2.正比例和反比例（课件）-六年级下册数学人教版(共69张PPT)

(共69张PPT)
4 比例
2.正比例和反比例
数学人教版六年级下册
第1课时 正比例
1.探索两种相关联的量的变化规律，理解正比例的意义，掌握两种相关联的量成正比例关系的条件。
2.能运用有关知识初步判断两种量是否成正比例关系。
3.进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象探索数学知识和规律的意识。
学习目标
【重点】
结合实际情境认识成正比例的量的特点，加深对正比例的量的理解。
【难点】
能根据正比例的意义判断两种相关联的量
是否成正比例关系。
看看谁答得又快又好。
课堂导入
已知路程和时间，怎样求速度？
路程÷时间＝速度
已知总价和数量，怎样求单价？
总价÷数量＝单价
已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？
工作总量÷工作时间＝工作效率
新知探究
教材第43页例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 …
根据上表,回答下面的问题。
1
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 …
（1）表中有哪两种量？
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 …
（2）总价是怎样随着数量的变化而变化的？
增加
增加
减少
减少
像总价和数量这样，一种量随着另一种量的变化而变化，这样的两种量称为两种相关联的量。
总价随着数量的增加（减少）而增加（减少）。
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 …
（3）相应的总价与数量的比分别是多少？比值是多少？
＝
3.5
＝
3.5
＝
3.5
……
比值一定
＝
3.5
＝
3.5
＝
3.5
＝
3.5
＝
3.5
单价一定
＝
单价
你能发现什么？
像总价和数量这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
上表中，总价和数量是成正比例的量，二者成正比例关系。
＝ k
（一定）
如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定）。你能用字母表示出正比例关系式吗？
你能举出生活中正比例关系的例子？
正方形的周长和边长……
1
圆柱的底面积一定，体积和高……
2
出油率一定，豆油的质量和大豆质量……
3
判定条件：两种量相关联；两种量中相对应的两个数的比值一定。
课堂练习
1.下表是小林家去年上半年每月用电量情况。
教材第47页“练习九”第1题
月份 1 2 3 4 5 6
用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150
电费/元 60 65 55 60 65 75
（1）分别写出各月电费与用电量的比，比较比值的大小。
＝
75
150
1
2
＝
65
130
1
2
＝
55
110
1
2
＝
60
120
1
2
1、4月份
2、5月份
3月份
6月份
比值相等
1.下表是小林家去年上半年每月用电量情况。
月份 1 2 3 4 5 6
用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150
电费/元 60 65 55 60 65 75
（2）说明这个比值表示的意义。
这个比值表示每千瓦时的电费。
1.下表是小林家去年上半年每月用电量情况。
月份 1 2 3 4 5 6
用电量/千瓦时 120 130 110 120 130 150
电费/元 60 65 55 60 65 75
（3）电费与相应的用电量成正比例关系吗？为什么？
成正比例关系，因为用电量变化，电费也随着变化，且电费与用电量这两种量中相对应的两个数的比值一定。
2.判断下面每题中的两种量是否成正比例关系。
（1）长方形的宽一定，面积和长的关系。
（2）每袋牛奶质量一定，牛奶总质量和袋数的关系。
（3）书的总页数一定，已读页数和未读页数的关系。
（4）方砖的面积一定，教室地板面积和方砖块数的关系。
是
否
面积÷长＝宽（一定）
总质量÷袋数＝每袋的质量（一定）
是
已读页数+未读页数＝总页数（一定）
地板面积÷方砖块数＝方砖面积（一定）
是
x 1 2 5 10 20
y 2.5 7.5 20 37.5
3.已知y与x成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。
5
3
8
25
15
50
12.5
教材第47页“练习九”第4题
比值一定
比值为2.5
4.一些人买同一种苹果,购买苹果的质量和应付的钱数如下。请把下表填写完整。
质量(千克) 10 9 8 7 6 5 4 3
总价（元） 30 27 24 21
18
15
12
9
总价÷质量＝单价（一定），
总价和质量成正比例关系。
表中两种量成正比例关系吗？
拓展提升
1.根据下表中底是6 cm的平行四边形的面积与高相对应的数据，判断它们是不是成正比例关系，并说明理由。
平行四边形的面积/cm2 6 12 18 24 30
平行四边形的高/cm 1 2 3 4 5
成正比例关系
从表中可以明确地看出，平行四边形的面积随高的变化而变化，平行四边形的面积与高的比值不变，所以当平行四边形的底一定时，平行四边形的面积与高成正比例关系。
请问总价与篮球的数量是不是成正比例关系, 如果成正比例关系, 在什么情况下呢
2.现在某体育用品店声称：如果买的篮球不超过50个，每个42元；如果买的篮球不少于50个，每个40元。
总价÷数量＝单价，当单价一定时，总价与数量成正比例关系。
买的篮球不超过50个，单价固定为每个42元；买的篮球不少于50个，单价固定为每个40元。
成正比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
课堂小结
判定两种量是不是成正比例关系的方法：
相关联的量
比值一定
1
2
＝k
（一定）
这节课你有什么收获？
4 比例
2.正比例和反比例
数学人教版六年级下册
第2课时 正比例图象
1.能用“描点法”画出正比例关系图象，初步认识正比例关系图象，进一步认识成正比例关系的量的变化规律。
2.能根据正比例关系图象解决相关简单问题。
学习目标
【重难点】认识正比例关系图象，能利用图象解决简单的问题。
判断下面每题中的两种量是不是成正比例关系，并说明理由。
课堂导入
每包书中册数相同，包数和总册数。
总册数÷包数＝每包书册数
和一定，加数和另一个加数。
成正比例关系
加数+加数＝和
不成比例关系
新知探究
教材第43页例1
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 …
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 …
表格中的数据能用图象表示出来吗？你有什么方法？
描点法
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
1
0
2
4
6
8
10
12
14
数量/m
49
42
35
28
21
14
7
总价/元
表中的数据还可以用图象表示。
0
2
4
6
8
10
12
14
数量/m
49
42
35
28
21
14
7
总价/元
根据图象回答下面的问题。
（1）从图象中你发现了什么？
教材第44页
正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线。
彩带的数量增加，总价也增加，总价和数量是两种相关联的量。
0
2
4
6
8
10
12
14
数量/m
49
42
35
28
21
14
7
总价/元
根据图象回答下面的问题。
（2）把数对（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并和上面的图象连起来再延长，你还能发现什么？
教材第44页
这两点也在这条射线上。
0
2
4
6
8
10
12
14
数量/m
49
42
35
28
21
14
7
总价/元
根据图象回答下面的问题。
（3）不计算，根据图象判断，如果买9 m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？
教材第44页
31.5元
14 m
0
2
4
6
8
10
12
14
数量/m
49
42
35
28
21
14
7
总价/元
根据图象回答下面的问题。
（4）小明买的彩带的米数是小丽的2倍，他花的钱是小丽的几倍？
教材第44页
28÷14＝2
假设小丽买了4 m，则小明买了8 m。
他花的钱是小丽的2倍。
＝
小丽花的钱数
小丽买的米数
小明花的钱数
小明买的米数
彩带的单价一定，彩带的总价和数量成正比例关系。
比例的
基本性质
＝
小明买的米数
小丽买的米数
小明花的钱数
小丽花的钱数
由小明买的彩带的米数是小丽的2倍可知，小明花的钱也是小丽的2倍。
课堂练习
1.一辆汽车行驶的时间和路程如下表。
教材第44页“做一做”
（1）写出几组路程与相对应的时间的比，并比较比值的大小。
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/km 80 160 240 320 400 480
＝
160
2
80
＝
240
30
80
＝
80
1
80
比值相等，都是80。
1.一辆汽车行驶的时间和路程如下表。
教材第44页“做一做”
（2）说一说这个比值表示什么。
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/km 80 160 240 320 400 480
比值表示汽车的行驶速度。
＝
路程
时间
速度
1.一辆汽车行驶的时间和路程如下表。
教材第44页“做一做”
（3）汽车行驶的路程与时间成正比例关系吗？为什么？
时间/时 1 2 3 4 5 6
路程/km 80 160 240 320 400 480
路程与时间成正比例关系，因为速度一定，即路程和时间这两种量中相对应的两个数的比值一定。
（4）在图中描出表示路程和相对应时间的点，然后把它们按顺序连起来。估计一下行驶120 km大约要用多长时间。
0
1
2
3
4
5
6
时间/时
480
400
320
240
160
80
路程/km
1.5小时
教材第44页“做一做”
2.下面是某种汽车行驶路程和耗油量的对应数值表。
（1）该汽车的耗油量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？
行驶路程/km 15 30 45 75
耗油量/L 2 4 6 10
教材第47页“练习九”第3题
答：该汽车的耗油量与行驶路程成正比例关系。因为
＝
耗油量
行驶路程
行驶1 km的耗油量（一定）。
（2）下图是表示该汽车行驶路程与相应耗油量关系的图象，说一说它有什么特点。
5
10
15
路程/km
10
9
8
7
6
5
耗油量/L
4
3
2
1
0
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
图象是一条从（0，0）出发的射线。
（3）利用图象估计一下，该汽车行驶 55 km的耗油量是多少？
5
10
15
路程/km
10
9
8
7
6
5
耗油量/L
4
3
2
1
0
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
约7.3 L。
3.同一时间、同一地点测得3棵树的树高及其影长如下表。
树高/m 2 3 6
影长/m 1.6 2.4 4.8
（1）在右图中描出表示树高与对应影长的点，然后把它们连起来并向两边延长，观察图象的特点。
教材第48页“练习九”第5题
0
1
2
3
4
5
6
树高/m
4.8
4.0
3.2
2.4
1.6
0.8
影长/m
7
图象是一条从（0，0）出发的射线。
5.6
3.同一时间、同一地点测得3棵树的树高及其影长如下表。
树高/m 2 3 6
影长/m 1.6 2.4 4.8
（2）影长与树高成正比例关系吗？你是依据什么作出判断的？
教材第48页“练习九”第5题
0
1
2
3
4
5
6
树高/m
4.8
4.0
3.2
2.4
1.6
0.8
影长/m
7
答：成正比例关系，因为影长和树高的比值一定。
5.6
4.已知一种铅笔每支售价为0.5元，请把下表填写完整。
数量/支 0 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 0 0.5 1
（1）把铅笔的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。
1.5
2
3
…
2.5
教材第48页“练习九”第7题
0
1
2
3
4
5
6
数量/支
3
2.5
2
1.5
1
0.5
总价/元
7
3.5
（2）买7支铅笔需要多少钱？
教材第48页“练习九”第7题
0
1
2
3
4
5
6
数量/支
3
3.5
2
1.5
1
0.5
总价/元
7
3.5元
4.已知一种铅笔每支售价为0.5元，请把下表填写完整。
数量/支 0 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 0 0.5 1
1.5
2
3
…
2.5
2.5
（3）小丽买铅笔花的钱是小明的4倍，小丽买的铅笔支数是小明的几倍？
教材第48页“练习九”第7题
0
1
2
3
4
5
6
数量/支
3
2.5
2
1.5
1
0.5
总价/元
7
答：铅笔的单价一定，所以小丽买的铅笔支数是小明的4倍。
4.已知一种铅笔每支售价为0.5元，请把下表填写完整。
数量/支 0 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 0 0.5 1
1.5
2
3
…
2.5
3.5
拓展提升
完成表格,画图判断哪一张表格的变化情况成正比例关系？为什么？
正方形边长/cm 正方形
面积/cm2
1 1
2
3
4
正方形 边长/cm 正方形
周长/cm
1 4
2
3
4
8
12
16
4
9
16
（2）
（1）
1
2
3
4
2
6
4
10
8
12
14
16
0
图象不是射线，不成正比例关系。
正方形边长/cm 正方形
面积/cm2
1 1
2
3
4
4
9
16
（1）
面积/cm2
边长/cm
1
2
3
4
2
6
4
10
8
12
14
16
0
图象是经过（0，0）的射线，成正比例关系。
边长/cm
周长/cm
正方形 边长/cm 正方形
周长/cm
1 4
2
3
4
8
12
16
（2）
课堂小结
正比例关系图象的特点
1.是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，除（0，0）外，这条射线上所有点所对应的两个数的比值都相等。
2.从图象中可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
这节课你有什么收获？
4 比例
2.正比例和反比例
数学人教版六年级下册
第3课时 反比例
1.探索成反比例关系的量之间的变化规律，理解反比例的意义。
2.掌握两种相关联的量成反比例关系的条件，能正确判断两种量是否成反比例关系。
3.体会变量之间的关系，体会函数思想和模型思想。
学习目标
【重点】
理解反比例的意义。
【难点】
正确判断两种量是否成反比例关系。
比值一定的两个相关联的量成正比例关系。
怎样判断两种相关联的量是否成正比例关系？用字母怎样表示？
课堂导入
k
（一定）
单价、数量和总价之间有怎样的关系？在什么条件下，两种量成正比例关系？
如果总价一定，单价和数量的变化有什么规律？这两种量又存在什么关系？
单价一定，总价和数量成正比例；
数量一定，总价和单价成正比例。
新知探究
教材第45页例2
把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器，容器的底面积与水的高度的变化情况如下表。
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
（1）表中有哪两种量？
（2）水的高度是怎样随着容器底面积的大小变化而变化的？
增大
减小
减小
增大
水的高度随容器底面积的增大（减小）而减小（增大）。
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
（3）相对应的容器的底面积与水的高度的乘积分别是多少？
乘积 300 300 300 300 300 …
底面积×高度＝体积（一定）
乘积300，实际就是倒入容器的水的体积。
像容器的底面积与水的高度这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
上面的实验中，容器的底面积与水的高度是成反比例的量，二者成反比例关系。
xy＝ k
（一定）
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定）。你能用字母表示出反比例关系式吗？
你能举出生活中反比例关系的例子吗？
总价一定，单价与数量……
1
长方形的面积一定，长与宽……
2
做操总人数一定，每排站的人数与排数……
3
判定条件：两种量相关联；两种量中相对应的两个数的乘积一定。
课堂练习
教材第46页“做一做”
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50
运货的天数/天 1 2 3 4 5 6
它们是相关联的量。
1.运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的乘积，并比较乘积的大小，说一说这个乘积表示什么。
每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50
运货的天数/天 1 2 3 4 5 6
300×1＝300
150×2＝300
100×3＝300
75×4＝300
60×5＝300
50×6＝300
积相等
表示货物的总质量。
1.运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。
（3）运货的天数与每天运的质量成反比例关系吗？为什么？
每天运的质量×运货的
天数＝货物的总质量（一定）。
答：成反比例关系，因为
每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50
运货的天数/天 1 2 3 4 5 6
1.运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。
2.判断下面的两种量是不是成反比例关系，并说明理由。
（1）煤的总量一定，每天的烧煤量和能够烧的天数。
每天的烧煤量×能够烧的天数＝煤的总量（一定）
成反比例关系
（2）种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。
每公顷的播种量×播种的公顷数＝种子总量（一定）
成反比例关系
2.判断下面的两种量是不是成反比例关系，并说明理由。
（3）李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间。
骑自行车的速度×所需的时间＝路程（一定）
成反比例关系
（4）小明做12道数学题，做完的题和没有做的题。
做完的题＋没有做的题＝12道数学题（一定）
不成比例
是和一定，不是积一定
3.有600毫升果汁，可平均分成若干杯。请把下表填完整。
分的杯数/杯 6 5 4 3 2 …
每杯的果汁量/mL 100 …
120
150
200
300
（1）表中有哪两种量？
（2）分的杯数是怎样随着每杯的果汁量变化的？
答：每杯的果汁量增加，分的杯数反而减少；
每杯的果汁量减少，分的杯数反而增加。
3.有600毫升果汁，可平均分成若干杯。请把下表填完整。
分的杯数/杯 6 5 4 3 2 …
每杯的果汁量/mL 100 …
120
150
200
300
（3）它们成什么关系？为什么？
答：它们成反比例关系，因为每杯的果汁量和分的杯数的积是一定的。
你能将表格中的数据用图象表示出来吗？试一试。
拓展提升
容器的底面积/cm 10 15 20 30 60 …
水的高度/cm 30 20 15 10 5 …
底面积/cm2
60
高度/cm
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
60
55
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
反比例关系也可以用图象来表示。如右面的图象，反比例关系的图象是光滑的曲线。
底面积/cm2
60
高度/cm
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
60
55
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
由右面的图象，你能看出容器的底面积分别是40 cm2、50 cm2、55 cm2时，水的高度分别是多少吗？
7.5 cm
6 cm
5 cm多一点
课堂小结
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
判定两种量是不是成反比例关系的方法：
相关联的量
乘积一定
1
2
k
（一定）
这节课你有什么收获？
Thank you!