2023-2024 学年第二学期期中限时作业
七年级数学试题
（时间：120 分钟 分值：130 分）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30 分；第Ⅱ卷为非选择题，100 分；
本试题共 8 页．
2．数学试题答题卡共 2 页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试
题和答题卡上.
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂
黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用 0.5mm 碳素笔答在答
题卡的相应位置上.
第Ⅰ卷（选择题 共 30分）
一、选择题：本大题共 10 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确
的，请把正确的选项选出来．每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超
过一个均记零分．
1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰
宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）.
A．瓜熟蒂落 B．竹篮打水 C．画饼充饥 D．守株待兔
2. 下列语句中，不是命题的是（ ）.
A．两直线平行，同旁内角相等
B．若 2a＝4，则 a＝2
C．过一点作已知直线的平行线
D．同角的余角相等
3. = 2若 = 1是关于 ， 的二元一次方程 + = 4的一个解，则 的值为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 在一个不透明的袋子装有 4个红球，8个白球，它们除颜色外完全相同，从袋
中任意摸出一个球为白球的概率为（ ）.
A 1． B 1． C 2 D 3． ．
2 3 3 4
第 1页（共 8页）
5．用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线 AB和 CD，能解释其中的道
理的依据是（ ）.
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
6 + = 3 ①
6. 在解二元一次方程组 时，若①﹣②可直接消去未知数 y，则
2 = 6 ②
m和 n满足下列条件是（ ）.
A．m＝n B．mn＝1 C．m+n＝0 D．m+n＝1
7．如图，有一张对边平行的纸片，三角板 ABC和三角板 ADC按如图方式放置，
三角板 ADC的一条直角边与纸片的一边重合．已知∠B＝∠ADC＝90°，∠
ACB＝60°，∠CAD＝45°，则∠1的度数为（ ）.
A．150° B．105°
C．120° D．135°
8. 小龙转动转盘(如图 1)做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向
的数字即为实验转出的数字．图 2是小龙记录下的实验结果情况，那么小龙记
录的实验是（ ）.
A．转动转盘后，出现能被 3整除的数
B．转动转盘后，出现奇数
C．转动转盘后，出现比 5小的数
D．转动转盘后，出现能被 5整除的数
第 2页（共 8页）
9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一
托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照 5尺计算）．”大意是：现
有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长 5尺；如果将绳索对
折后再去量竿，就比竿短 5尺，则绳索长几尺？设竿长 x尺，绳索长 y尺，
根据题意可列方程组为（ ）.
+ 5 =
A + 5 = ． 5 = B．
2 2 5 =
= + 5
C + 5 = ． 5 = D．
2 5 = 2
10. 如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，
BE平分外角∠MBC交 DC的延长线于点 E，以下结论：①∠BDE＝ ∠BAC；
②DB⊥BE；③∠BDC+∠ACB＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正
确的结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 8小题，其中 11-14 题每小题 3分，15-18 题每小题 4分，
共 28 分．只要求填写最后结果．
11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为_____________．
=
12. 如果 = 是方程 2x﹣3y＝2020 的一组解，那么代数式 2024﹣2m+3n
＝ ．
13. 若有理数 与 满足(4a b)2 + |3a b + 2| = 0，则 = ______．
14. 如图，直线 l1：y＝2x+4与直线 l2：y＝kx+b相交于点 P（1，m），则方程组
2 = 4
= 的解为 ．
第 3页（共 8页）
（第 14题图） （第 15题图）
15. 如图，在 4 × 4正方形网格中，任取一个白色的小正方形并涂黑，使图中
黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是________．
16. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图
1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y的系数与相应的常数，
1 3 + 2 = 19图 的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是 + 4 = 23 ，则图
2所示的算筹图所表示的方程组的解为 ．
（第 16题图） （第 17题图）
17. 如图，AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，且∠B＝31°，∠D＝39°，
则∠M＝ ．
18. 观察下列图形：若 // ，在第 1个图中，可得∠1 + ∠2 = 180°，则按照以
上规律，∠1 + ∠2 + ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 +… + ∠ =________°．
三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分，解答要写出必要的文字说明、证明过
程或推演步骤.
19. 解方程组：（本题满分 10分，每小题 5分）
第 4页（共 8页）
2 + 3 = 12 3 2 = 7
（1） 2 = 4 ． （2） 2 2 1 = 1．
3 2
20.（本题满分 7分）如图，已知：AD平分∠BAC，点 F是 AD反向延长线上的
一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求∠F的度数．
21. （本题满分 8分）今年“五一”假期期间，某超市打算开展有奖促销活动，
凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时
指针指向 8就中一等奖，指向 2或 6就中二等奖，指向 1或 3或 5就中三等
奖；指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？
（2）顾客中奖的概率是多少？
（3）假设“五一”这天有 1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是
多少？
第 5页（共 8页）
22. （本题满分 8 分）已知：如图，AB//DC，AC和 BD相交于点 O，E是 CD
上一点，F是 OD上一点，且∠1＝∠A．
（1）求证：FE//OC；
（2）若∠BFE＝110°，∠1＝60°，求∠B的度数．
23. （本题满分 8分）北京时间 2023 年 10月 26日，神舟十七号载人飞船发射
取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人
航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱
好者的需求，计划购进 A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件
A种航天载人飞船模型和 3件 B种航天载人飞船模型的进价共计 95元；3件
A种航天载人飞船模型和 2件 B种航天载人飞船模型的进价共计 105元．
（1）求 A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用 250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天
载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
第 6页（共 8页）
24. （本题满分 12 分）如图，正比例函数 y＝﹣3x的图象与一次函数 y＝kx+b
的图象交于点 P（m，3），一次函数图象经过点 B（1，1），与 y轴的交点为 D，
与 x轴的交点为 C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求 D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
= 3
（4）不解关于 x、y的方程组 = + ，直接写出方程组的解．
25.（本题满分 9分）甲、乙两车间一起加工一批零件，同时开始加工，10个小
时完成任务．在这个过程中，甲车间的工作效率不变，乙车间在中间停工一
段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工．设甲、乙两车间各自
加工零件的数量为 y（个），甲车间加工的时间为 x（时），y与 x之间的函数
图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工零件的个数为 个，这批零件的总个数为 个；
（2）求乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量 y与 x之间的函数关系式；
（3）在加工这批零件的过程中，当甲、乙两车间共同加工完 930个零件时，
求甲车间加工的时间．
第 7页（共 8页）
26．附加题（本题满分 10分）：
问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关
系的数学活动，如图，已知射线 AM//BN，连接 AB，点 P是射线 AM上的一
个动点（与点 A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线 AM
于点 C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠
A的式子表示∠CBD为 ．
操作探究：
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间
的数量关系．他们惊奇地发现，当点 P在射线 AM上运动时，无论点 P在 AM
上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的
关系，并说明理由．
（4）点 P继续在射线 AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写
出 2∠ABC+ ∠A的结果．
第 8页（共 8页）2023-2024学年第二学期期中限时作业
七年级数学试题
（时间：120分钟 分值：130分）
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，100分；本试题共8页．
2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上.
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．
1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ）.
A．瓜熟蒂落 B．竹篮打水 C．画饼充饥 D．守株待兔
2. 下列语句中，不是命题的是（ ）.
A．两直线平行，同旁内角相等
B．若2a＝4，则a＝2
C．过一点作已知直线的平行线
D．同角的余角相等
3. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
4. 在一个不透明的袋子装有4个红球，8个白球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率为（ ）.
A． B． C． D．
5．用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线AB和CD，能解释其中的道理的依据是（ ）.
A．内错角相等，两直线平行
B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两直线平行
6. 在解二元一次方程组时，若①﹣②可直接消去未知数y，则m和n满足下列条件是（ ）.
A．m＝n B．mn＝1 C．m+n＝0 D．m+n＝1
7．如图，有一张对边平行的纸片，三角板ABC和三角板ADC按如图方式放置，三角板ADC的一条直角边与纸片的一边重合．已知∠B＝∠ADC＝90°，∠ACB＝60°，∠CAD＝45°，则∠1的度数为（ ）.
A．150° B．105°
C．120° D．135°
8. 小龙转动转盘(如图1)做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字．图2是小龙记录下的实验结果情况，那么小龙记录的实验是（ ）.
转动转盘后，出现能被3整除的数
转动转盘后，出现奇数
转动转盘后，出现比5小的数
转动转盘后，出现能被5整除的数
9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）.
A． B．
C． D．
10. 如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E，以下结论：①∠BDE＝∠BAC； ②DB⊥BE；③∠BDC+∠ACB＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．
11. 将命题“对顶角相等”改写成“如果那么”的形式为_____________．
12. 如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝ ．
13. 若有理数与满足，则 ______．
14. 如图，直线l1：y＝2x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则方程组的解为 ．
（第14题图） （第15题图）
如图，在正方形网格中，任取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是________．
16. 在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为 ．
（第16题图） （第17题图）
17. 如图，AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，且∠B＝31°，∠D＝39°，则∠M＝ ．
18. 观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律，________．
三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.
19. 解方程组：（本题满分10分，每小题5分）
（1）． （2）．
20.（本题满分7分）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°，求∠F的度数．
21. （本题满分8分）今年“五一”假期期间，某超市打算开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中三等奖；指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？
（2）顾客中奖的概率是多少？
（3）假设“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
22. （本题满分8分）已知：如图，ABDC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．
（1）求证：FEOC；
（2）若∠BFE＝110°，∠1＝60°，求∠B的度数．
23. （本题满分8分）北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和3件B种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计105元．
（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
24. （本题满分12分）如图，正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），一次函数图象经过点B（1，1），与y轴的交点为D，与x轴的交点为C．
（1）求一次函数表达式；
（2）求D点的坐标；
（3）求△COP的面积；
（4）不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解．
25.（本题满分9分）甲、乙两车间一起加工一批零件，同时开始加工，10个小时完成任务．在这个过程中，甲车间的工作效率不变，乙车间在中间停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工．设甲、乙两车间各自加工零件的数量为y（个），甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工零件的个数为 个，这批零件的总个数为 个；
（2）求乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式；
（3）在加工这批零件的过程中，当甲、乙两车间共同加工完930个零件时，求甲车间加工的时间．
26．附加题（本题满分10分）：
问题情境：
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AMBN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
探索发现：
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当∠A＝60°时，∠CBD＝∠A．请说明理由．
（2）不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，用含∠A的式子表示∠CBD为 ．
操作探究：
（3）“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（4）点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，请直接写出2∠ABC+∠A的结果．
第3页（共29页）2023-2024学年第二学期期中限时作业
七年级数学参考答案
评卷说明：
1.选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分。
2.解答题中的每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所应得的累计分数。对考生的其他解法，请参照评分意见相应评分。
3.如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分就不再给分。
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，共30分。选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C B C A C B A A D
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分，只要求填写最后结果。
11.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 12.4；
13. 8； 14. ； 15. ；
16.； 17. 35°； 18. 180（n+1）。
三、解答题：本大题共7小题，共72分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．(本题满分10分)
解：（1），
①﹣②得：4y＝8，
解得：y＝2，…………………………………………………………………2分
把y＝2代入①得：2x+6＝12，
解得：x＝3，
故原方程组的解为：；………………………………………………5分
（2）原方程组整理得，……………………………………7分
①×3﹣②得：7x＝14，
解得：x＝2，…………………………………………………………………9分
把x＝2代入①得：6﹣2y＝7，
解得：y＝﹣，
故原方程组的解是．………………………………………………10分
20．(本题满分7分)
解：∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，
∴∠BAC＝2∠1＝80°．
∵∠C＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°．……………3分
∴∠EDF＝∠B+∠1＝40°+40°＝80°．
∵EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°．
∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．……………7分
21．（本题满分8分)
解：（1）由题意可知：P（一等奖）概率：，P（二等奖）概率：，P（三等奖）的概率：； …………………………………………………………3分
（2）8，2，6，1，3，5 份数之和为 6，
∴转动圆盘中奖的概率为：；…………………………………………6分
（3）∵获得一等奖的概率是，
∴“五 一”这天有 1800 人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：（人 ）．………………………………………………………8分
22.(本题满分8分)
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C （ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠1＝∠A，
∴∠C＝∠1，
∴FE∥OC（同位角相等，两直线平行）；………………………………4分
（2）解：∵∠BFE＝∠1+∠D，
∴∠D＝∠BFE﹣∠1＝110°﹣60°＝50°，
又∵∠B＝∠D，
∴∠B＝50°．……………………………………………………………8分
23．(本题满分8分)
解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；……4分
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，
根据题意，得25a+15b＝250，……………………………………………5分
∴，
∵a，b均为正整数，
∴当b＝5时，a＝7；当b＝10时，a＝4；当b＝15时，a＝1，
∴所有购买方案如下：
①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；
③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．………………………8分
24．(本题满分12分)
（1）∵正比例函数y＝﹣3x的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点P（m，3），
∴﹣3m＝3，m＝﹣1，
∴P（﹣1，3）．………………………………………………………………1分
把（1，1）和（﹣1，3）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，，
∴一次函数解析式是y＝﹣x+2；……………………………………………4分
（2）由（1）知一次函数表达式是y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
即点D（0，2）；………………………………………………………………6分
（3）由（1）知一次函数解析式是y＝﹣x+2，
令y＝0，得﹣x+2＝0，解得x＝2，
∴点C（2，0），………………………………………………………………8分
∴OC＝2，
∵P（﹣1，3），
∴△COP的面积＝OC |yp|＝×2×3＝3；………………………………10分
（4）．…………………………………………………………………12分
25.（本题满分9分)
（1）75；1110．………………………………………………………………2分
（2）设乙车间维护设备后，乙车间加工零件的数量y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
由图象经过（4，90）与（10，360）两点可得，
，
解得 ，
所以y＝45x﹣90．……………………………………………………………6分
（3）甲车间加工零件数量y与x之间的函数关系式为y＝75x，
当75x+45x﹣90＝930时，x＝8.5．
答：甲、乙两车间共同加工完930件零件时甲车间所用的时间为8.5小时．……………………………………………………………………………9分
26．附加题（本题满分10分)
解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°．
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP＝∠ABP，∠DBP＝∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝60°，
∴∠CBD＝∠A．……………………………………………………………3分
（2）∠CBD＝． ………………………………………………5分
（3）∠APB＝2∠ADB………………………………………………………6分
理由如下： ∵BD分别平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠NBD，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠NBD＝∠ADB，
∴∠APB＝2∠ADB． ………………………………………………………8分
（4）2∠ABC+∠A＝90°．………………………………………………10分
