7.3复数的三角表示 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

7.3复数的三角表示同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．复数分别对应复平面内的点，若将按逆时针方向旋转得对应复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．将代数形式的复数改写成三角形式为（　　）
A． B．
C． D．
4．复数的辐角的主值为（ ）
A． B． C． D．
5．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知复数z满足，且，则=（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
8．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）
A． B．为实数
C． D．复数对应的点位于第三象限
二、多选题
9．已知i是虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．已知，若，则
B．复数满足，则
C．复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线
D．复数z满足，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．复数的辐角的主值为
B．复数的辐角的主值为
C．复数的代数形式为
D．复数的三角形式为
11．下列结论中错误的是（ ）．
A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍；
B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；
C．实数0不能写成三角形式；
D．复数0的辐角主值是0．
12．已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ．
14．若，则 ．
15．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是 ．
16．将复数z=3化成代数形式为 ;|z|= .
四、解答题
17．把下列复数表示成三角形式．
(1)；
(2)
(3)；
(4)
18．在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为
(1)求复数；
(2)若复数，求复数.
19．设i为虚数单位，n为正整数，．
(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；
(2)若复数，利用（1）的结论计算．
20．已知，且，若．
(1)求复数的三角形式与；
(2)求．
21．已知（且）．
(1)证明：；
(2)设z的辐角为，求的值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得旋转后对应的复数为.
【详解】根据题意可知，
复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转可得，
即所得的向量对应的复数为.
故选：A
2．A
【分析】由复数的几何意义以及四则运算即可求解.
【详解】由题意，
所以，
所以.
故选：A.
3．D
【分析】
根据题意，结合复数的三角形式的表示方法，即可求解.
【详解】
因为复数在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得，
所以，所以.
故选：D.
4．C
【分析】根据辐角主值的定义求解.
【详解】
.
∵，∴，，
∴.
∵辐角的主值的取值范围为，
∴复数z的辐角的主值为.
故选：C.
5．D
【分析】利用复数的三角形式即可得解.
【详解】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.
故选：D.
6．B
【分析】由题设令，利用复数除法化简，再由复数相等求.
【详解】令，则，
所以，
则，故.
故选：B
7．C
【分析】把复数变为一个角的三角形式即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
8．C
【分析】
利用复数的欧拉公式可判断AB选项；利用欧拉公式以及复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C选项；利用欧拉公式以及复数的几何意义可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，为纯虚数，B错；
对于C选项，因为，
因此，，C对；
对于D选项，，则，，
所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，D错.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据虚数不能比较大小可知A错误；根据共轭复数的定义可判断B；根据复数的几何意义可判断C；根据复数的运算法则进行计算，可判断D.
【详解】对A，虚数不能比较大小，可知A错误；
对B，根据共轭复数的定义知，当时，，
则，故B正确；
对C，因为复数z满足，
则复数在复平面上对应的点到两点间的距离相等，
则复数在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，
即在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C正确；
因为，
则，
又，
故D正确，
故选：BCD.
10．AC
【分析】
根据辐角主值的定义可判断AB的正误，根据代数形式和三角形式的转化规则可判断CD的正误.
【详解】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确；
对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故，故D错误.
故选：AC.
11．ACD
【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0的辐角性质判断各项的正误即可.
【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；
B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；
C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；
D：复数0的辐角主值不唯一，错误.
故选：ACD
12．ABC
【分析】
根据同角三角函数关系和复数模的运算即可判断A，根据复数乘方运算即可判断B，根据复数乘法代数运算即可判断C，根据复数模的计算和余弦函数的有界性即可判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，因为复数，则，
则，而，则，故B正确；
对于C，，C正确；
对于D，由题意得，
，
因为，则当，故D错误.
故选：ABC．
13．
【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解.
【详解】解：设向量对应的复数是，则，
所以对应的复数是：
，
，
所以的坐标是，
故答案为：
14．1
【分析】利用复数的三角形式，代入计算可得
【详解】由，
所以，
综上，，
故答案为：1
15．
【分析】
根据棣莫弗公式直接计算即可.
【详解】因为，由棣莫弗公式可得：
.
故答案为：.
16． 3
【分析】利用特殊角的三角函数值，即可得到答案；
【详解】，
故答案为：
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】
根据复数的三角表示公式，可得答案.
【详解】（1），
其中，故三角形式为；
（2）由，则，，
显然复数对应的点在第三象限，所以的辐角，
所以.
（3），
其中，故三角形式为；
（4）因为，所以，复数对应的点在轴的负半轴上，取，
所以.
18．(1)，
(2)
【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数；
(2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可.
【详解】（1）复数逆时针旋转后得,
顺时针旋转后得.
（2）由（1）得.
19．(1)
(2)
【分析】
（1）观察规律即可得；
（2）由特殊角三角函数得，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可.
【详解】（1）由观察得；
（2），
由（1）得
20．(1)，
(2)
【分析】（1）求出复数的模和辐角主值后，可得复数的三角形式；
（2）根据，以及求出，将和代入可求出结果.
【详解】（1）因为，所以其模，设其辐角为，
则，，
因为复数对应的点在第四象限，所以，
所以复数的三角形式为.
（2）因为，所以，
因为，所以,
所以，所以，
所以.
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，只需乘，此式移项化简即可．
（2）由（1）知，的辐角为时，复数的实部为，利用复数的性质构造即可．
【详解】（1）证明：由
，
得．
因为，，
所以．
（2）解：因为．可知，
所以，而，所以，，同理，，
由（1）知，
即，
所以的实部为，
而的辐角为时，复数的实部为，
所以．
答案第1页，共2页
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