课件11张PPT。指数和对数方程 指数方程指数中含有未知数x 的方程叫指数方程指数方程的类型 :
(1)af(x)=t f(x)=logat
(2) af(x)= ag(x) f(x)=g(x)
(3)af(x)= bg(x) f(x)lga=g(x)lgb
(4)a2x+pax+q=0 t2+pt+q=0
(其中a>0,a≠1, b>0,b≠1)
对数方程对数符号后含有未知数x 的方程叫对数方程对数方程的类型 :
(1)logaf(x)=t f(x)=at
(2) logaf(x)= logag(x) f(x)=g(x)
(3)logaf(x)= logbg(x)
(4)(logax)2+plogax+q=0 t2+pt+q=0
(其中a>0,a≠1, b>0,b≠1)
例1 :解方程 16x+12x=9x解: 换元,得: t2+t-1=0t = 或 t = 原方程的解为 x=(舍去)例2:已知关于x的方程2a2x-2-7ax-1+3=0
有一根是2,求的a值和方程的其它根.解:∵2是方程的根,∴代入,得a=0.5,a=3.a=0.5时,方程2(0.5)2x-2-7(0.5)x-1+3=0得:(0.5)x-1=0.5或(0.5)x-1=3∴x = 2 或 x = 1+log0.53a=3,方程2·32x-2-7·3x-1+3=0∴x = 2 或 x = 1-log32log2(x+4)+log2(x-1)=1+log2(x+8)解:log2(x+4)(x-1)=log22(x+8)(x+4)(x-1)=2(x+8)x2+x-20=0x = -5 或 x = 4经检验 x = -5 (舍去)原方程的解为 x=4例3: 解方程 例4: 解方程 xlgx=1000x2解:两边取对数:lg(xlgx)=lg(1000x2)lgxlgx=3+2lgx(lgx)2-2lgx-3=0令 lgx=t 则t2-2t-3=0解得:t1=３ 或 t2=-1即lgx=3 或 lgx=-1∴x1=1000 x2=0.1检验:x1=1000, x2=0.1 是原方程的解 例5: 解方程 logx3+logx+13=0解:例6:设x∈R,关于x的方程
lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)有解,
求:实数a的取值范围.例7:已知a>0且a≠1,试 求使方程:
2loga(x-ak)=loga(x2-a2)有解的实数k的取值范围.
小结1 ．利用对数函数的性质解简单对数方程，并注意增根的出现。 2． 应用对数函数的图象与性质
课件10张PPT。指数方程与对数方程1、指数方程的主要类型解：解：解：解：2、对数方程的主要类型解：解：解：含参数的对数方程解:思考题:【知识要点】
1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。
2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。
3.指数方程的基本类型：
（1）其解为；
（2），转化为代数方程求解；
（3），转化为代数方程求解；
（4），用换元法先求方程的解，再解指数方程。
4. 对数方程的基本类型：
（1）,其解为；
（2），转化为求解；
（3），用换元法先求方程的解，再解对数方程。
典型例题
【例1】 解下列方程：
(1)9x+6x=22x+1；
(2)log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log(2x+1)；
(3)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2.?
【解前点津】 (1)可化为关于（）x的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关于3x-1的一元二次方程.?
【规范解答】 (1)由原方程得：32x+3x·2x=2·22x，两边同除以22x得：()2x+（）x-2=0.
因式分解得：
[（）x-1]·[()x+2]=0.
∵()x+2>0，∴ ()x-1=0，x=0.
(2)由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7，经检验知：x=0为原方程解.
(3)log2(9x-1-5)=log24·(3x-1-2) 9x-1-5=4·(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.经检验x=2是原方程解.?
【解后归纳】 指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.?
【例2】 解关于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0.?
【解前点津】 利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”.?
【规范解答】 化原方程为：
∵a>，∴a2+6a-3>+6×-3>0，故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=±即x=a± (a>).?
【解后归纳】 含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围.?
【例3】 解关于x的方程：a2·4x+(2a-1)·2x+1=0.?
【解前点津】 令t=2x，则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0，决定了方程的“次数”.?【规范解答】 ①当a=0时，2x=1，x=0；
②当a≠0时，Δ=(2a-1)2-4a2=1-4a；若Δ≥0则a≤ (a≠0).?
且关于t的一元二次方程a2·t2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为>0，故两根之和为正数，即>0a<，故a≤ (a≠0)时，2x=，故a≤ (a≠0)时，x=log2为原方程之根.?
【解后归纳】 方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.
【例4】 当a为何值时，关于x的方程4x-(2a+1)·2x+a2+2=0的根一个比另一个大1.?
【解前点津】 令y=2x，则问题转化为：关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍.
【规范解答】 令y=2x，∵x1=x2+1，故2=2·2，即y2=2y1，故关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍，不妨设为m，2m.?
由 .
【解后归纳】 在不等式与方程式的混合不等式组中，常从解方程入手，将方程之根代入不等式检验便知真伪.
例5．（1）方程的解集为；
（2）方程的解集为。
解：（1） 设，则。。
（2）。
注意：在对数方程求解过程中，有些变形会改变未知数的范围，方程可能产生增根或失根，故对数方程求解后必须检验。
例6．关于的方程在区间上有解，求的取值范围。
解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。
解：由，得，因为方程在上有解，所以在函数的值内取值即可，不难求得其值域为，
所以。
例7．解关于的方程。
解：原方程可化为，设
则
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，。
课堂练习：
一、填空题
1．方程的解是。
2．方程的解集为。
3．方程的解集为。
4．方程的解集为。
5．方程的解是___________________。
二、选择题
6．方程的根的情况是 ( )
(A)仅有一个正根 (B)有两个正根 (C)有两个负根 (D)有一个正根和一个负根
7．方程的解为 ( )
(A) (B) (C) (D)
8．方程的解是 ( )
(A) (B) (C)9或-11 (D)-99
三、解答题
9．若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。
10．若，求的值。
11. 解方程:
12.已知lny-ax=lnc,求证:y=c
回家作业：
1.方程log2［log3(log5x)］=0的根是 ( )
A.1 B.9 C.25 D.125?
2.方程2=x2-x-2的解集是 ( )?
A.{1，5} B.{-1，5} C.{5} D.{1}?
3.方程：log (4-x)(x2-2x)=log(4-x)(5x-6)的根的个数是 ( )?
A.0 B.1 C.2 D.无穷多个?
4.若关于x的方程2x-1+2x2+a=0有实根，则a的取值范围是 ( )?
A.(-∞，-1) B.(-∞，-) C.( ，+∞) D.(1，+∞)?
5.方程2x+3x=5·6x-1的解集是 ( )?
A.{0} B.{1} C.{-1} D.以上都不是
6.若关于x的方程：lg(ax)·lg(ax2)=4的根都大于1，则实数a的取值范围是 ( )?
A.(0，1) B.( ，1) C. (0，) D. (1，+∞)?
8.若关于x的方程ax-a-x=b(ax+a-x)(a>0，a≠1)有解，则b的取值范围是 ( )?
A.［-1，1］ B.(-1，1) C (-∞，-1)∪[1，+∞) D. (-∞，-1)∪(1，+∞)?
9.关于x的方程|x-2|=logax(a>1)的解的个数是 ( )?
A.0 B.1 C.2 D.3?
二、思维激活
10.若关于x的方程：2x2+(3log2m-1)x-3=0和6x2+(2log2m-3)x-2=0有公共根，则使log2m为整数的m值为 .?
11.方程5=12的解集是 .
12.关于x的方程5x=lg(a+3)有负根，a∈Z，则a的值所成之集为 .?
三、能力提高
13.解方程：9x-4·3x+3=0.
14.已知关于x的方程：2logx-7·logax+3=0有一个根是2，求a值及另一个根.
15.解关于x的方程：lg(ax-1)-lg(x-1)=1.????????
16.当a为何值时，关于x的方程：2lgx-lg(x-1)=lga有一解?有两解?无解?
1.D 2.C 3.A 4.B 5.B 6.C 8.B 9.C.
10.从方程组中消去x2得公共根为：x=logm2，令u=log2m代入第一个原方程得+(3u-1)·-3=0u=2log2m=2，∵m=4.
11.两边取对数：log3(4x)·log35=log35·log3124x=12，∴x=3即解集为{3}.?
12.∵x<0，∴5x∈(0，1)即0
13.由(3x)2-4(3x)+3=0 (3x-1)(3x-3)=03x=1或3x=0或1.?
14.设另一根为m，∵Δ>0，故由根与系数关系得：loga2 (-loga2)= a=4或.?
15.由 (116.化方程为x2=a(x-1)(x>1，a>0)作函数y=x2(x>1)及y=a(x-1)(x>1，a>0)的草图，由Δ=0得a=4.?
①当0②当a=4时，原方程有一解：x=2；?
③当a>4时，原方程有不同的两解：x=.
3.6.4 简单的指数方程和对数方程
知能目标锁定
1.掌握对数方程和指数方程的定义.
2.能够求解一些简单的指数方程和对数方程.
重点难点透视
重点难点:求解一些简单的指数方程和对数方程.
学习方法点窍
指数方程问题:
⑴形如a=b(a>0且a≠1)的指数方程,当b>0时是可以解的,这要将它写成对数式x=logb即可;当b<0时,无解.
⑵形如的指数方程是可以解的,只要解方程即可.
⑶形如的指数方程是可以解的,一般可用两边取对数的方法来解.
⑷形如f()=0(a>0且a≠1)的指数方程是可以解的.一般先令=y,解方程f(y)=0,求出y的正数解后,再代入=y,解这个指数方程.
对数方程问题:
总体上,解题过程分为三步:首先由条件求x的取值范围,然后根据如下情况求解,第三步检验解.
⑴形如logf(x)=b(a>0且a≠1)的对数方程是可以解的,只要将它写成指数式即可.
⑵形如logf(x)= logg(x)(a>0且a≠1, f(x)>0, g(x)>0)的对数方程是可以解的.先由不等式组确定方程中的x的取值范围,然后在此范围内解方程f(x)=g(x) ,求出适合方程的解.
⑶形如f(logx)=0(a>0且a≠1)的对数方程是可以解的.先做变量代换,令y= logx,解方程f(y)=0,求出y的解后,再代入y= logx,解的这个对数方程的解.
⑷形如logg(x)=k(f(x)>0且f(x) ≠1, g(x)>0,k是常数) 的对数方程是可以解的. 先由不等式组确定方程中的x的取值范围,然后把原方程化为=g(x),求出在此范围内适合原方程的解.
精题巧练
一.夯实双基
1.（ ）.
A.9 B. C. D.
2.若,则m等于（ ）.
(A) 9 (B) 18 (C) 27 (D)
3.方程2·4x－5·2x+2=0的解集是（ ）.
(A)｛1｝ (B) ｛1,｝ (C) ｛－1,｝ (D) ｛－1,1｝
4.若,则x= .
5.若=1,则x=_______.
6.方程lgx=2+lg3的解是______________________.
二.循序厚积
7.解方程:
8. 解方程:
三.提升能力
9. 解方程:
10.已知lny-ax=lnc,求证:y=c
友情提示
易错点:
1.解对数方程时,先要确定方程中x的取值范围.
2.解对数方程时,必须对求得的解进行检验.
