云南省保山市2023-2024学年高二下期期中考试数学试题（无答案）

2023—2024 学年（下）高二年级期中考试数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知数列 an 的前 5 项依次为2,2 2,2 3,4,2 5 ，按照此规律，可知a =（ ） 16
A．8 B．12 C．16 D．32
2．已知抛物线C : y2 = 2px( p 0) 经过点 (1,4)，则C 的焦点坐标为（ ）
A． (8,0) B． (4,0) C． (0,4) D． (0,8)
3．某次高三统考共有 12000 名学生参加，若本次考试的数学成绩 X 服从正态分布 N(100, 2) ，已知数学成绩在
4
70 分到 130 分之间的人数约为总人数的 ，则此次考试中数学成绩不低于 130 分的学生人数约为（ ）
5
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
1 2 2
4．若随机变量 X 服从二项分布 B n, ，且P (X = 3) = P (X = 4) 0，则Cn +An =（ ）
2
A．39 B．50 C．63 D．68
5
3 2
5．已知 (ax + x) x 的展开式中不含常数项，则实数a =（ ）
x
1 1
A．1 B． C． D． 1
2 2
x2
6．已知椭圆C : + y2 =1，点M (0,1)关于直线 l : y = x + t 的对称点N 在C 上，且点M 与N 不重合，则 t =
5
（ ）
1 1 2
A． B． C． D． 1
3 2 3
7．为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的球，其中甲袋中为 4 个黑球和 6 个
白球，乙袋中为 3 个黑球和 5 个白球．顾客要从甲袋中随机取出 1 个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随
机取出 1 个球，若从乙袋中取出的球是黑球，则获得 100 元消费券，否则获得 50 元消费券．则顾客获得 100 元消
费券的概率为（ ）
4 17 26 11
A． B． C． D．
15 45 45 15
lnx x + 2a
8．若对任意 x (0,1) , 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
x ex+2a
1 1 1
A． , B． 0,+ ) C． 1,+ ) D． ,+
2 2 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若P (N ) 0，则P (M N ) P (MN )
B．若P (M ) = 0.64, P (M N ) = 0.32 ，则P (MN ) = 0.32
1
C．若随机变量 X B n, ，且D (3X + 2) =12，则E (3X + 2) = 8
3
CkC3 k 1
D．若随机变量 X 的分布列为 P (X = k ) = 2 13 (k = 0,1,2)，则E (X ) =
C315 3
10．已知等差数列 an 满足a = 5,a + a = 20，等比数列 bn 满足b = 2,b b = 32，则下列说法中正确（ ） 2 4 5 1 2 3
A．数列 nanbn 的前 3 项和为 86 B．数列 ( 1) an 的前 50 项和为 50
1 1
C．若数列 的前n 项和为Tn ，则Tn
ana 6n+1
D．若cn = ln (bn+1 + bn )，则 cn 是公差为 ln3的等差数列
11．已知直线 l : kx + y k 1= 0过定点P ，且与圆O : x2 + y2 = 4相交于 A, B 两点，则（ ）
A．点P 的坐标为 (1,1) B． AB 的最小值是2 3 C．OA OB 的最大值是 0 D．PA PB = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括 2 份主食和 2 杯饮料，主食有 5 种可供选择，饮料有 4 种可供
选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有_________种．（用数字作答）
13．设 ( 2x +1)6 = a + a x + a x20 1 2 + a x
3
3 + + a6x
6
，则 a1 + a2 + a3 + + a6 = _________。
14．已知函数 f (x) = 2x3 3x ，过点P (1,m)且与曲线 y = f (x)相切的直线有 3 条，则实数m 的取值范围是
_________。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
a2 a3 a n在数列 a 中，a1 + + + +
n =
n ．
3 5 2n 1 3
（Ⅰ）求 an 的通项公式；
（Ⅱ）设bn = an ，求数列 bn 的前 12 项和，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9 = 0， 2.6 = 2．
16．（15 分）
如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD为矩形，PD ⊥平面
ABCD, AB = 2,BC = 2,PD = 3,E为棱DC 的中点．
（Ⅰ）证明： AE ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若F 为棱PC 的中点，求平面 ABF 与平面PBC 的夹角的 余弦值．
17．（15 分）
某校组织全校学生参加“防范校园欺凌”知识竞赛，现从中随机抽取了 100 名学生，将他们的得分（满分：100 分）
分成如下 6 组： 40,50) , 50,60), 60,70), , 90,100 ，绘制成频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求a 的值，并估计这 100 名学生的平均得分．（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
（Ⅱ）若该校决定奖励竞赛得分排名前40%的学生，小明本次竞赛获得 78 分，估计他能否获得奖励．
（Ⅲ）从样本中竞赛得分不低于 80 的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取 10 人进行学习交流，再从参加
学习交流的学生中任选 3 人，记这 3 人中得分在 90,100 内的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望．
18．（17 分）
x2 y2
已知双曲线C : =1(a 0,b 0)的左焦点为F ，左顶点为M ，虚轴的上端点为P ，且
a2 b2
PF = 6, PM = 5 ．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线 l 的斜率是C 的斜率为正的渐近线的斜率的 2 倍，且 l 与C 交于 A, B 两点，直线PA, PB 的斜率之和
10
为 ，求 l 的方程．
17
19．（17 分）
已知函数 f (x) = ex 1 ax 存在两个零点．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
lnx
（Ⅱ）若当 x 0时， f (x) + ax k +1 恒成立，求实数k 的取值范围．
x