7.2复数的四则运算 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

7.2复数的四则运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若，纯虚数z满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知复数满足（i为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知复数，是方程的两个不同的根，则（ ）
A． B． C． D．1
5．已知为虚数单位，满足，则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若，则点z的集合所构成的图形的面积为
10．若复数（为虚数单位），其中真命题为（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
11．已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，且，则
B．若复数满足，则
C．若，则
D．若复数，满足，则
12．已知复数，，则（ ）
A．为纯虚数
B．复数在复平面内对应的点位于第四象限
C．（注意：表示复数的共轭复数）
D．满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线
三、填空题
13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
14．设复数（为虚数单位），则 .
15．已知为虚数单位，，复数在复平面内对应的点在第四象限，写出满足题意的的一个值为 ．
16．已知复数，若是关于的方程的一个根，则 ；若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限．
(1)求的值；
(2)若为纯虚数，求的值．
18．已知复数（其中是虚数单位，）．
(1)若复数是纯虚数，求的值；
(2)求的取值范围．
19．已知复数z为纯虚数，是实数，i是虚数单位．
(1)求复数z；
(2)若复数所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围．
20．（1）若复数（为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，求实数；
（2）已知为虚数单位，复数为纯虚数，求实数的值.
21．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
(1)若函数的对称中心为，求函数的解析式．
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程，在复数集内的根为，，则方程可变形为，展开得：则有，即，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．
①若，方程在复数集内的根为，当时，求的最大值；
②若，函数的零点分别为，求的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】设，根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式求出的关系，进而可得出答案.
【详解】设，
则，
又因为，
所以，化简得，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】利用纯虚线的定义假设，再利用复数的四则运算与复数相等的条件得到关于的表示，从而得解.
【详解】设（，且），
则，
所以，，则.
故选：B.
3．D
【分析】根据负数的乘法运算结合共轭复数的定义求解即可.
【详解】因为，所以，即，则的共轭复数是．
故选：D．
4．A
【分析】方法一：由根与系数关系得出，结合，，代入计算即可；方法二：利用求根公式分别求出，代入计算即可．
【详解】方法一：由题意，得，且，，则．
方法二：由求根公式，得．
不妨设，，则，，所以．
故选：A．
5．B
【分析】根据题意，结合复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数，可得，则，
则复数对应点位于第二象限.
故选：B.
6．B
【分析】由的性质利用分组求和法求得后可得．
【详解】
,
则所求虚部为.
故选：B．
7．C
【分析】先利用复数的几何意义得到复数，再利用复数的乘法公式求解.
【详解】解：由复数的几何意义可知，，
则，
对应的点的坐标为，该点位于第三象限．
故选：C．
8．B
【分析】根据复数乘除法和共轭复数概念计算即可.
【详解】，在复平面内对应的点的坐标为.
故选：B.
9．ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；由复数的大小关系判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的模的几何意义判断选项D.
【详解】设，,
对于A，，，故选项A正确；
对于B，当为虚数时，可以比较大小，不能比较大小，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
，
所以，故选项C正确；
对于D，若，则复平面内点z的集合所构成的图形是以为圆心，半径为1和的两圆之间的圆环，
面积为，故选项D正确.
故选：ACD
10．ABC
【分析】利用共轭复数的定义计算判断A；由复数的乘法的运算判断BD；根据复数的除法运算的模长关系判断C．
【详解】对于选项A：由已知，故A正确；
对于选项BC：时，则，
可得，，故B正确；
，故C正确；
对于选项D：因为，，
显然不一定成立，例如，故D错误．
故选：ABC．
11．ABD
【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D.
【详解】对于A选项，令，a，，则，
因为，且，所以，则，故，故A正确；
对于B选项，令，则由，得，
所以，故B正确；
对于C选项，令，，此时，，，故C错误；
对于D选项，令，，
则，所以，
，故D正确.
故选：ABD
12．AD
【分析】借助复数的加减、乘除运算法则，复数的几何意义与共轭复数的定义逐项判断即可得.
【详解】对A：，故为纯虚数，故A正确；
对B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误；
对C；，
，故，故C错误；
对D：令，，则由可得：
，即，
故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确.
故选：AD.
13．10
【分析】利用方程的根的定义，将代入方程，整理成，由实部与虚部均为0，列方程组求解即得.
【详解】因是关于的实系数方程的一个复数根，则有，
化简得，，故有，解得.
故答案为：10.
14．0
【分析】由复数的除法运算求解.
【详解】，
所以.
故答案为：0
15．（答案不唯一，只要满足的整数值即可）
【分析】根据复数的除法运算求出复数对应的点的坐标，列出不等式组，求出a的范围，即可求得答案.
【详解】复数，对应的点的坐标为，
则由题意得，解得，故可填（答案不唯一），
故答案为：
16．
【分析】由是关于的方程的一个根，可得，即可求解的值；由已知，可得在复平面内对应的点，即可求解.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，解得；
因为，所以，
所以复数在复平面内对应的点为，
又复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，
解得，
所以的取值范围为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由题得，结合得出，由复平面中所对应的点在第二象限即可求解；
（2）由为纯虚数即可求得，再根据二倍角的正切公式计算即可．
【详解】（1）因为，所以，
因为，则有，解得，
又因为所对应的点在第二象限，所以，所以．
（2）因为为纯虚数，
所以，即，
显然，否则，不满足，
所以，
所以．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先对复数进行化简，然后结合是纯虚数可求的值；
（2）结合复数的模长公式，表示出，利用二次函数的知识求解.
【详解】（1）
若复数是纯虚数，则，所以.
（2）由（1）得，，
因为是开口向上的抛物线，有最小值,
所以.
19．(1)
(2)实数的取值范围为
【分析】（1）根据复数的除法运算，得到复数的实部与虚部，由复数是实数的充要条件解出的值即可；
（2）根据复数的乘法运算，得到复数的代数形式，再由复数所表示的点在第二象限，建立不等式求解即可.
【详解】（1）由已知复数为纯虚数，设且，
所以，
又因为是实数，所以，解得，即.
（2）因为，所以
，
又因为复数所表示的点在第二象限，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
20．（1）；（2）
【分析】（1）根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其实部与虚部，从而得到方程，解得即可；
（2）根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可.
【详解】（1）因为，
则的实部为，虚部为，
依题意，解得.
（2）因为复数为纯虚数，
所以，解得.
21．(1).
(2).
【分析】（1）确定为奇函数，根据得到，解得答案；
（2）①根据根与系数的关系确定，代入计算得到，根据范围得到最值；②取变换得到，得到根与系数的关系，确定，计算得到答案.
【详解】（1）由为奇函数，则恒成立.
即，
整理得：恒成立，故，解得，
故.
（2）①若，则，由题有的三个实根为.
设，
展开得，
故，
则，
又，故，
综上：当时，的最大值为；
②时，，由有，
同时除以得，令，，，
由题知是方程的三个根，
则，
展开得，，
则.
【点睛】方法点睛：整体换元法可以简化分式的大部分运算，也体现了数学中转化思想.
答案第1页，共2页
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