性质判断即可．
【详解】解：直线在轴上的截距为，故选项A错误，不符合题意；
由可得，
当时，，
解得，故选项B正确，符合题意；
与直线相交，故选项C错误，不符合题意；
值随着值增大而减小，故选项D错误，不符合题意．
故选B．
7．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为 B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
【答案】D
【分析】根据一次函数中，时，，得到图象与x轴的交点为；根据，得到y的值随着x的值的增大而减小； 根据，，得到函数图象经过第一、二、四象限；根据当时，得到，，．逐项判断即可．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】A．图象与x轴的交点坐标为，
∵中，时，，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为，此选项正确，故选项A不符合题意；
B． y的值随着x的值的增大而减小，
∵中，，
∴y的值随着x的值的增大而减小，此选项正确，故选项B不符合题意；
C．图象经过第一、二、四象限，
∵中，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，此选项正确，故选项C不符合题意；
D．当时，，
∵中，当时，，
∴，即，
∴一次函数，当时，，此选项错误，故选项D符合题意；
故选：D．
8．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当时，
C．随的增大而减小 D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质判断即可，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】由图象知，，且随的增大而增大，故、选项错误；
∵图象与轴负半轴的交点坐标为，
∴，故选项错误；
当时，图象位于轴的上方，则有，即，故选项正确，
故选：．
9．（22-23八年级下·江苏南通·阶段练习）已知整数x满足，，，对于任意一个x，m都取、中的最大值，则m的最大值是 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了一次函数的最值．熟练掌握一次函数的图象与性质，确定两个函数图象的交点，函数的增减性，是解决问题的关键．
联立两个函数的解析式，得出两函数图象的交点坐标，接下来将自变量分成两段讨论m的值，最后比较得出结论即可．
【详解】联立两函数的解析式，得，，
解得，，
∴两函数图象交点为，
∵当时，，且的值随x的增大而减小，
∴当时，；
∵当时，，且的值随x的增大而增大，
∴当时，；
∴在的范围内，m的最大值为14．
故答案为：14．
10．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第二象限；③不等式的解集是；④其中正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，根据图象判断出a，b，c，d的正负，结合两直线交点的横坐标为4，逐项判断即可．
【详解】解：由图象可得：，，，，两直线交点的横坐标为4，
，
对于函数来说，y随x的增大而增大，故①正确；
，，
函数经过第一、二、三象限，故②错误；
由图可得，当时，直线在直线的上方，
的解集为，
的解集是，故③正确；
两直线交点的横坐标为4，
，
，故④正确；
综上可知，正确的有①③④．
二、题型二：根据一次函数增减性求参数，难度四星
11．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①若，则；②图象过定点；③原点O到直线的距离最大值为5，正确的个数（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，点到直线的距离，平面直角坐标系内两点间的距离．掌握一次函数的图象和性质是解题关键．由，即得出其y值随x的增大而减小，可判断①；将代入，即可求出，即得出图象过定点，可判断②；由题意得出原点O到直线的距离最大值为原点到的距离，从而可求出最大值，可判断③．
【详解】解：若，则说明该一次函数的y值随x的增大而减小，
∴，
解得：，故①正确；
将代入，得：，
∴图象过定点，故②正确；
∵该图象过定点，
∴原点O到直线的距离最大值为原点到的距离，
∴最大值为，故③错误．
综上可知正确的个数有2个．
故选C．
12．（23-24八年级·浙江宁波·期末）若一次函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次项的系数决定函数的增减性质，掌握此性质是解题的关键．
根据一次函数的性质可确定一次项系数的符号，从而可确定m的取值范围．
【详解】解：当时，，则y随x的增大而减小，
∴，
解得：
故选：D．
13．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，直线与交于点，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
【详解】解：因为经过二，四象限，所以，经过一、二、三象限，所以，故①正确；
，当时，，故②错误；
结合图象可得，当时，直线的图象在的图象下方，，故③正确；
结合图象，当时，，，，，故④正确，
故选：C．
14．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）一次函数，当时，则 ．
【答案】或/或2
【分析】
本题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性分以下两种情况讨论，①时，y随x的增大而增大，②时，y随x的增大而减小，根据增减性得到一次函数图象所过点的情况，将点代入中，求出，的值，即可解题．
【详解】解：一次函数，当时，
下面两种情况讨论：
①当时，y随x的增大而增大，
即时，，时，，
，解得，
；
①当时，y随x的增大而减小，
即时，，时，，
，解得，
；
故答案为：或．
15．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知是一次函数图像上的不同两个点，则当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．
根据，判断出时，，得到y随x的增大而减小，从而得出，即得，
【详解】∵、是一次函数图象上的不同两个点，且，，
∴，
∴与异号，
∴当时，，或当，则
∴时，，或，
∴该函数y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故答案为：．
16．（23-24八年级·广东梅州·期中）一次函数，当时，，则的值是 ．
【答案】2或
【分析】本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，分两种情况考虑，根据一次函数的性质找出点的坐标，利用待定系数法求出k、b值，再将其代入
【详解】当时，y值随x值的增大而增大，
∴，
解得：，
∴；
当时，y值随x值的增大减小，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的值为2或．
故答案为：2或．
17．（23-24八年级·河南漯河·期末）若关于自变量x的函数的函数值始终大于的函数值，则a的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】本题考查一次函数图象及性质．根据题意先求出时，函数的函数值最小为，可知当时，函数的函数值始终大于的函数值，再分情况讨论即可得出本题答案．
【详解】解：∵，
∴函数的函数值最小为，此时；
∴当时，函数的函数值始终大于的函数值，
①若，则，
解得：；
②若，则，
解得：；
综上所述：当时，自变量的函数的函数值始终大于的函数值，
故答案为：．
18．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数，其中．
(1)若点在y的图象上，求a的值；
(2)当时，若函数有最小值，求的函数表达式；
(3)对于一次函数，其中，若对一切实数x，都成立，求a，m需满足的数量关系及a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)，且
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数的性质．
（1）把代入中可求出的值；
（2）分两种情况：当，即时，当，即时，再根据一次函数增减性，结合当时，函数有最小值，得点的坐标，再代入一次函数解析式即可求解；
（3）先整理得到，再对一切实数，都成立，则直线与平行，且在的上方，所以且，从而得到，需满足的数量关系及的取值范围．
【详解】（1）解：把代入，
得：，
；
（2）当，即时，随增大而增大，
∵当时，函数有最小值，
∴时，，
把代入，得：，
解得：，此时一次函数解析式为；
当，即时，随增大而减小，
∵当时，函数有最小值，
则时，，
把代入，得：，
解得：，此时一.次函数解析式为；
综上，或；
（3），
∵对一切实数，都成立，
则直线与平行，且在下方，
且，
，且．
19．（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）已知一次函数（k，b为常数，且）．
(1)若此一次函数的图象经过两点；
①求该一次函数的表达式；
②当时，求y的取值范围；
(2)若，点在该一次函数图象上，求k的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）①利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
②根据一次函数的增减性求出y的取值范围即可；
（2）根据题意得到，即可得到k的取值范围．
【详解】（1）解：①将代入得：
，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
②当时，，
当时，，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y的取值范围为：；
（2）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（22-23八年级·安徽安庆·期末）已知一次函数，当时，，求这个一次函数表达式．
【答案】或
【分析】本题主要考查了待定系数法求直线解析式，因为函数的增减性不明确，所以分①随的增大而增大时，②随的增大而减小两种情况列式求解即可，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：①，随的增大而增大时，
时，
解得：
该一次函数的表达式为；
②，随的增大而减小，
解得：
该一次函数的表达式为，
综上所述，该一次函数的表达式为或．
三、题型三：根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况，10题，难度四星
21．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）对于实数，，定义符号，，其意义为：当时，， ，当时，， ，例如：，，，，若关于的函数，，则该函数的最大值为( )
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据定义分情况列出不等式：①当时，，；②当时，，，再根据一次函数的性质可得出结果．
【详解】解：由题意得：
①当，即时，，，
，随的增大而减小，
当时，取得最大值；
②当，即时，，，
，随的增大而增大，
当时，．
综上可知，函数的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义、一次函数的图像与性质问题，认真阅读理解其意义，并利用函数的性质解决函数的最值问题是解题的关键．
22．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③若，是图象上两点，则；④关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质即可判断①③；由图象经过点即可判断②；根据平移的规律即可判断④．
【详解】解：①∵函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，故①不正确；
②∵的图象与x轴的交点为，
∴，
∴，故②不正确；
③由图象可知，函数y随x的增大而减小，
∵，是图象上两点，且，
∴，故③正确；
④∵函数的图象向右平移2个单位得到，
∵图象与x轴交点的横坐标为2，
∴函数图象与x轴交点的横坐标为4，
∴关于x的不等式的解集为，故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，一次函数图象与几何变换，利用数形结合是解题的关键．
23．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）一次函数和与的部分对应值如表1，与的部分对应值如表2：
0 1 0 1
3 5 0 -1
则当时，的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得两函数解析式，再根据一次函数的性质求解不等式即可解答.
【详解】解：将代入
可得：，解得：，
∴；
同理可得：
联立和，解得：
∴的解集为；
∵，
∴，
∴的解集为.
故选C.
【点睛】本题主要考查了一次函数的交点问题、一次函数的解析式、解不等式等知识点，正确求得两函数解析式是解答本题的关键.
24．（22-23八年级下·湖北随州·期末）关于函数的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过第一、二、三象限 B．函数图象与轴交点坐标为
C．图象是与平行的一条直线 D．当时，函数值有最小值3
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象与性质解答．
【详解】解：A、函数图象经过第一、二、四象限，错误；
B、函数图象与轴交点坐标为，错误；
C、原函数图象是与平行的一条直线，正确；
D、由于原函数的函数值随着自变量的值增大而减小，所以当时，即x=1，函数值有最小值0，错误；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
25．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）一次函数（、为常数，）中的与的部分对应值如下表：
下列结论中一定正确的是 （填序号即可）．
①当时，；②当的值随值的增大而增大时，；
③当时，或；④当时，直线与轴相交于点，则．
【答案】①②③
【分析】将点、代入，求出、关于的关系式，根据关系式即可判断①、②；求出该函数与轴的交点的坐标及即可判断④；分与两种情况讨论，根据即可求解，从而判断④．
【详解】解：依题得：，
解得：，，
时，，
，①正确；
当随着的值增大而增大时，，
即，，
②正确；
，
，
直线与轴相交于点，
即，
④错误；
当时，，
，
，
即，解得，
时，,
,
，
即，解得，
③正确．
综上，结论中一定正确的是①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握图像上两点与原点围成三角形面积的求法．
26．（22-23八年级下·湖北随州·期末）如图，直线与直线交于点，下列结论：①，；②关于的方程的解为；③关于的不等式的解集为；④直线上有两点，，若时，则．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据函数图象即可判断①，根据图象可知关于的方程的解，即可判断②；根据图象可知不等式的解集即可判断③，根据函数增减性即可判断④．
【详解】解：根据图象可知，故①正确；
根据图象可知，两直线交点横坐标为3，所以，关于的方程的解为，故②正确；
不等式可变形为：，
从图象可以得出，时，x的取值范围是，
∴的解集为，故③错误；
在直线中，，
∴y随着x增大而增大，
∴当，则，故④正确；
综上，正确的结论有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数与一元一次不等式的关系等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
27．（23-24八年级·安徽亳州·期中）已知是一次函数．
(1)求的值；
(2)若，求对应的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一般形如（是常数，且）的函数是一次函数，根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案；
（2）首先判断该函数图像的增减性，然后结合题意即可获得答案；
【详解】（1）解：∵是一次函数，
∴且，
解得；
（2）由（1）可知，该一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，对应的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、一元一次方程的应用、绝对值的应用、一次函数的图像与性质等知识，理解一次函数的定义、熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．
28．（23-24八年级·广西崇左·阶段练习）已知y关于x的函数关系式为
(1)若函数图象经过原点，则k的值为 ，若函数的图象平行直线，则直线在y轴上的截距为 ；
(2)若点在它的图象上，求这个函数的表达式；
(3)在（2）的结论下，若x的取值范围是，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解的值；两条直线平行，即值相等，即，解得，即可得到，进一步即可求得截距为；
（2）利用待定系数法求得即可；
（3）求得和时的函数值，然后利用一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得，
∵函数的图象平行直线
∴，
解得，
∴，
令，则，
∴直线在轴上的截距为，
故答案为：；
（2）∵点在它的图象上，
∴，
∴，
∴这个函数的表达式为；
（3）当时，，
当时，，
∵在中随的增大而减小，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，两条直线平行问题，熟知一次函数图象与系数的关系是解题键．
29．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知正比例函数过点，点在正半轴上，又，且．
(1)求正比例函数解析式；
(2)判断点和是否在这个函数图象上，并说明理由；
(3)当时，直接写出函数值的取值范围；
(4)点的坐标为
【答案】(1)
(2)点不在这个函数图象上，点在这个函数图象上，理由见解析
(3)
(4)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将和代入求解即可；
（3）首先求出当和时y的值，然后利用一次函数的增减性求解即可；
（4）设点P的坐标为，然后表示出，然后利用列方程求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数为，
，
，解得，
正比例函数的解析式为：．
（2）点不在这个函数图象上；点在这个函数图象上
理由：当时，，即点不在这个函数图象上
当时，即点在这个函数图象上
（3）当时，
当时，
∵
∴y随x的增大而减小
∴函数值的取值范围为；
（4）设点P的坐标为
∵点在正半轴上，
∴
∵
∴
∴解得或0（舍去）
∴
∴点的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数表达式．
30．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）已知与x成正比例，当时，.
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)分别求出（1）中函数关系所表示的图像与x、y轴的交点坐标；
(3)当时，y的最大值是______；y的最小值为______.
【答案】(1)
(2)与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为
(3)
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）分别令，求解即可；
（3）根据一次函数的性质结合x的范围求解即可.
【详解】（1）设，把，代入，得
，解得：，
∴y与x之间的函数关系为，即；
（2）对于，当时，，解得，
∴一次函数与x轴的交点坐标为；
当时，，
∴一次函数与y轴的交点坐标为；
（3）∵，
∴y随着x的增大而增大，
∵，
∴当时，y的最大值是4；当时，y的最小值为；
故答案为：.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与坐标轴的交点以及一次函数的性质等知识，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键.
四、题型四：比较一次函数值的大小，10题，难度四星
31．（23-24八年级·陕西西安·期中）点，在一次函数的图像上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，由得到随的增大而减小，由即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
故选：．
32．（23-24八年级·宁夏银川·期中）对于函数的图象，下列结论错误的是（ ）
A．图象经过第一、二、四象限 B．与x轴的交点为
C．与y轴的交点为 D．若两点，在该函数图象上，则
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象及性质．
根据一次函数图象与系数的关系判断A选项；求出当时x的值，可得函数的图象与x轴的交点坐标，然后判断B选项；求出当时y的值，可得函数的图象与y轴的交点坐标，然后判断C选项；根据一次函数的增减性判断D选项．
【详解】∵，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限．故A选项正确；
当时，，解得，
∴函数的图象与x轴的交点为．故B选项错误；
当时，，
∴函数的图象与y轴的交点为．故C选项正确；
∵，
∴函数中，y随x的增大而减小，
∵，
∴．故D选项正确．
故选：B
33．（23-24八年级·黑龙江绥化·期末）若一次函数的图象经过两点和，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据一次函数的图象与性质判断函数值的大小．熟练掌握，随着的增大而增大是解题的关键．
根据，随着的增大而增大判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴随着的增大而增大，
∵，
∴，
故选：A．
34．（22-23八年级下·福建莆田·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是( )
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
【答案】D
【分析】根据题意可得，，进而根据选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，，为直线上的三个点，
∴，
∵，，
∴
A. 若， 则，即同号，当时，，当时，，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若， 则异号，同理可得或
C. 若， 则同号，同理可得或
D. 若， 则异号，只能是，则，
∴，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
35．（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则P为（ ）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，根据，随着增大而增大，可知与同号，是解决问题的关键．
【详解】解：∵一次函数，
∴随着增大而增大，
∵若，分别在一次函数图象上两个不相同的点，
∴与同号，
∴，
故选：B．
36．（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握由的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．
【详解】解：对于一次函数，
∵，
∴随的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴当时，，
故选：B．
37．（23-24八年级·陕西西安·期中）已知，为直线（为常数）上的两个点，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．据此首先判定，得出y随x增大而增大，再逐项判定即可．
【详解】解：∵
∴
∴y随x增大而增大，
A、若，则，故此选项不符合题意；
B、若，则，故此选项不符合题意；
C、若，即，则，即，故此选项符合题意；
D、若，即，则，即，故此选项不符合题意；
故选：C．
38．（23-24八年级·山东青岛·期中）若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．先根据点可得，再根据一次函数的增减性即可得．
【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，
解得，
随的增大而减小，
∵点，点都在一次函数的图象上，且，
，
故选：C．
39．（23-24八年级·陕西·阶段练习）一次函数的图像过点，，，则，，的大小关系为 ．（用“”连接）
【答案】
【分析】根据得到函数的函数值随的增大而减小，结合已知得，从而进行判断即可．
【详解】解：一次函数中，，
函数的函数值随的增大而减小，
一次函数的图像过点，，，且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记，随的增大而增大，，随的增大而减小，是解答本题的关键．
40．（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
x … 0 1 2 3 4 5 6 …
… 5 m 1 1 3 n …
(1)函数自变量的取值范围是______．
(2)表格中：______，______．
(3)在直角坐标系中画出该函数图象．
(4)观察图象：
①当______时，随的增大而减小；
②该函数的最小值为______；
③已知点和在函数的图象上，则比较______（填“”或“”）．
④已知直线过点和直接写出当的x取值范围是______．
【答案】(1)全体实数
(2)3；5
(3)见解析
(4)①；②；③；④
【分析】（1）由绝对值的定义即可确定x的取值范围；
（2）将和分别代入解析式即可求得m和n的值；
（3）根据表格已有数据、描点、连线即可得到函数图象；
（4）①根据函数图象即可解答；
②根据函数图象得出函数的最小值即可；
③分别求出a、b的值，然后进行比较即可；
④先用待定系数法求出，然后分两种情况：当时，当时，分别求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：由绝对值的定义可知，可取全体实数，
∴x的取值范围是全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）解：当时，；
当时，，
故答案为：3；5．
（3）解：根据表中数据，描点，连线如下图所示：
（4）解：①由图可知，当时，y随x的增大而减小，
故答案为：；
②根据函数图象可知，该函数的最小值为；
故答案为：；
③把点，分别代入得：
，
，
∵，
∴；
故答案为：；
④设直线函数解析式为，把和代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
由得：，
解得：，
即当时，；
当时，，
由得：，
解得：，
即当时，；
综上分析可知，当时，x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标、分段函数的图象，准确画出函数的图象并灵活运用函数图象得到函数的性质成为解答本题的关键．
五、题型五：一次函数的规律探究，10题，难度五星
41．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形、正方形、正方形、…、正方形的顶点A、、、…、和O、C、、、…、分别在一次函数的图象和x轴上，若正比例函数则过点，则系数k的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正方形的性质，一次函数的图象和性质，求正比例函数解析式，点坐标规律探索．找出，，，……的坐标规律是解题关键．根据一次函数解析式可求出，结合正方形的性质可求出，进而得出，，，……，，即可求出，再代入求解即可．
【详解】解：∵点A是直线与y轴的交点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
同理可得、，、，……
∴，，，……
∴的坐标是．
∴，即，
把代入，得：，
解得：．
故选：B．
42．（23-24八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点，的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律为（为正整数），依此规律即可得出结论．
【详解】解：直线l：与x轴交于点，
∴当时，，
∴，
∵为正方形，
∴，
同理可得：，，，…，
、、、…
∴（为正整数），
∴点的坐标为
故选：A．
43．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，，，，，，…，，，…则当动点C到达处时，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律即可．由直线可知， ，则纵坐标为1，代入直线中，得，又、横坐标相等，可得 ，可判断为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得、、…、都是等腰直角三角形，分别求，，再总结一般规律即可．
【详解】解：由直线直线可知，，
∵，
∴，解得：，
∴，，
同理可得：，，
∴，
同理可得：，，，
∴，
∴
…，
∴，
故选B．
44．（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）正方形，，，…按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标为 ．
【答案】,)
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
【详解】
解：∵直线，当时，，当时，，
，
，
，
，点所在正方形的边长为，
，点所在正方形的边长为，
同理得：，点所在正方形的边长，
…,
∴点的横坐标为：，纵坐标为，
∴点的坐标为,)，
故答案为：,)．
45．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；再过点作轴的垂线交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，按此做法进行下去，的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理；先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，由此得到点的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】解：直线，点，过点作轴的垂线交直线于点，
∴，令，则，解得：，
∴，
∴，
以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点；
∴，则，点，
同理可得，，则，
此类推便可求出点的坐标为．
∴，
∴；
故答案为：．
46．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与x轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到x轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与几何的综合，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律．
先由直线方程求得直线与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三角形是前一个等边三角形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程．
【详解】如图，在直线上任取一点P，作轴，垂足为点Q，取的中点M．
设，即，
在中，，
∴，
∵点M是斜边的中点，
∴
∴是等边三角形．
∴，
∴
即．
由与x轴成角出发，即，
∴，
依题意，
∴是等边三角形．
同理：（n为正整数）均为等边三角形．
由与，得，
∴．则
由可得，
∴．
所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍．
∴
设
则
两式相减得：．
故答案为：．
47．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……都在x轴上，点，，……都在同一条直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，……的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案．
【详解】解：平面直角坐标系中的直线过点，，
函数表达式为．
，，，，……都是等腰直角三角形，且，
∴的纵坐标为1，
的纵坐标为，
的纵坐标为，
……
的纵坐标为，
把的纵坐标为代入中，
解得，
点的坐标是．
故答案为：
48．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上，则点的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论．
【详解】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：．
49．（23-24八年级·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．
【答案】 3
【分析】先根据题目中的已知条件求出点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为…，由此总结得出点的横坐标为，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点的横坐标为．
【详解】解：∵点，轴交直线于点B，
∴，
∴，即，
∵，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴，分别交直线和于，两点，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，；
以此类推，
，即，
∴点的横坐标为，
，即；
点的横坐标为…
∴，即．
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
50．（23-24八年级·四川成都·期中）正方形，，，按如图的方式放置，点，，和点，，分别在直线和轴上，已知点，，按此规律，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】首先求得直线的解析式，分别求得，，的坐标，可以得到一定的规律，再分别求得，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．本题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴正方形边长为1，正方形边长为2，
∴，，代入得: ，
解得：，
∴直线的解析式是：．
∵，横坐标为，纵坐标为
，横坐标为，纵坐标为
，横坐标为，纵坐标为
的横坐标为，纵坐标为
横坐标为，纵坐标为
横坐标为，纵坐标为
故的横坐标为，纵坐标为
故的坐标是，
故答案是：．
六、题型六：一次函数的性质压轴题，10题，难度五星
51．（23-24八年级·河南驻马店·期中）正方形，，，…按如图的方式放置，其中点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线和正方形的性质得出点的坐标，然后再推出点、、的坐标，……点的坐标是，即可得出答案．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过求出的坐标，找出规律是解题的关键．
【详解】解：直线，当时，，
的坐标为.
四边形为正方形，
的坐标为，的坐标为.
当时，，
的坐标为，
四边形为正方形，
的坐标为，的坐标为.
同理，可知：的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，
的坐标为（n为整数），
点的坐标是.
故选：B.
52．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）关于一次函数，，下列说法：
①函数与的图象关于y轴对称；
②若，则此关于x的方程有且仅有两个相等的实数根；
③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】画出图象，根据图象即可解答；
②将和代入中，令，根据二次函数的性质可知，所以，即，解得，即可解答；
③将和代入函数中，且函数的图象过点 ，进而求出，所以，则函数的图象必过一、三象限．
【详解】解：①一次函数，如下图所示：
，
可知函数与的图象关于y轴对称，故①正确；
②将和代入中，
得：，
整理得：，
令，
∵，，
∴是与x轴没有交点，且开口向上的抛物线，
∴，
，
整理得：，
解得：，
∴有且仅有两个相等的实数根，
故②正确；
③将和代入函数中，
得：，
∵函数的图象过点，
∴，
即，
∴，
∴函数的图象必过一、三象限；
故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图像，一元二次方程，二次函数，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键．
53．（22-23八年级·江苏泰州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据一次函数增减性，结合各选项条件逐项验证即可得到答案．
【详解】解：直线中，
随的增大而减小，
，
，
A、若，则，即与同号（同时为正或同时为负），
，
若取与同为负数，由不能确定的正负，
，为直线上的三个点，
，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意；
B、若，则，即与异号（一正一负），
，
，，由不能确定的正负，
，为直线上的三个点，
，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意；
C、若，则，即与同号（同时为正或同时为负），
，
若取与同为正数，由不能确定的正负，
，为直线上的三个点，
正负不能确定，正负不能确定，则无法判断符号，该选项不合题意；
D、若，则，即与异号（一正一负），
，
，，由确定的正负，
，为直线上的三个点，
，，则，该选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图像与性质，由题中条件判断出正负，结合一次函数增减性求解是解决问题的关键．
54．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，依题意得，，，进而得，则，由此可求出，再由△的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线，直线，得，，，则，，再由直线得，则，，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标．
【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示：
直线与轴的夹角为，点的坐标为，
，，
直线经过坐标原点，且与轴的夹角为，
，
，
，
，
，
直线，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：的面积，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
点的坐标为，
直线，直线，
，，，
，
由勾股定理得：，
直线，
在中，，则，
，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：的面积，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
点的坐标为，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，
当时，，，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标规律，涉及一次函数的图像，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图像，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，根据点，、，坐标的规律归纳总结出点的坐标是解决问题的难点．
55．（23-24八年级·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且直线与轴相交所成的锐角为，如图所示，在直线上，点，，，在轴正半轴上，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，则只由前个正方形所形成图形的周长和是 ．（用的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，根据图形，分别算出正方形，正方形，正方形，找到规律，即可求解，根据图形，找到规律是解题的关键．
【详解】解：∵点，
∴，
∴正方形的周长为；
∵直线与轴相交所成的锐角为，
∴，
∴正方形的周长为；
∴，
∴正方形的周长为；
∴第个正方形的周长为；
∴前个正方形所形成图形的周长和为：，
设，
则，
∴得，，
∴，
故答案为：．
56．（22-23八年级下·湖北武汉·期末）小明同学在研究函数（为常数）时，得到以下四个结论：①当时，随的增大而增大；②当时，有最小值0，没有最大值；③该函数的图象关于轴对称；④若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则．其中正确的结论是 ．（请填写序号）
【答案】①③④
【分析】由题意知，当时，，随的增大而减小，当时，，随的增大而增大，当时，，随的增大而减小，当时，，随的增大而增大，画出函数图象如图所示，然后对各选项进行判断求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，随的增大而减小，
当时，，随的增大而增大，
当时，，随的增大而减小，
当时，，随的增大而增大，
∴函数图象如下：
∴当时，随的增大而增大；①正确，故符合要求；
当时，有最大值，②错误，故不符合要求；
函数的图象关于轴对称，③正确，故符合要求；
当时，，
∴函数图象与轴的交点坐标为，
由图象可知，若该函数的图象与直线（为常数）至少有3个交点，则，④正确，故符合要求；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式．解题的关键在于正确的去绝对值得到函数的解析式．
57．（22-23八年级·福建漳州·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，点在第四象限，点在线段上．连接，，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点．
(1)求点，的坐标；
(2)设点，的纵坐标分别为，，当时，为定值，求的值；
(3)在（2）的条件下，分别过点，作，垂直于轴，垂足分别为点，，当时，求长方形周长的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，得以关于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出点，的坐标；
（2）确定的解析式为，表示出，再根据定值的条件即可得解；
（3）分①当时，②当时两种进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵直线交轴于点，交轴于点，
∴当时，得：，解得：，
当时，得：，
∴，；
（2）设的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴的解析式为，
∵点在线段上，过点作轴的垂线，交边于点，交折线段于点，且点，的纵坐标分别为，，，
∴，，
∴，
∵为定值，即为定值，
∴，
解得：；
（3）①当时，
（定长），在点运动到图中点，此时直线经过点，即，
∴长方形周长的最大值：，
②当时，
设的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴的解析式为，
∴，
∴长方形的周长为：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，长方形周长的最大值为：，
综上所述，长方形周长的最大值为．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数的解析式，两点之间的距离，长方形的周长，一次函数的图像与性质等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．
58．（22-23八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，直线（为常数）．
(1)当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积为______．
(2)当时，求图象的最高点与最低点的纵坐标的差；
(3)点的坐标为，点的坐标为，以为对角线作矩形，使矩形的边与坐标轴垂直，并且点在轴上．
①直线与矩形的对角线互相平行或垂直时，求的值；
②直接写出直线与矩形的边共有两个交点时的取值范围．
【答案】(1)8
(2)4
(3)①的值为或；②
【分析】（1）由，可得，如图1，当，，则，，当，，则，，根据，计算求解即可；
（2）由，可知，即随的增大而增大，当时，为图象的最高点的横坐标，则，当时，为图象的最低点的横坐标，则，根据，计算求解即可；
（3）①由题意知，分，两种情况求解：当时，如图2，由点的坐标为，点的坐标为，矩形，可得，，由（1）可知，直线与轴的夹角均为，当直线与矩形的对角线平行时，即，则，，即，计算求解即可；当直线与矩形的对角线垂直时，即，，，同理可得，；当时，如图3，求解过程同；②由（3）①可知，当在的上方，且时，直线与矩形的边有两个交点；由（2）可知，，，，则，，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
如图1，
当，，则，，
当，，则，，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
故答案为：8；
（2）解：∵，
∴，
∴随的增大而增大，
∴当时，为图象的最高点的横坐标，则，
当时，为图象的最低点的横坐标，则，
∵，
∴图象的最高点与最低点的纵坐标的差为4；
（3）①解：由题意知，分，两种情况求解：
当时，如图2，
∵点的坐标为，点的坐标为，矩形，
∴，，
由（1）可知，直线与轴的夹角均为，
当直线与矩形的对角线平行时，即，
∴，
∴，即，
解得，；
当直线与矩形的对角线垂直时，即，
∴，
∴，
同理可得，；
∴当时，；
当时，如图3，
同理可得，，
解得，，
∴当时，；
综上所述，的值为或；
②解：由（3）①可知，当在的上方，且时，直线与矩形的边有两个交点；
由（2）可知，，，，
∴，，
∴，
解得， ，
∴当时，直线与矩形的边共有两个交点．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点，一次函数的图象与性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
59．（22-23八年级下·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”．
(1)若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ；
(2)若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值；
(3)若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围．
【答案】(1)1，2
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即可；
（2）利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
【详解】（1）解：点是关于的正比例函数的点，
，
，
点到两坐标轴的距离之和等于，
点是关于的正比例函数的“阶和点”，
．
故答案为：；；
（2）设一次函数图象的“阶和点”为，则，，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
．
综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或；
（3）由题意得：，
，
关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
设为关于的一次函数的图象的“阶和点”，
，
当在第一象限时，，
，
，
，
，，
，符合题意，
当在第一象限时，；
当在第三象限时，，
，
，
，
，
，
；
当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
，
，
．
当在第四象限时，．
关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
以上三个条件中同时满足其中两个即可，
当满足不满足时，；
当满足不满足时，；
当满足不满足时，的值不存在，
综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
60．（22-23八年级下·山西忻州·期末）综合与探究
如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，一次函数与轴交于点，与轴交于点，且它们的图像交于点．
(1)求点与点的坐标．
(2)当时，求自变量的取值范围（直接写出结果）．
(3)在轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【分析】（1）由于与相交于点，可以求出与的中的，的值，进而确定与的函数解析式，根据一次函数与分别与轴相交于、两点，列出对应的方程，即可求出、两点坐标．
（2）通过观察与的函数图象，就能发现当自变量时，．
（3）要使，就要找到两个三角形共同的底，即为，设点到的距离是，点到的距离是，通过三角形面积公式的比较，得出，从而得到，最后得到点坐标．
【详解】（1）一次函数与一次函数的图像交于点，
，
解得：，
一次函数的表达式：，．
设点坐标为，点坐标为，
又一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，
，
解得：，
点坐标为，点坐标为．
（2）由函数图象可知，在点时，，
在点右侧，的图象在图象的上方，
即，自变量的取值范围是．
（3）如下图，以为底，设点到的距离是，点到的距离是，
，，
，
，
即点到的距离与点到的距离相等，
点的纵坐标为，
．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
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