8 数学广角——找次品（课件）-五年级下册数学人教版(共54张PPT)
文档属性
| 名称 | 8 数学广角——找次品（课件）-五年级下册数学人教版(共54张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-04 20:15:34 | ||
图片预览
文档简介
(共54张PPT)
8 数学广角——找次品
第1课时 找次品问题的基本解决策略和方法
数学人教版五年级下册
1. 初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。
2. 经历观察、猜测、试验、推理等活动，探索解决问题的策略，渗透优化思想，感受解决问题策略的多样性，培养观察、分析、推理的能力。
3. 经历解决简单问题的过程，初步培养应用意识和解决实际问题的能力。
学习目标
【重点】
寻找用天平原理找次品的最优方案。
【难点】
经历找次品的过程，掌握找次品的方法，体验最优方案的原理。
课堂导入
A
A
B
B
＞
＜
=
天平两边平衡说明两边的物体同样重，哪边的托盘向下，就说明那边的物体稍重，反之则稍轻。
填一填，说一说。
新知探究
说明这瓶稍轻一点。
有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？
我用手掂了掂，掂不出来。
可以用天平称一称。
像这样与标准物品不同的物品通常称为次品。
那就用天平称一称吧
方法一
一瓶一瓶地称，最轻的就是少了的那一瓶。
最轻的这瓶是次品。
要称三次。
那就用天平称一称吧
天平平衡了，剩下的这瓶就是次品。
方法二
利用天平平衡原理称量推理。
次品
那就用天平称一称吧
天平不平衡，托盘向上的这瓶就是次品。
方法二
利用天平平衡原理称量推理。
你能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？
次品
用直观方式表示找次品的过程
我们用 代表钙片，
3瓶钙片可表示为
1
2
3
平衡
不平衡
，轻的是次品。
需要称____次。
1
可以这样记录。
1
2
， 是次品。
3
回顾小结。
次品
次品
(1)用天平找次品，并不一定要通过天平称出具体质量，利用天平的平衡原理，通过推理也能找出次品。
回顾小结。
次品
(2)用天平找次品，并不需要称量所有物品，关键是利用天平的平衡原理，判断次品是否出现在托盘上。
次品
回顾小结。
1
2
3
平衡
不平衡
，轻的是次品。
需要称____次。
1
1
2
， 是次品。
3
(3)用直观图示的方式可以表示找次品的过程，说明解决找次品问题并不真的需要用天平来称量。关键是利用天平的平衡原理，通过推理来确定次品。
需要称____次。
回顾小结。
1
2
3
平衡
不平衡
，轻的是次品。
1
2
， 是次品。
3
(4)从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。也就是通过推理，确定次品是三个中的哪一个。
1
课堂练习
1.
妈妈买了3颗同样大小、同样成色的珍珠，其中有一颗略轻一些。你能根据下面的示意图帮她挑出来吗？
看图可知：天平不平衡，次品在高一端的托盘上。所以2号珍珠就是所要找的那一颗。
1
2
3
答：2号珍珠略轻一些。
2. 我会判：次品（稍重）在哪边？在□里画“√”。
左□
右□
左□
右□
左□
右□
√
√
√
一位包装工在包装糖果时出现一点失误，送检的 3 包糖果中出现一包次品（净含量不合要求），但不知是多装了还是少装了。你能用天平找出这包次品吗？
拓展提升
我们用 代表糖果，
3包糖果可表示为
1
2
3
平衡
不平衡
1
2
， 是次品。
3
1
3
平衡
不平衡
， 是次品。
2
， 是次品。
1
至少需要称____次。
2
课堂小结
这节课你有什么收获？
1. 用天平找次品，并不一定要通过天平称出具体质量，利用天平的平衡原理，通过推理也能找出次品。
2. 从 3 个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。
8 数学广角——找次品
第2课时 稍复杂的找次品问题
数学人教版五年级下册
1. 通过探究，进一步掌握较复杂的找次品的方法，了解稍复杂的找次品问题的解题策略。
2. 运用数学的方法解决生活中的简单问题，培养观察、分析、概括和推理能力。
3. 体会解决问题策略的多样性，初步培养应用意识和解决实际问题的能力，渗透优化思想。
学习目标
【重点】
进一步掌握找次品的方法，运用数学
的方法解决生活中的简单问题。
【难点】
灵活运用找次品的方法解决类似问题。
课堂导入
有3个零件，其中一个是次品，质量稍重。根据下图所示称的过程，可以确定次品是( )号零件。
从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次(可假想)，然后根据天平称量的结果(平衡还是不平衡)来判断出次品是否在托盘上。
1
2
3
②
新知探究
教材第112页例2
8个零件里有1个次品(次品重一些)。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
“至少称几次能保证……”是什么意思？
是指肯定能找出次品的最少次数。
对，“至少”是指在保证一定能找出次品的各种方法中，称量次数最少的那种方案，不是“运气好”情况下称量的次数。
新知探究
8个零件里有1个次品(次品重一些)。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
可以这样记录。
用 表示零件。
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
平衡，再各放……
不平衡，重的……
小组合作：怎样表示找次品的过程？
合作要求
1.先各自画画示意图，边画边想有哪些不同的方法。
2.组内交流，说说自己的方法和发现。
3.归纳小结，准备全班汇报。
汇报交流。
方法一
把8个零件平均分成4份，每份2个，逐份称量。
不平衡，重的是次品
平衡，再称下一份
不平衡，重的是次品
平衡，再称下一份
不平衡，重的是次品
平衡，再称下一份
不平衡，重的是次品
1
2
3
4
5
6
7
8
1次
2次
3次
4次
结果：至少称 4 次能保证找出次品。
方法二
把8个零件平均分成2份，每份4个，每次称1份，在天平两端各放2个。
1
2
3
4
5
6
7
8
平衡，再称下一份
不平衡，重的一端的2个再称1次
不平衡，重的一端的2个再称1次
重的是次品
重的是次品
结果：至少称 3 次能保证找出次品。
1次
2次
3次
2次
方法三
把8个零件平均分成2份，每份4个，天平两端各放4个。
1
2
3
4
5
6
7
8
不平衡，重的一端的4个再称1次，在两端各放2个。
不平衡，重的一端的2个再称1次，在两端各放1个。
重的是次品
结果：至少称 3 次能保证找出次品。
1次
2次
3次
方法四
把8个零件分成3份：3个、3个、2个，先在天平两端各放3个。
1
2
3
4
5
6
7
8
平衡，次品在另外2个当中。
结果：至少称 2 次能保证找出次品。
不平衡，次品就在重的3个当中。
重的是次品
平衡，剩下的那个是次品。
不平衡，重的是次品。
1次
2次
2次
将称量的情况填入下表。
每次每边放的个数 分成的份数 每份的数量 至少要称的次数
1
4
4
2
2
3
4
3
2
3
3
2
(1)表中哪种方法需要称的次数最少？
把8个零件分成3份(3, 3 ,2)找次品时，需要称的次数最少。
(2,2,2,2)
(4,4)
(4,4)
(3,3,2)
(2)如果9个零件中有一个次品(次品重一些)，至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？
方法一
把9个零件平均分成3份，每份3个，先在天平两端各放3个称一次。
9
(
3
3
,3)
平衡，次品在另外3个当中。
不平衡，次品就在重的3个当中。
(
1
1
,1)
2次
(
1
1
,1)
2次
至少称2次
(2)如果9个零件中有一个次品(次品重一些)，至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？
方法二
把9个零件分成3份(4,4,1)，先在天平两端各放4个称一次。
9
(
4
4
,1)
平衡，另外1个是次品。
不平衡，称重的一端的4个。
1次
(
2
2
,1)
3次
至少称3次
(
1
1
)
不平衡，称重的一端的2个。
平衡，另外1个是次品。
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
1
4份(2,2,2,2)
4
2
2份(4,4)
3
4
3
2份(4,4)
3
3份(3,3,2)
2
3
3份(3,3,3)
2
4
3份(4,4,1)
3
(1)你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品(次品重一些)，看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。
对比从8个零件和9个零件中找次品的过程，发现：分成3份，且每份的数量尽可能相等找次品时，需要称的次数最少。
10
(
3
3
,4)
平衡，次品在另外4个当中。
不平衡，次品就在重的3个当中。
(
1
1
,2)
3次
(
1
1
,1)
2次
平衡，次品在另外2个当中。
(
1
1
)
不平衡，重的是次品
11
(
4
4
,3)
平衡，次品在另外3个当中。
不平衡，次品就在重的4个当中。
(
1
1
,1)
2次
(
1
1
,2)
3次
平衡，次品在另外2个当中。
(
1
1
)
不平衡，重的是次品
2次
2次
验证规律。
回顾小结。
利用天平找次品的最优策略：
(1)把待测的物品分成3份；
(2)要分得尽量平均。
能够平均分的就平均分，不能平均分的，也应使最多的一份和最少的一份只相差1。这样能保证找出次品时称量的次数最少。
课堂练习
教材第114页第2题
1.
有28瓶水，其中27瓶质量相同，另外1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
28瓶水
(
9
9
,10)
平衡，盐水在另外10瓶当中。
不平衡，盐水在重的9瓶当中。
至少称3次找出盐水
至少称2次找出盐水
4次
3次
至少称4次
依据上面的结果。
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
2. 填一填。
(1)用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？
待测物品个数 6 12 19 25
分组 (2, 2, 2) ( , , ) ( , , ) ( , , )
(2)有5个零件，其中有1个是次品，质量稍重，根据如图所示可以推断出( )号零件一定是正品。
5
1
2
3
4
4
4
4
6
6
7
8
8
9
③
④
⑤
3. 1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果来？
接着把找的过程表示出来。
称剩下的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
称轻的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
答：至少称3次能保证找出这袋糖果来。
教材第114页第4题
有3筒网球，每筒12个，其中有1个次品比正品重一些。若用没有砝码的天平只称3次，找出这个次品，能保证找到吗？
拓展提升
思路引导
可分两步思考：
第一步：找到次品在哪一筒里。
根据3个物品中找1个次品的方法，称1次可确定次品在哪一筒里。
平衡，剩下的那个是次品。
不平衡，重的是次品。
根据12个物品中找1个次品的方法，至少称3次可确定次品是哪一个。
有3筒网球，每筒12个，其中有1个次品比正品重一些。若用没有砝码的天平只称3次，找出这个次品，能保证找到吗？
拓展提升
思路引导
可分两步思考：
第二步：找到次品网球是哪个。
12个网球
（4, 4, 4）
平衡，称剩下的4个(1, 1, 2)。
平衡，称剩下的2个(1, 1)。
不平衡，重的是次品。
不平衡，称重的4个(1, 1, 2)。
平衡，称剩下的2个(1, 1)。
不平衡，重的是次品。
有3筒网球，每筒12个，其中有1个次品比正品重一些。若用没有砝码的天平只称3次，找出这个次品，能保证找到吗？
拓展提升
规范解答
根据3个物品中找1个次品的方法，称1次可确定次品在哪一筒里；
根据12个物品中找1个次品的方法，至少称3次可确定次品是哪一个。
所以，至少需要称4次，称3次不能保证找到这个次品。
课堂小结
这节课你有什么收获？
利用天平找次品的最优策略：
(1)把待测物品分成3份，要尽量分得平均，不能够平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1 。
(2)用图形、符号等直观方式表示找次品的过程简单、明了。
8 数学广角——找次品
练习
数学人教版五年级下册
重点回顾
想一想，圈一圈。
1. 有 3 包饼干，其中一包少了几片。下面是 3 位同学画的称的结果图示，你能分别圈出次品在哪吗？
甲同学
乙同学
丙同学
从 3 个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。
2. 有 6 袋食盐，其中一袋的净含量超了10克。下面是 一个同学找它的方法，请你圈出括号里正确的答案。
1
2
3
4
平衡
5
6
这次一定(平衡，不平衡)
(轻的，重的)一端是次品
不平衡
1
2
这次一定(平衡，不平衡)
(轻的，重的)一端是次品
至少称( 1，2 )次，可以保证找到那袋超重的食盐。
利用天平找次品的最优策略：
把待测物品分成3份，要尽量分得平均，不能够平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1 。
练习巩固
（教材第114页练习二十七）
1. 5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
2
1
平衡。
不平衡，轻的是次品。
4
3
平衡，次品是 。
不平衡，轻的是次品。
至少要称 次。
5
2
教材第114页第1题
28瓶
(
14
14
)
不平衡，称较重的14瓶。
3次
(
7
7
)
平衡，剩下的是盐水
(
1
1
，1)
不平衡，称较重的3瓶
4次
教材第114页第2题
不平衡，称较重的7瓶。
(
3
3
,1)
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
2.有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
3. 有 15 盒饼干，其中 14 盒质量相同，另有 1 盒少了几块。假如用天平称，至少称几次能保证找出这盒饼干？
15盒
(
5
5
,5)
平衡，称另外的5盒。
不平衡，称轻的的5盒。
(
2
2
,1)
2次
3次
平衡，剩下的是次品
(
1
1
)
不平衡，称轻的2盒
2次
(
2
2
,1)
平衡，剩下的是次品
(
1
1
)
不平衡，称轻的2盒
3次
答：至少称3次能保证找出这盒饼干。
教材第114页第3题
4. 1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
称剩下的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
称轻的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
教材第114页第4题
5. 有 3 袋白糖，其中 2 袋每袋 500 g，另一袋不是 500 g，但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗？
3袋白糖
(①,②,③)
思路引导
(
①
②
,③)
平衡，③号是次品。
不平衡，①②中有一袋是次品。
(
①
)
③
③号是轻还是重。
(
①
)
③
平衡，②号是次品。
不平衡，①是次品。
也可
取下①
教材第114页第5题
5. 有 3 袋白糖，其中 2 袋每袋 500 g，另一袋不是 500 g，但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗？
规范解答
在天平两边各放1袋白糖：如果天平平衡，那么剩下的那袋是次品。(从天平上取下一袋换上次品再称一次，就能判断次品是轻还是重)。如果天平不平衡，那么这两袋中一定有1袋是次品。可取下其中一袋，把剩下的那袋放上天平再称一次，如果天平平衡，那么取下的那袋是次品，如果天平不平衡，那么留下的那袋是次品。
教材第114页第6题
拓展提升
1. 有四个零件，其中三个质量都是60 g，另一个质量不是60 g，但不知道比60 g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以找出这个不合格的零件？
思路引导
用甲、乙、丙、丁分别表示这四个零件。
甲
乙
平衡，取下一个，放上丙或丁再称一次
甲
丙
平衡，丁是次品
不平衡，丙是次品
不平衡，取下一个，放上丙或丁再称一次
甲
丙
平衡，乙是次品
不平衡，甲是次品
规范解答
至少称 2 次可以找出这个不合格的零件。
2. 一架天平只有5 g和30 g两个砝码，要把300 g白糖平均分成3份，至少要称几次？写出称的方法。
思路引导
解题关键：称出的实物也可以作为“砝码”来使用。
35g
30g
5g
65g
30g
35g
5g
65g
30g
35g
100g
5g
第1次
第2次
第3次
至少称 3 次。第 1 次，用 5 g 和 30 g 的砝码称出35 g白糖；第 2 次，天平的一边放 30 g 的砝码和 35 g 白糖，称出 65 g 白糖，把两次称出的白糖放在一起就是 100 g ；第 3 次，天平的一边放已称出的 100 g 白糖，称出第二个 100 g 白糖，剩下的白糖也是 100 g。
35g
30g
5g
65g
30g
35g
5g
65g
30g
35g
100g
5g
规范解答
Thank you!
8 数学广角——找次品
第1课时 找次品问题的基本解决策略和方法
数学人教版五年级下册
1. 初步理解找次品的含义，明确找次品的基本思路，探索找次品的一般方法。
2. 经历观察、猜测、试验、推理等活动，探索解决问题的策略，渗透优化思想，感受解决问题策略的多样性，培养观察、分析、推理的能力。
3. 经历解决简单问题的过程，初步培养应用意识和解决实际问题的能力。
学习目标
【重点】
寻找用天平原理找次品的最优方案。
【难点】
经历找次品的过程，掌握找次品的方法，体验最优方案的原理。
课堂导入
A
A
B
B
＞
＜
=
天平两边平衡说明两边的物体同样重，哪边的托盘向下，就说明那边的物体稍重，反之则稍轻。
填一填，说一说。
新知探究
说明这瓶稍轻一点。
有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。你能设法把它找出来吗？
我用手掂了掂，掂不出来。
可以用天平称一称。
像这样与标准物品不同的物品通常称为次品。
那就用天平称一称吧
方法一
一瓶一瓶地称，最轻的就是少了的那一瓶。
最轻的这瓶是次品。
要称三次。
那就用天平称一称吧
天平平衡了，剩下的这瓶就是次品。
方法二
利用天平平衡原理称量推理。
次品
那就用天平称一称吧
天平不平衡，托盘向上的这瓶就是次品。
方法二
利用天平平衡原理称量推理。
你能想办法把用天平找次品的过程，清楚地表示出来吗？
次品
用直观方式表示找次品的过程
我们用 代表钙片，
3瓶钙片可表示为
1
2
3
平衡
不平衡
，轻的是次品。
需要称____次。
1
可以这样记录。
1
2
， 是次品。
3
回顾小结。
次品
次品
(1)用天平找次品，并不一定要通过天平称出具体质量，利用天平的平衡原理，通过推理也能找出次品。
回顾小结。
次品
(2)用天平找次品，并不需要称量所有物品，关键是利用天平的平衡原理，判断次品是否出现在托盘上。
次品
回顾小结。
1
2
3
平衡
不平衡
，轻的是次品。
需要称____次。
1
1
2
， 是次品。
3
(3)用直观图示的方式可以表示找次品的过程，说明解决找次品问题并不真的需要用天平来称量。关键是利用天平的平衡原理，通过推理来确定次品。
需要称____次。
回顾小结。
1
2
3
平衡
不平衡
，轻的是次品。
1
2
， 是次品。
3
(4)从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。也就是通过推理，确定次品是三个中的哪一个。
1
课堂练习
1.
妈妈买了3颗同样大小、同样成色的珍珠，其中有一颗略轻一些。你能根据下面的示意图帮她挑出来吗？
看图可知：天平不平衡，次品在高一端的托盘上。所以2号珍珠就是所要找的那一颗。
1
2
3
答：2号珍珠略轻一些。
2. 我会判：次品（稍重）在哪边？在□里画“√”。
左□
右□
左□
右□
左□
右□
√
√
√
一位包装工在包装糖果时出现一点失误，送检的 3 包糖果中出现一包次品（净含量不合要求），但不知是多装了还是少装了。你能用天平找出这包次品吗？
拓展提升
我们用 代表糖果，
3包糖果可表示为
1
2
3
平衡
不平衡
1
2
， 是次品。
3
1
3
平衡
不平衡
， 是次品。
2
， 是次品。
1
至少需要称____次。
2
课堂小结
这节课你有什么收获？
1. 用天平找次品，并不一定要通过天平称出具体质量，利用天平的平衡原理，通过推理也能找出次品。
2. 从 3 个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。
8 数学广角——找次品
第2课时 稍复杂的找次品问题
数学人教版五年级下册
1. 通过探究，进一步掌握较复杂的找次品的方法，了解稍复杂的找次品问题的解题策略。
2. 运用数学的方法解决生活中的简单问题，培养观察、分析、概括和推理能力。
3. 体会解决问题策略的多样性，初步培养应用意识和解决实际问题的能力，渗透优化思想。
学习目标
【重点】
进一步掌握找次品的方法，运用数学
的方法解决生活中的简单问题。
【难点】
灵活运用找次品的方法解决类似问题。
课堂导入
有3个零件，其中一个是次品，质量稍重。根据下图所示称的过程，可以确定次品是( )号零件。
从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次(可假想)，然后根据天平称量的结果(平衡还是不平衡)来判断出次品是否在托盘上。
1
2
3
②
新知探究
教材第112页例2
8个零件里有1个次品(次品重一些)。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
“至少称几次能保证……”是什么意思？
是指肯定能找出次品的最少次数。
对，“至少”是指在保证一定能找出次品的各种方法中，称量次数最少的那种方案，不是“运气好”情况下称量的次数。
新知探究
8个零件里有1个次品(次品重一些)。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？
可以这样记录。
用 表示零件。
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
平衡，再各放……
不平衡，重的……
小组合作：怎样表示找次品的过程？
合作要求
1.先各自画画示意图，边画边想有哪些不同的方法。
2.组内交流，说说自己的方法和发现。
3.归纳小结，准备全班汇报。
汇报交流。
方法一
把8个零件平均分成4份，每份2个，逐份称量。
不平衡，重的是次品
平衡，再称下一份
不平衡，重的是次品
平衡，再称下一份
不平衡，重的是次品
平衡，再称下一份
不平衡，重的是次品
1
2
3
4
5
6
7
8
1次
2次
3次
4次
结果：至少称 4 次能保证找出次品。
方法二
把8个零件平均分成2份，每份4个，每次称1份，在天平两端各放2个。
1
2
3
4
5
6
7
8
平衡，再称下一份
不平衡，重的一端的2个再称1次
不平衡，重的一端的2个再称1次
重的是次品
重的是次品
结果：至少称 3 次能保证找出次品。
1次
2次
3次
2次
方法三
把8个零件平均分成2份，每份4个，天平两端各放4个。
1
2
3
4
5
6
7
8
不平衡，重的一端的4个再称1次，在两端各放2个。
不平衡，重的一端的2个再称1次，在两端各放1个。
重的是次品
结果：至少称 3 次能保证找出次品。
1次
2次
3次
方法四
把8个零件分成3份：3个、3个、2个，先在天平两端各放3个。
1
2
3
4
5
6
7
8
平衡，次品在另外2个当中。
结果：至少称 2 次能保证找出次品。
不平衡，次品就在重的3个当中。
重的是次品
平衡，剩下的那个是次品。
不平衡，重的是次品。
1次
2次
2次
将称量的情况填入下表。
每次每边放的个数 分成的份数 每份的数量 至少要称的次数
1
4
4
2
2
3
4
3
2
3
3
2
(1)表中哪种方法需要称的次数最少？
把8个零件分成3份(3, 3 ,2)找次品时，需要称的次数最少。
(2,2,2,2)
(4,4)
(4,4)
(3,3,2)
(2)如果9个零件中有一个次品(次品重一些)，至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？
方法一
把9个零件平均分成3份，每份3个，先在天平两端各放3个称一次。
9
(
3
3
,3)
平衡，次品在另外3个当中。
不平衡，次品就在重的3个当中。
(
1
1
,1)
2次
(
1
1
,1)
2次
至少称2次
(2)如果9个零件中有一个次品(次品重一些)，至少称几次能保证找出次品？你是怎么称的？
方法二
把9个零件分成3份(4,4,1)，先在天平两端各放4个称一次。
9
(
4
4
,1)
平衡，另外1个是次品。
不平衡，称重的一端的4个。
1次
(
2
2
,1)
3次
至少称3次
(
1
1
)
不平衡，称重的一端的2个。
平衡，另外1个是次品。
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
每次每边放的个数 分成的份数 至少要称的次数
1
4份(2,2,2,2)
4
2
2份(4,4)
3
4
3
2份(4,4)
3
3份(3,3,2)
2
3
3份(3,3,3)
2
4
3份(4,4,1)
3
(1)你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次品(次品重一些)，看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。
对比从8个零件和9个零件中找次品的过程，发现：分成3份，且每份的数量尽可能相等找次品时，需要称的次数最少。
10
(
3
3
,4)
平衡，次品在另外4个当中。
不平衡，次品就在重的3个当中。
(
1
1
,2)
3次
(
1
1
,1)
2次
平衡，次品在另外2个当中。
(
1
1
)
不平衡，重的是次品
11
(
4
4
,3)
平衡，次品在另外3个当中。
不平衡，次品就在重的4个当中。
(
1
1
,1)
2次
(
1
1
,2)
3次
平衡，次品在另外2个当中。
(
1
1
)
不平衡，重的是次品
2次
2次
验证规律。
回顾小结。
利用天平找次品的最优策略：
(1)把待测的物品分成3份；
(2)要分得尽量平均。
能够平均分的就平均分，不能平均分的，也应使最多的一份和最少的一份只相差1。这样能保证找出次品时称量的次数最少。
课堂练习
教材第114页第2题
1.
有28瓶水，其中27瓶质量相同，另外1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
28瓶水
(
9
9
,10)
平衡，盐水在另外10瓶当中。
不平衡，盐水在重的9瓶当中。
至少称3次找出盐水
至少称2次找出盐水
4次
3次
至少称4次
依据上面的结果。
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
2. 填一填。
(1)用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？
待测物品个数 6 12 19 25
分组 (2, 2, 2) ( , , ) ( , , ) ( , , )
(2)有5个零件，其中有1个是次品，质量稍重，根据如图所示可以推断出( )号零件一定是正品。
5
1
2
3
4
4
4
4
6
6
7
8
8
9
③
④
⑤
3. 1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果来？
接着把找的过程表示出来。
称剩下的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
称轻的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
答：至少称3次能保证找出这袋糖果来。
教材第114页第4题
有3筒网球，每筒12个，其中有1个次品比正品重一些。若用没有砝码的天平只称3次，找出这个次品，能保证找到吗？
拓展提升
思路引导
可分两步思考：
第一步：找到次品在哪一筒里。
根据3个物品中找1个次品的方法，称1次可确定次品在哪一筒里。
平衡，剩下的那个是次品。
不平衡，重的是次品。
根据12个物品中找1个次品的方法，至少称3次可确定次品是哪一个。
有3筒网球，每筒12个，其中有1个次品比正品重一些。若用没有砝码的天平只称3次，找出这个次品，能保证找到吗？
拓展提升
思路引导
可分两步思考：
第二步：找到次品网球是哪个。
12个网球
（4, 4, 4）
平衡，称剩下的4个(1, 1, 2)。
平衡，称剩下的2个(1, 1)。
不平衡，重的是次品。
不平衡，称重的4个(1, 1, 2)。
平衡，称剩下的2个(1, 1)。
不平衡，重的是次品。
有3筒网球，每筒12个，其中有1个次品比正品重一些。若用没有砝码的天平只称3次，找出这个次品，能保证找到吗？
拓展提升
规范解答
根据3个物品中找1个次品的方法，称1次可确定次品在哪一筒里；
根据12个物品中找1个次品的方法，至少称3次可确定次品是哪一个。
所以，至少需要称4次，称3次不能保证找到这个次品。
课堂小结
这节课你有什么收获？
利用天平找次品的最优策略：
(1)把待测物品分成3份，要尽量分得平均，不能够平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1 。
(2)用图形、符号等直观方式表示找次品的过程简单、明了。
8 数学广角——找次品
练习
数学人教版五年级下册
重点回顾
想一想，圈一圈。
1. 有 3 包饼干，其中一包少了几片。下面是 3 位同学画的称的结果图示，你能分别圈出次品在哪吗？
甲同学
乙同学
丙同学
从 3 个物品中找次品的基本思路：用天平称一次（可假想），然后根据天平称量的结果（平衡还是不平衡）来判断出次品是否在托盘上。
2. 有 6 袋食盐，其中一袋的净含量超了10克。下面是 一个同学找它的方法，请你圈出括号里正确的答案。
1
2
3
4
平衡
5
6
这次一定(平衡，不平衡)
(轻的，重的)一端是次品
不平衡
1
2
这次一定(平衡，不平衡)
(轻的，重的)一端是次品
至少称( 1，2 )次，可以保证找到那袋超重的食盐。
利用天平找次品的最优策略：
把待测物品分成3份，要尽量分得平均，不能够平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1 。
练习巩固
（教材第114页练习二十七）
1. 5瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
2
1
平衡。
不平衡，轻的是次品。
4
3
平衡，次品是 。
不平衡，轻的是次品。
至少要称 次。
5
2
教材第114页第1题
28瓶
(
14
14
)
不平衡，称较重的14瓶。
3次
(
7
7
)
平衡，剩下的是盐水
(
1
1
，1)
不平衡，称较重的3瓶
4次
教材第114页第2题
不平衡，称较重的7瓶。
(
3
3
,1)
答：至少称4次能保证找出这瓶盐水。
2.有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？
3. 有 15 盒饼干，其中 14 盒质量相同，另有 1 盒少了几块。假如用天平称，至少称几次能保证找出这盒饼干？
15盒
(
5
5
,5)
平衡，称另外的5盒。
不平衡，称轻的的5盒。
(
2
2
,1)
2次
3次
平衡，剩下的是次品
(
1
1
)
不平衡，称轻的2盒
2次
(
2
2
,1)
平衡，剩下的是次品
(
1
1
)
不平衡，称轻的2盒
3次
答：至少称3次能保证找出这盒饼干。
教材第114页第3题
4. 1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？
称剩下的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
称轻的4袋(1,1,2)
平衡
称剩下的2袋(1,1)
不平衡
轻的一端是次品
答：至少称3次能保证找出这袋糖果。
教材第114页第4题
5. 有 3 袋白糖，其中 2 袋每袋 500 g，另一袋不是 500 g，但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗？
3袋白糖
(①,②,③)
思路引导
(
①
②
,③)
平衡，③号是次品。
不平衡，①②中有一袋是次品。
(
①
)
③
③号是轻还是重。
(
①
)
③
平衡，②号是次品。
不平衡，①是次品。
也可
取下①
教材第114页第5题
5. 有 3 袋白糖，其中 2 袋每袋 500 g，另一袋不是 500 g，但不知道比 500 g 重还是轻。你能用天平找出来吗？
规范解答
在天平两边各放1袋白糖：如果天平平衡，那么剩下的那袋是次品。(从天平上取下一袋换上次品再称一次，就能判断次品是轻还是重)。如果天平不平衡，那么这两袋中一定有1袋是次品。可取下其中一袋，把剩下的那袋放上天平再称一次，如果天平平衡，那么取下的那袋是次品，如果天平不平衡，那么留下的那袋是次品。
教材第114页第6题
拓展提升
1. 有四个零件，其中三个质量都是60 g，另一个质量不是60 g，但不知道比60 g重还是轻。如果用天平称，至少称几次可以找出这个不合格的零件？
思路引导
用甲、乙、丙、丁分别表示这四个零件。
甲
乙
平衡，取下一个，放上丙或丁再称一次
甲
丙
平衡，丁是次品
不平衡，丙是次品
不平衡，取下一个，放上丙或丁再称一次
甲
丙
平衡，乙是次品
不平衡，甲是次品
规范解答
至少称 2 次可以找出这个不合格的零件。
2. 一架天平只有5 g和30 g两个砝码，要把300 g白糖平均分成3份，至少要称几次？写出称的方法。
思路引导
解题关键：称出的实物也可以作为“砝码”来使用。
35g
30g
5g
65g
30g
35g
5g
65g
30g
35g
100g
5g
第1次
第2次
第3次
至少称 3 次。第 1 次，用 5 g 和 30 g 的砝码称出35 g白糖；第 2 次，天平的一边放 30 g 的砝码和 35 g 白糖，称出 65 g 白糖，把两次称出的白糖放在一起就是 100 g ；第 3 次，天平的一边放已称出的 100 g 白糖，称出第二个 100 g 白糖，剩下的白糖也是 100 g。
35g
30g
5g
65g
30g
35g
5g
65g
30g
35g
100g
5g
规范解答
Thank you!