孝南区 2023-2024学年度九年级下学期期中教学质量监测
数 学 试 卷
一、选择题(共 10题，每题 3分，共 30分)
1．-2的倒数是（ ）
1 1
A． B． 2 C． D． 2
2 2
2．如图所示的几何体是由 5个大小相同的小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体
管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014
用科学记数法表示为 ( )
A．1.4 10 8 B．14 10 7 C． 0.14 10 6 D．1.4 10 9
4．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，
且 1 100 ，则 2的度数为 ( )
A． 60 B． 70 C．80 D．100
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3 a6 B． (3a)2 6a2 C． a6 a3 a2 D．3a2 a2 2a2
2
6．已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数 y 的图像上，且 x1<0，则下列结论一定正确的是（ ）
A． y1 y2 0 B． y1 y2 0 C．y1< y2 D．y1> y2
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，
不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长绳长几何？其大意是：用一根绳子去量
一根长木，绳子还剩余 4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1尺．问木长、绳子长各多少尺？设木
长 x尺，绳子长 y尺，则可列方程组为（ ）
y x 4.5 y x 4.5 x y 4.5 x y 4.5
A． 1 B． 1 C． 1 D．x y 1 x y 1 x 1 y 1 x y 1 2 2 2 2
8．如图，在⊙O中，OA BC， ADB 30 ，BC 2 3 ，则OC （ ）
A．1 B．2 C． 2 3 D．4
第 4题图 第 8题图 第 9题图 第 10题图
9．如图，正方形 ABCD中，M为对角线 BD上的一点，DM= 2 ，连接 AM 并延长交CD于点 P．若 PM=PC，
则正方形 ABCD的边长为（ ）
A． 3 +1 B． 3 -1 C． 2 3 D． 2 2
10．如图，已知开口向下的抛物线 y ax2 bx c与 x轴交于点(6，0)，对称轴为直线 x=2．则下列结论正
确的有（ ）
① abc
1 1
< 0；② a b c 0；③方程 cx2 bx a 0的两个根为 x1 , x2 ；④抛物线上有两点 P(x1，2 6
y1)和 Q(x2，y2)，若 x1<24，则 y1>y2．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(共 5题，每题 3 分，共 15分)
11．因式分解：m2-m =______．
12．若关于 x的一元二次方程 x2-8x-1=0两根为 x1、x2，则 x1+x2+x1x2= ．
1
13．如图，在等腰△ABC中， A 36 ，分别以点 A、点 B为圆心，大于 AB为半径画弧，两弧分别交
2
于点M 和点 N，连接MN ，直线MN 与 AC交于点 D，连接 BD，则 DBC的度数是_______.
14．班主任邀请甲、乙两位同学参加圆桌会议．如图，班主任坐在 C座位，甲、乙两位同学随机坐 A、B、
D三个座位中的两个座位，则甲、乙两位同学座位都与班主任相邻的概率是 ．
15．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股
圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”（如图 1），西方国家称之为毕达哥拉斯定理（如图 2），它们都是由 4个
全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图 3，点 E，F，G，H分别位于正方形 ABCD的四条边上（AE
＜BE），四边形 EFGH也是正方形，连接 BD分别交 GH、EF于点 M、N，设∠AEH＝α，若 MN＝4BN，
则 tanα的值为 ．
D G C
H M
N F
A E 图 3 B
第 13题图 第 14题图 第 15题图
三、解答题(本大题共 9小题，共 75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. 6 1（ 分）计算：3 2 1 0 2sin 30 2 ．
3
17.（6分）已知：如图， AB∥DE， AB DE ， AF DC．求证： B E．
18.（6分）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出
发，甲的速度是乙的 1.2倍，结果甲比乙早到 10min，求乙同学骑自行车的速度为多少 km/min．
19.（8分）某校为落实“双减”政策，提高学生身体素质，采用体育课和课外体育锻炼相结合的方式，鼓
励学生积极参与体育锻炼，为了解学生每周参加课外体育锻炼时间，对三个年级的学生进行了抽样调查，
并根据调查结果将学生每周参加课外体育锻炼时间分为 2小时、3小时、4小时、5小时、6小时共五种情
况．小明根据调查结果制作了如图两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
(1) 本次共调查了 名学生，并补全条形统计图；
(2) 计算扇形统计图中 2小时所对应的圆心角是______度；
(3) 小亮同学平均每周参加课外体育锻炼的时长是 5小时，他若想知道自己在这次调查中处于什么样的水
平，应该去了解这组数据 的信息(请从平均数、中位数、众数、方差中选择填空)，并说明理由；
(4)已知全校 2500名学生，则估算全校学生每周参加课外体育锻炼的时间至少有 5小时的学生有 人.
20.（8分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，
途中设置两个检查点，分别为 B点和C点，行进路线为 A B C A，B点在 A点的南偏东 25 方向
3 2km处，C点在 A点的北偏东80 方向，行进路线 AB和 BC所在直线的夹角 ABC为45 ．
（1）求行进路线 BC和CA所在直线的夹角 BCA的度数；
（3）求检查点 B和C之间的距离（结果保留根号）．
21．（8分）如图，在 ABC中，AC BC，以 AC 为直径作 O 交 BC于点 E，交 AB于点 D，BA平分 FBC，
且 BF BE，连接 AF ．
（1）求证： AF 是⊙O的切线；
（2）若 AF EC 2，求弧 AD的长．
22.（10分）某商品的进价为每件 40元，当售价为每件 50元时，每月可卖出 200件，如果售价每上涨 1
元，则每月少卖 10件（每件售价不能高于 65元）；如果售价每下降 1元，则每月多卖 12件（每件售价不
低于 48元）．设每件商品的售价为 x元（x为正整数），每月的销售量为 y件．
（1） ①当售价上涨时，y与 x的函数关系为______，自变量 x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与 x的函数关系为______，自变量 x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价 x定为多少元时，每月可获得利润最大？最大月利润是多少元？
23.（11分）在矩形 ABCD中，AB=3，点 P是 BC上一动点，连接 AP，将△ABP沿 AP折叠，使点 B落在
点 F处，延长 AF交射线 BC于点 E，延长 PF交 DC或 AD于 M，如图 1，图 2.
（1）直接写出∠MPC与∠BAP的数量关系为 ；
1
（2）如图 1，求证：EF= BP·BE；
3
（3）若 BC=4，在点 P从点 B向点 C运动的过程中.
①如图 2，当 BP=2时，求 PE的长；
CE 1
②当 = 时，直接写出 BP的长.
BE 3
图 1 图 2 备用图
24.（12分）抛物线 y=x2+bx c 经过点 A(-1，0)和 C(0，-3)，与 x轴交于另一点 B.
（1）则抛物线的解析式为_____________；顶点坐标 D（ ， ）；
（2）如图 1，连接 BC、BD，将直线 BD沿 BC折叠交抛物线于点 E，求 E点坐标；
（3）如图 2，M为抛物线上任意一点，连接 AM，将 AM沿 x轴折叠交抛物线于点 N，连接 MN，过 B点
作 y MT轴的平行线交 MN于点 T，求 的值.
NT
图 1 图 22024年孝南区九年级下学期期中监测数学试卷参考答案
（注：阅卷时老师们应遵循以生为本的原则,若有不同方法，只要思路结果正确，
应给满分。）
一、选择题(本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分)
ACACD DBBAB
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分)
1
11．m(m-1) 12．7 13．36° 14． 15．2+ 3
3
三、解答题(本大题共 9小题，共 75分)
1
16.解：原式 1 2
1 2
----------------------4 分（一个运算 1分）
3 2 3
1 2
1 1
3 3
3 ----------------------6分
17. 证明：∵ AB∥DE，
∴ A D，
∵ AF DC，
∴ AC DF
在△ABC与△DEF中
AC DF
A D
AB DE
∴△ABC≌△DEF SAS ，
∴ B E． ----------------------6分
18．解：设乙同学骑自行车的速度为 x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为 1.2x千米/
分钟，根据题意得：
12 12
10
x 1.2x ， ----------------------2分
解得： x 0.2． ----------------------4分
经检验， x 0.2是原方程的解，且符合题意， ----------------5分
答：乙同学骑自行车的速度为0.2千米/分钟． ----------------6分
19．解：(1)50； ----------------------1分
----------------------2分
(2) 43.2 ° - ---------------------2分
(3)中位数， ----------------------1分
理由:如果他平均每周参加课外体育锻炼的时长大于中位数，则他排在中上水平，否则就排
在中下水平；(根据中位数的意义描述均应给分) ------------------2分
(4)900 ----------------------2分
20.解：（1）解：如图， NAC 80 , SAB 25 ， ABC 45 , AB 3 2，
NAS 180 ，
CAB 180 NAC SAB 180 80 25 75 ． ------1分
在△ABC中， CAB ABC BCA 180 ，
BCA 180 75 45 60 ． ----------------------3分
（2）过点 A作 AD⊥BC，垂足为D．
ADB ADC 90 ，
ABD 45 ，
BAD ABD 45 ．
AD BD ,
在Rt△ABD中，
sin AD ABD ，
AB
AD 3 2 2 3(km)．
2
BD AD 3(km) ,
在Rt△ACD中， tan BCA
AD
，
CD
3
CD 3(km)，
3
BC BD CD (3 3)km．
∴检查点 B和C之间的距离为 (3 3)km． ----------------------8分
21.（1）证明：连接 AE，
AC为⊙O的直径，
AEC AEB 90 ，
ABC BAE 90 ，
AC BC，
CAB ABC，
BA平分 FBC，
ABF ABE ，
在 ABF和 ABE中，
BF BE
ABF ABE ，
AB AB
ABF ABE (SAS )，
BAF BAE ，
CAB BAF 90 ，
CAF 90 ，
AC为的直径，
AF 是⊙O的切线； ----------------------4分
（2）解：由（1）知: ABF ABE得到，AF=AE=2,
AE EC ,
AEC 90
ACE 45 ,
AC AE2 EC2 2 2
OD OA 2
DAO ADO
AC BC
DAO ABC
ADO ABC
∴OD//BC
DOA ACB 45
AD 45 2 2 = ----------------------8分
180 4
22.解：（1）①y= -10x+700；50≤x≤65；
②y= -12x+800；48≤x≤50． -------------------4分(每空 1分)
（2）解：设利润为 W，由（1）得上涨和下降分情况讨论利润问题：
①当价格上涨时，售价为 x，此时销量为 y= -10x+700，
∴W=(x-40)( -10x+700)，
=-10x2+1100x-28000，
=-10(x-55)2+2250
∵50≤x≤65且为正整数，
∴当 x=55元时，W 最大=2250元， -------------------7分
②当价格下降时，售价为 x，此时销量为 y= -12x+800，
∴W=(x-40)( -12x+800)，
=-12x2+1280x-32000，
∵48≤x≤50且为正整数，
b 160
对称轴 x= = ，
2a 3
∴售价 x=50元时，W 最大=2000元
∵2000<2250，
∴综上：当售价为 55元时，利润最大利润为 2250元，-------------10分
23.解：(1)∠MPC=2∠BAP -------------2分
(2)证明：由折叠知：∠B=∠AFP=∠PFE= 90°，AB=AF=3，PB=PF，
∵∠AEB=∠PEF
∴△ABE∽△PFE．
BE AB
∴
FE PF
∵AB=3，PF=PB
BE 3
即：
FE BP
1
∴EF= BP BE -------------6分
3
（3）①∵BP=2，∴PF=2.
由（2）知：△ABE∽△PFE
BE AB BE 3
∴ ，∴ ，
FE PF FE 2
设 EF=2x，则 BE=3x，∴ PE=BE-BP=3x-2
12
在 Rt△PFE中， PE 2 PF 2 FE 2， (3x 2)2 22 (2x)2，解得： x 1= ，x2=0（舍），5
∴ PE 3x 2
26
-------------9分
5
②当 E在 BC内部时（如图 1）， BP 3 2 3，
当 E在 BC延长线上时（如图 2）， BP 3 5 3 ----------11分
2
24.解：（1）y=x2-2x-3 ……………………………2分
D(1，-4) ……………………………………4分
(2)设点 D的对应点为 F，连接 DC、FC，
令 y=0得：x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3，∴B(3，0)
BC2 OB2 OC2 32 32 18
CD2 (1 0)2 ( 4 3)2 2 , BD2 (3 1)2 (0 4)2 20
∴ BC 2 CD2 BD2
∴∠BCD=90°，
∴D、C、F三点共线， K
由折叠知：△BCF≌△BCD
∴FC=CD，即 C为 FD中点，设 F(x，y)， P
而 C(0，-3)，D(1，-4) Q
x 1 0 y ( 4)∴ ， 3，
2 2
∴x=-1，y=-2，
∴F(-1，-2) …………6分
设直线 BF为：y=kx+b，代入 B(3，0)，F(-1，-2)得：
1
0 3k b k 2
，解得： ，
2 k b
b
3
2
1 3
∴直线 BF为：y= x- ，
2 2
1 3 x 1
y x 2 2
1 2 x2 3
∴ ，解得： ， (舍去)，
y x
2 2x 3 y 7 y 0 2 1 4
1 7
∴E（ ， ） ……………………………………8分
2 4
（3）过点 N作 NP⊥x轴于点 P，过点 M作 MQ⊥x轴于点 Q，
设 M(a，a2-2a-3)，N (b，b2-2b-3)，
由折叠知：∠NAP=∠MAQ，
PN MQ
∴tan∠NAP=tan∠MAQ，即： ，
AP AQ
(b 2 2b 3) a 2 2a 3
∴
b 1 a 1
(b 3)(b 1) (a 3)(a 1)
∴ ，
b 1 a 1
a b
∴a+b=6，即 3，
2
∴B为 PQ中点.
连接 PT并延长交 MQ于 K点，
∵BT//QK//PN
∴PT=TK，∠PNT=∠KMT，
又∵∠PTN=∠KTM，
∴△MTK≌△NTP(AAS)，
MT
∴MT=TN，即 =1. ……………………………………12分
NT
