2023-2024学年第二学期期中限时作业
八年级数学试题
（ 时间：120分钟 分值：130分 ）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列化简正确的是( )
A. B. C. D.
2.若菱形两条对角线的长分别为 6和8 ，则这个菱形的边长为( )
A. B. C. D.
3.如图，矩形的对角线、相交于点，，若，则四边形的周长是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4.下列二次根式中，与 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
5.一元二次方程 配方后可化为( )
A. B. C. D.
6.如图，四边形是菱形，，，于，则等于( )
A. 4 B. 5 C. D.
7.若代数式 有意义，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. D. 且
8.若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
9.已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为( )
A. 1 B. -1 C. D.
10.如图，在矩形中，和相交于点，，，是边上一点，过点作于点，于点，则 的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分）
11.已知 ，那么 的取值范围是 .
12.已知 是一元二次方程的一个根，则 的值为 ．
13.如果关于 的方程 是一元二次方程，则 ______．
14.如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在 轴上，则点的坐标是______．
15.如图，在中，，，，是上一点，于点，于点，连接，则的最小值为________．
16.计算 的结果是______．
17.若 ，都是实数，，则的值为 ．
18.如图，在正方形中，，是的中点，点是对角线上一动点，则 的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
19.（本小题8分）用适当的方法解下列方程．
20.（本小题8分）计算：
（1） （2）
21.（本小题共8分）已知直角三角形的两条直角边分别是 、，斜边是 c ，
（1）如果 ，求 c ；
（2）如果 ， ，求 及直角三角形的面积.
22.（本小题共8分）
已知，如图，在中，，是的中线，是的中点，连
接并延长到，使，连接、．
（1）求证：
（2）求证：四边形 是菱形.
23.（本小题共9分）
已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程
的两个根，第三边 的长是10 ．
(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当 为何值时, 为等腰三角形？并求 的周长．
(3)当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？
（本小题共9分）
阅读材料：像 , ，…… 这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.数学课上，老师出了一道题“已知 ，求 的值. ”
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：
因为
所以 ．
所以 ，所以
所以 ，所以 ，所以 ．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
的有理化因式是______， ______．
化简
(3)若，求 的值．
25.（本小题共12分）
如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．
求证：
(2)若CE=12, CF=5 ,求 的长；
(3)连接 ， ，当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形，请说明理由．
26.附加题（本小题共10分）
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2cm，AC=5cm，平行四边形ABCD的面积为8cm2，E点从B点出发，以1cm每秒的速度，在AB延长线上向右运动，同时，点F从D点出发，以同样的速度在CD延长线上向左运动，运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，四边形AECF的形状是______；(直接写出结果)
（2）t=___时，四边形AECF是矩形；(直接写出结果)
（3）求当t等于多少时，四边形AECF是菱形，请说明理由．
第15页,共2页 第16页,共2页
第1页,共2页 第2页,共2页2023-2024学年第二学期期中限时作业
八年级数学试题
（时间：120分钟 分值： 130分）
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19. 解：，
，
或，...............(2分)
，；...............（4分）
，
，，，
，...............（5分）
，...............（7分）
方程的解为． ...............（8分）
20. 解：
...............(2分)
． ...............（4分）
...............（6分）
． ...............（8分）
21. 解：...............（2分）
...............（4分）
...............（6分）
...............（7分）
...............（8分）
22. 证明：是的中点，
， ...............（1分）
在和中
，
≌， ...............（4分）
证明：≌，
，，...............（5分）
，
，是中线，
，
，，
四边形是平行四边形，...............（7分）
，
四边形是菱形． ...............（8分）
23. 证明：，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；...............（3分）
解：由得，无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
第三边的长是，
当为等腰三角形时，为一元二次方程的一个根，
当时，，
解得或，
当时，方程变为，
设等腰三角形的底为，
根据根与系数的关系，，
，
的周长为：；
当时，方程变为，
设等腰三角形的底为，
根据根与系数的关系，，
解得，
的周长为；
综上，当时，是等腰三角形，此时的周长为；
当时，是等腰三角形，此时的周长为；...............（6分）
解：，的长是关于的一元二次方程的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，且，
，
即，
解得或，
当时，，符合题意，
当时，，不合题意，
综上，时，是以为斜边的直角三角形． ...............（9分）(本题还有其他的求解思路，只要推理正确，即可得分)
24. 解：，
的有理化因式是；...............（1分）
；
故答案为：，；...............（2分）
原式...............（4分）
；...............（5分）
，...............（6分）
，
，
，
，...............（8分）
，
．...............（9分）
25. 证明：如图所示，
交的平分线于点，交的外角平分线于点，
，， ...............（1分）
，
，，
，， ...............（3分）
，，
； ...............（4分）
，，
， ...............（5分）
，，
， ...............（7分）
； ...............（8分）
当点在边上运动到中点时，四边形是矩形． ...............（9分）
理由如下：当为的中点时，，
，
四边形是平行四边形， ...............（11分）
，
平行四边形是矩形． ...............（12分）
26. （1）四边形AECF是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2cm，AB∥CD，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：平行四边形； ...............（3分）
（2）t=1时，四边形AECF是矩形；理由如下：
若四边形AECF是矩形，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥CD，
∵S ABCD=CD AF=8cm2，
∴AF=4cm，
在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，
即42+（t+2）2=52，
解得：t=1，或t=-5（舍去），
∴t=1；故答案为：1； ...............（6分）
（3）依题意得：AE平行且等于CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
故AE=CE时，四边形AECF是菱形．
又∵BE=tcm，
∴AE=CE=t+2（cm），
过C作CG⊥BE于G，如图所示：
则CG=4cm，
∵AG=
∴GE=t+2-3=t-1（cm），
在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2=CE2=AE2，
即42+（t-1）2=（t+2）2，
解得：t=,
即t=s时，四边形AECF是菱形． ...............（10分）
【解析】
1. 解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
2. 【分析】
本题考查菱形的性质，知道菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等．
菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等，两条对角线的一半和菱形的边构成直角三角形，从而可求出菱形的边长．
【解答】
解：菱形两条对角线的长分别为和．
菱形两条对角线的一半长分别为和．
菱形的边长为：．
故选：．
3. 【分析】
此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形是菱形是解此题的关键．
首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案．
【解答】
解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为：．
故选C．
4. 【分析】
本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】
解：、，与不是同类二次根式；
B、，与是同类二次根式；
C、与不是同类二次根式；
D、，与不是同类二次根式；
故选：．
5. 【分析】
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
根据配方法即可求出答案．
【解答】
解：
故选：．
6. 【分析】
本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出的长度．
【解答】
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
．
故选D．
7. 【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，被开方数大于等于；分式有意义，分母不等于即可求解．
【解答】
解：由题意得
解得：，
故选D．
8. 【分析】
本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，根据方程根的情况得出关于的不等式是解题的关键．
由方程有实数根得出，解之得出的范围，结合一元二次方程的定义可得答案．
【解答】
解：方程有实数根，
，
解得：，
又，
且，
故选：．
9. 解：由数轴可得，
，
则，，
原式．
故选：．
根据在数轴上所在的位置判断出，，再化简即可．
本题考查了绝对值和二次根式的化简．我们知道，负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身；，．
10. 略
11. 解：，
，
解得．
根据算术平方根的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．
12. 【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可．
【解答】
解：将代入方程，得，
，
．
13. 解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程定义可得：，且，再解即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
14. 【解答】
解：菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，
，
，
由勾股定理知：，
点的坐标是：．
故答案为：．
【分析】
此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出的长是解题关键．
利用菱形的性质以及勾股定理得出的长，进而求出点坐标．
15. 【分析】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．连接，根据勾股定理求出的长，然后证明四边形是矩形，得到，得到当时，线段的值最小，然后利用面积法求出的长即可．
【解答】
解：如图，连接．
，，，
，
，，，
四边形是矩形，
．
由垂线段最短可得，当时，线段的值最小，即线段的值最小，
此时，，
即，
解得，
．
16. 解：
．
故答案为：．
根据积的乘方的逆运算和平方差公式进行计算即可．
本题主要考查了积的乘方的逆运算和平方差公式，熟练掌握相关内容是解题的关键．
17. 略
18. 解：连接，交于点，连接．
点与点关于对称，
的长即为的最小值，
，是的中点，
，
在中，
．
故答案为：．
由于点与点关于对称，所以如果连接，交于点，那的值最小．在中，由勾股定理计算出的长度，即为的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点的位置．
第1页，共1页2023-2024 学年第二学期期中限时作业
x 1
7.若代数式 有意义，则 的取值范围是 ( )
八年级数学试题 x 1
A. 且 B. C. D. 且
（ 时间：120 分钟 分值：130 分 ）
8.若关于 的一元二次方程 kx2 6x 9 0 有实数根，则 的取值范围是 ( )
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30分）
A. B. C. 且 D. 且
1.下列化简正确的是 ( )
2 1 3 9.已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 a a 1
2 的结果为( )
A. 12 4 3 B. 5 5 C. 3 3 D. 8 2 6
2.若菱形两条对角线的长分别为 6和 8 ，则这个菱形的边长为( )
A. B. C. D. A. 1 B. -1 C. 1 2a D. 2a 1
3.如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， ， 若 ，则四边形 10.如图，在矩形 中， 和 相交于点 ， ， ， 是边 上一点，过
的周长是 ( ) 点 作 于点 ， 于点 ，则 EH EG的值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4.下列二次根式中，与 5 是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
1
A. 25 B. C. 10 D. 50
5 二、填空题（11-14 题每小题 3分，15-18 题每小题 4分，共 28 分）
5.一元二次方程 y2 y 3 0 配方后可化为( )
4 11.已知 ，那么 的取值范围是 .
1 2 2 2 2024(y )2 1 1 y 1 3 y 1 3 12.已知 是一元二次方程 x
2 ax b 0的一个根，则 a b 的值为 ．
A. 2 B. y 1 C. D. 2 2 4 2 4
m 3 x m 113.如果关于 的方程 3x 1 0 是一元二次方程，则 ______．
6.如图，四边形 是菱形， ， ， 于 ，则 等于( )
14.如图，若菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，点 在 轴上，则点 的
坐标是______．
24 48
A. 4 B. 5 C. D.
5 5
第 1页,共 6页 第 2页,共 6页
15.如图，在 中， ， ， ， 是 上一点， 于点 22.（本小题共 8分）
已知，如图，在 中， ， 是 的中线， 是 的中点，连
， 于点 ，连接 ，则 的最小值为________ ．
接 并延长到 ，使 ，连接 、 ．
16.计算 2023 20243 2 3 2 的结果是______．
17.若 ，都是实数，b 1 2a 2a 1 3，则 ab的值为 ．
（1）求证：
18.如图，在正方形 中， ， 是 的中点，点 是对角线 （2）求证：四边形 是菱形.
上一动点，则 PE PB的最小值为______．
23.（本小题共 9分）
三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 已知 的两边 ， 的长是关于 的一元二次方程
x2 2 n 1 x n2 2n 0
19.（本小题 8分）用适当的方法解下列方程． 的两个根，第三边 的长是 10 ．
2 (1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根．(1) 3x x 3 2 x 3 (2) 2x 4x 3 0
(2)当 为何值时, 为等腰三角形？并求 的周长．
20.（本小题 8分）计算： (3)当 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？
（1） 32 18 8 （2） 3 2 3 2 24 12 6
21.（本小题共 8分）已知直角三角形的两条直角边分别是 、，斜边是 c ，
（1）如果 a 3 1,b 3 1 ，求 c ；
（2）如果 ， ，求 及直角三角形的面积.
第 3页,共 6页 第 4页,共 6页
密 封 线 内 不 得 答 题
24. （本小题共 9分）
阅读材料：像 5 2 5 2 1 , a a a a 0 ，…… 这种两个含二次根式
的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根
式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.数学课上，老师出了一道题“已
知 ，求 的值. ” (1) 求证：
聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： (2)若 CE=12, CF=5 ,求 的长；
1 2 1
因为 a 2 1 (3)连接 ， ，当点 在边 上运动到什么位置时，四边形 是矩形，请说明2 1 2 1 2 1
理由．
所以 ．
所以 ，所以 a2 2a 1 2
所以 ，所以 ，所以 ．
请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题：
26.附加题（本小题共 10 分）
1 3 2 1的有理化因式是______， ______． 2
6 5 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2cm，AC=5cm，平行四边形 ABCD 的面积为 8cm ，E
点从 B点出发，以 1cm 每秒的速度，在 AB 延长线上向右运动，同时，点 F从 D点出发，
1 1 1 1 以同样的速度在 CD 延长线上向左运动，运动时间为 t秒．
(2) 化简 ...
3 2 4 3 5 4 2023 2022
2
(3)若 a ，求 2a2 12a 3 的值．
3 7
（1）在运动过程中，四边形 AECF 的形状是______；(直接写出结果)
（2）t=___时，四边形 AECF 是矩形；(直接写出结果)
25.（本小题共 12 分）
（3）求当 t等于多少时，四边形 AECF 是菱形，请说明理由．
如图，在 中， 是边 上的一个动点，过点 作直线 ，交 的平分线于
点 ，交 的外角 的平分线于点 ．
第 5页,共 6页 第 6页,共 6页
