第八章概率 章节练习卷2（含解析）-2023-2024学年高二数学-（苏教版2019选择性必修第二册）
文档属性
| 名称 | 第八章概率 章节练习卷2（含解析）-2023-2024学年高二数学-（苏教版2019选择性必修第二册） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 539.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-30 22:00:50 | ||
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文档简介
第八章概率章节练习卷1-2023-2024学年高二数学-（苏教版2019选择性必修第二册）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
2．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④抛一枚硬币三次，正面向上出现的次数是随机变量.其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量，且，则(X=4)的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X服从二项分布，则；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；
③若X的方差为，则；
④已知，，则．
A．②③ B．①③ C．①② D．①④
8．从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
评卷人得分
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
B．已知随机变量服从正态分布，则其期望
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12
10．随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
a
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知服从正态分布，且，则
C．二项式的展开式中的常数项是45
D．已知，且，则
评卷人得分
三、填空题
12．已知分布列
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则（1）x＝ ；
（2）P(Y＞3)＝ ；
（3）P(1＜Y≤4)＝ .
13．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 .
0 1 2 3
14．一个质地均匀的小正方体，其中三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这个小正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次中出现向上的面所标的数字之积，则的期望 ．
评卷人得分
四、解答题
15．某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的均值和方差．
16．设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，用随机变量X表示所购2件商品中一等品的件数，写出X的概率分布．
17．已知某小学生参加了暑期进行的游泳培训，分别学习自由泳和蛙泳，经过一周训练后，她每次自由泳训练及格的概率为，蛙泳及格的概率为．考核采用积分制，每次自由泳、蛙泳及格分别得1分、2分，不及格均得0分，每次游泳的结果相互独立．若该小学生每天进行3次考核训练，其中自由泳2次，蛙泳1次．
(1)求“该小学生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”的概率；
(2)若该小学生的总得分为X，求X的分布列和数学期望．
18．2020年5月1日开始，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，垃圾分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理厂2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图所示：
(1)现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
(2)从2020年6月至12月中任意选取2个月，记为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数.求的分布列及数学期望.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.现由甲先投.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且，逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，．
对于A，因为，满足，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为，且满足，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于C，因为，且满足，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．
故选：D．
2．D
【分析】利用随机变量的定义直接判断即可.
【详解】如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这个变量叫随机变量。
显然，四个命题中的随机试验的结果都可以用一个变量来表示，即都是随机变量，
故四个命题都是真命题，即真命题的个数为.
故选：D.
3．A
【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】记事件为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件为需要更换，
则，
由条件概率公式可得.
故选：A.
4．A
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，
由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：.
故选：A．
5．A
【分析】先由二项分布的期望公式求出的值，再由二项分布求概率.
【详解】随机变量，则，解得
则
故选：A
6．D
【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可.
【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧，
故，
由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值，
所以，
故选：D .
7．C
【分析】根据二项分布的期望公式判断①；求出超几何分布的期望判断②；根据方差的性质判断③；根据条件概率公式判断④.
【详解】若X服从二项分布，则，①正确；
选出女学生干部的人数为X的值为，且服从超几何分布，
所以，②正确；
若X的方差为，则，③错误；
因为，，所以，④错误.
故选：C.
8．B
【分析】随机变量的取值为0,1,2，结合变量对应的事件写出概率，算出期望．
【详解】随机变量的取值为0,1,2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20，对应取法为17种，其余17情况取法为16种，
，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据线性相关系数的概念可判断A，根据正态分布的概念及性质可判断BC，根据方差的性质可判断D.
【详解】对于A，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故A错误；
对于B，因为X服从正态分布，所以，故B错误
对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，根据方差的性质可知的方差为，
故所求标准差为，故D错误.
故选：ABD.
10．BC
【分析】对于A，根据所有概率和为1，可求出，对于B，由求解，对于C，利用期望公式求解，对于D，利用方差公式求解.
【详解】对于A，由题意得，得，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：BC
11．BCD
【分析】根据正态分布性质判断A,B选项，根据二项式展开式判断C选项，应用二项分布性质判断D选项.
【详解】 已知随机变量服从正态分布，若，
可得曲线的对称轴为，则，A不正确；
若服从正态分布，且，则，B正确；
二项式的展开式的通项公式为，由，
解得，可得常数项是，C正确；
因为，所以，即，D正确.
故选：BCD.
12． 0.1； 0.45； 0.55.
【分析】（1）由离散型随机变量的各个取值的概率之和为1即可求得x的值；
（2）将Y的值大于3的各种情况的概率值相加即得；
（3）将满足，即的各个概率相加即得.
【详解】解：(1)由概率和为1，∴,解得.
(2).
(3).
故答案为：0.1；0.45；0.55.
【点睛】本题考查离散型随机变量的性质，根据离散型随机变量的各个概率之和为1和离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
(1).；(2).另外离散型随机变量的各个值时互斥的，概率是可加的.
13．/
【分析】利用分布列的性质，解关于m的方程，再验证作答．
【详解】依题意，，整理得，解得或，
当时，，，不符合题意，
当时，，，，，符合题意，
所以m的值为.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意先求出随机变量的可能取值，然后分别求出随机变量每一个值对应的概率，最后代入离散型随机变量的均值公式即可求解.
【详解】由题意可知：随机变量的可能取值为，
当变量为时，表示两次中至少有一个为，这两个事件是相互独立事件，
所以，
同理；
；
，所以，
故答案为：.
15．
【分析】根据二项分布求得.
【详解】依题意，，
所以.
16．分布列见解析
【分析】根据超几何分布的知识求得的概率分布.
【详解】一等品件，二等品件.
的可能取值为，
，
，
所以的分布列为
17．(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式，结合已知条件，直接计算即可；
（2）求得的取值，以及对应的概率，再结合分布列求数学期望即可.
【详解】（1）记“该小学生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”为事件A，
则
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以X的数学期望．
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
（2）利用超几何分布的分布列的求法求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件，
由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，∴
（2）6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月.
∴的所有可能取值为0，1，2.
，，，
∴的分布列为：
0 1 2
∴数学期望.
19．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为
【分析】(1) 本题考查互斥事件的概率，设甲第次投中获胜的事件为，则彼此互斥，分别计算出的概率（可用相互独立事件同时发生的概率公式计算），然后相加即得；
(2) 甲的投篮次数的取舍分别1，2，3，注意这里事件含甲第次投中和第次投不中而接着乙投中，结合(1)的过程可很快求和各事件概率，从而得分布列，并依据期望公式可计算出期望值．
【详解】（1）设甲第i次投中获胜的事件为，则彼此互斥．
甲获胜的事件为．
；；
所以．
所以甲获胜的概率为．
（2）所有可能取的值为1，2，3．
则；
；
.
即X的概率分布列为
1 2 3
所以的数学期望.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
2．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④抛一枚硬币三次，正面向上出现的次数是随机变量.其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量，且，则(X=4)的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个正态分布和相应的分布密度曲线如图，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X服从二项分布，则；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；
③若X的方差为，则；
④已知，，则．
A．②③ B．①③ C．①② D．①④
8．从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
评卷人得分
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
B．已知随机变量服从正态分布，则其期望
C．已知随机变量服从正态分布，且，则
D．已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12
10．随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
a
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知服从正态分布，且，则
C．二项式的展开式中的常数项是45
D．已知，且，则
评卷人得分
三、填空题
12．已知分布列
Y 1 2 3 4 5 6
P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则（1）x＝ ；
（2）P(Y＞3)＝ ；
（3）P(1＜Y≤4)＝ .
13．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 .
0 1 2 3
14．一个质地均匀的小正方体，其中三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这个小正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次中出现向上的面所标的数字之积，则的期望 ．
评卷人得分
四、解答题
15．某人每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，求击中目标的次数X的均值和方差．
16．设50件商品中有15件一等品，其余为二等品．现从中随机选购2件，用随机变量X表示所购2件商品中一等品的件数，写出X的概率分布．
17．已知某小学生参加了暑期进行的游泳培训，分别学习自由泳和蛙泳，经过一周训练后，她每次自由泳训练及格的概率为，蛙泳及格的概率为．考核采用积分制，每次自由泳、蛙泳及格分别得1分、2分，不及格均得0分，每次游泳的结果相互独立．若该小学生每天进行3次考核训练，其中自由泳2次，蛙泳1次．
(1)求“该小学生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”的概率；
(2)若该小学生的总得分为X，求X的分布列和数学期望．
18．2020年5月1日开始，新版《北京市生活垃圾管理条例》正式实施，垃圾分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理厂2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图所示：
(1)现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；
(2)从2020年6月至12月中任意选取2个月，记为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数.求的分布列及数学期望.
19．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.现由甲先投.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且，逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，．
对于A，因为，满足，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为，且满足，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于C，因为，且满足，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．
故选：D．
2．D
【分析】利用随机变量的定义直接判断即可.
【详解】如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这个变量叫随机变量。
显然，四个命题中的随机试验的结果都可以用一个变量来表示，即都是随机变量，
故四个命题都是真命题，即真命题的个数为.
故选：D.
3．A
【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】记事件为在某次通电后 有且只有一个需要更换，事件为需要更换，
则，
由条件概率公式可得.
故选：A.
4．A
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：设两数之差为偶数为事件，小明选择的数是偶数为事件，
由于他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，则小明选择的数是偶数的概率为：.
故选：A．
5．A
【分析】先由二项分布的期望公式求出的值，再由二项分布求概率.
【详解】随机变量，则，解得
则
故选：A
6．D
【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可.
【详解】由图象可得的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左侧，
故，
由图象可得的密度函数的最大值小于的密度函数的最大值，
所以，
故选：D .
7．C
【分析】根据二项分布的期望公式判断①；求出超几何分布的期望判断②；根据方差的性质判断③；根据条件概率公式判断④.
【详解】若X服从二项分布，则，①正确；
选出女学生干部的人数为X的值为，且服从超几何分布，
所以，②正确；
若X的方差为，则，③错误；
因为，，所以，④错误.
故选：C.
8．B
【分析】随机变量的取值为0,1,2，结合变量对应的事件写出概率，算出期望．
【详解】随机变量的取值为0,1,2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20，对应取法为17种，其余17情况取法为16种，
，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据线性相关系数的概念可判断A，根据正态分布的概念及性质可判断BC，根据方差的性质可判断D.
【详解】对于A，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故A错误；
对于B，因为X服从正态分布，所以，故B错误
对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为，
所以，
所以，故C正确；
对于D，根据方差的性质可知的方差为，
故所求标准差为，故D错误.
故选：ABD.
10．BC
【分析】对于A，根据所有概率和为1，可求出，对于B，由求解，对于C，利用期望公式求解，对于D，利用方差公式求解.
【详解】对于A，由题意得，得，所以A错误，
对于B，，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误，
故选：BC
11．BCD
【分析】根据正态分布性质判断A,B选项，根据二项式展开式判断C选项，应用二项分布性质判断D选项.
【详解】 已知随机变量服从正态分布，若，
可得曲线的对称轴为，则，A不正确；
若服从正态分布，且，则，B正确；
二项式的展开式的通项公式为，由，
解得，可得常数项是，C正确；
因为，所以，即，D正确.
故选：BCD.
12． 0.1； 0.45； 0.55.
【分析】（1）由离散型随机变量的各个取值的概率之和为1即可求得x的值；
（2）将Y的值大于3的各种情况的概率值相加即得；
（3）将满足，即的各个概率相加即得.
【详解】解：(1)由概率和为1，∴,解得.
(2).
(3).
故答案为：0.1；0.45；0.55.
【点睛】本题考查离散型随机变量的性质，根据离散型随机变量的各个概率之和为1和离散型随机变量的概率分布有两条基本性质：
(1).；(2).另外离散型随机变量的各个值时互斥的，概率是可加的.
13．/
【分析】利用分布列的性质，解关于m的方程，再验证作答．
【详解】依题意，，整理得，解得或，
当时，，，不符合题意，
当时，，，，，符合题意，
所以m的值为.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意先求出随机变量的可能取值，然后分别求出随机变量每一个值对应的概率，最后代入离散型随机变量的均值公式即可求解.
【详解】由题意可知：随机变量的可能取值为，
当变量为时，表示两次中至少有一个为，这两个事件是相互独立事件，
所以，
同理；
；
，所以，
故答案为：.
15．
【分析】根据二项分布求得.
【详解】依题意，，
所以.
16．分布列见解析
【分析】根据超几何分布的知识求得的概率分布.
【详解】一等品件，二等品件.
的可能取值为，
，
，
所以的分布列为
17．(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式，结合已知条件，直接计算即可；
（2）求得的取值，以及对应的概率，再结合分布列求数学期望即可.
【详解】（1）记“该小学生蛙泳不及格且恰好有1次自由泳及格”为事件A，
则
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
所以X的数学期望．
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求得正确答案.
（2）利用超几何分布的分布列的求法求得分布列并求得数学期望.
【详解】（1）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件，
由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，∴
（2）6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月.
∴的所有可能取值为0，1，2.
，，，
∴的分布列为：
0 1 2
∴数学期望.
19．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为
【分析】(1) 本题考查互斥事件的概率，设甲第次投中获胜的事件为，则彼此互斥，分别计算出的概率（可用相互独立事件同时发生的概率公式计算），然后相加即得；
(2) 甲的投篮次数的取舍分别1，2，3，注意这里事件含甲第次投中和第次投不中而接着乙投中，结合(1)的过程可很快求和各事件概率，从而得分布列，并依据期望公式可计算出期望值．
【详解】（1）设甲第i次投中获胜的事件为，则彼此互斥．
甲获胜的事件为．
；；
所以．
所以甲获胜的概率为．
（2）所有可能取的值为1，2，3．
则；
；
.
即X的概率分布列为
1 2 3
所以的数学期望.
答案第1页，共2页
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