8.1基本立体图形 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.1 基本立体图形 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知四面体的各个顶点都在球O的表面上，，，两两垂直，且，，，E是棱BC的中点，过E作四面体外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为，山高为是山坡上一点，且．现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是，上的动点，则的周长的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．
4．已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，且平面为的中点，为平面内一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
5．在三棱台中，G，H分别是AB，AC的中点，则与（ ）
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
6．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列判断正确的是（ ）
A．由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的几何体是正六棱柱
B．一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的几何体是圆台
C．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点，则这两点的连线是圆柱的母线
D．一个圆绕其一条直径所在的直线旋转形成的封闭曲面围成的几何体是球
10．已知圆锥的侧面积为，母线，底面圆的半径为r，点P满足，则（ ）
A．当时，圆锥的体积为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
11．在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，，则（ ）
A．该正四棱台的高为3
B．该正四棱台的侧面面积是
C．球心到正四棱台底面的距离为
D．动点的轨迹长度是
12．如图，正方体的棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）

A．的最小值为
B．的最小值为
C．三棱锥的体积为
D．以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线长为
三、填空题
13．正四面体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则该正四面体的外接球被平面所截得的截面面积为 ．
14．在直三棱柱中，，底面ABC是边长为6的正三角形，若M是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为 ．
15．如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．

16．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．

四、解答题
17．（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；

（2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.

18．图（1）是长、宽、高分别为的长方体；图（2）是所有棱长均为2的正三棱锥，点是的中点．画出图中给出的所有侧面、底面与截面的真实平面图．
19．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，求的取值范围．

20．已知正方体的棱长为3，M，N分别为，上的点，且，P，Q分别为，上的动点，求折线MPQN长度的最小值.

21．已知长方体中.

(1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线；
(2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】把四面体放到长方体中，根据球的几何性质进行求解即可.
【详解】设所得截面圆的面积为，半径为r．因为，，两两垂直，
故可将四面体放入长方体中，如图所示，
易得外接球半径．
过E作球O的截面，当所得截面圆的面积最大时，截面为过球心的圆面，
，当所得截面圆的面积最小时，截面为与最大截面垂直的圆面．
在内，，所以，即，
，所以．
故选：B．
2．D
【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值．
【详解】依题意，半径为，山高为，则母线，
底面圆周长，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角，
如图，是圆锥侧面展开图，
显然，
由点向引垂线，垂足为点，此时为点和线段上的点连线的最小值，
即点为公路的最高点，段为上坡路段，段为下坡路段，
由直角三角形射影定理知，即，解得，
所以公路上坡路段长为．
故选：D
3．C
【分析】如图，的周长为，根据余弦定理计算即可求解.
【详解】如图，

将以为旋转轴，旋转到与平面同一个平面，
由，得，所以，
又，所以的周长为，
又，所以，
在中，由余弦定理得，，
即的周长的最小值为.
故选：C
4．A
【分析】根据题意，由条件可得，然后结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】
平面平面平面平面.
如图，设点关于平面对称的点为，连接，，
则四边形为平行四边形且.
连接（当且仅当三点共线时取等号）.
取的中点，连接，
则平面平面.
在中，由余弦定理，得，
，的最小值为.
故选：A.
5．C
【分析】根据中位线得到线线平行，结合三棱台的性质得到答案.
【详解】如图所示，
因为G，H分别是AB，AC的中点，
所以，又由三棱台的性质得，
所以．
故选：C
6．D
【分析】依题意画出直观图，则四个金属原子的球心的连线所围成的图形为正四面体，设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，求出外接球的半径，即可得到，从而得解.
【详解】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体，
设正四面体的棱长为，高为，外接球球心为，为正三角形的中心，
则必有平面且，，三点共线，
在正三角形中，易求得，
在中，由，可得，
在中，由，得，
解得，
由题意得，所以，
所以．
故选：D．
7．D
【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：，
两式相除解得，；
所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高，
设圆锥的内切圆半径为，，解得.
故选：D.
8．D
【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出，最后按照圆的周长求得即可.
【详解】
由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周，
如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，
，设，，
在和中使用勾股定理有，
解得，于是点P的轨迹的长度.
故选:D.
9．ABD
【分析】由多面体和旋转体的定义和结构特征，判断选项中的结论是否正确.
【详解】有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，
满足相邻两个矩形的公共边都互相平行，且公共边必定垂直于底面，故该几何体是正六棱柱，A正确；
等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，
每个直角梯形旋转形成半个圆台，故该几何体为圆台，B正确；
当上、下底面圆周上两，点的连线与轴平行时才是母线，C错误；
一个圆绕其一条直径所在的直线旋转形成的封闭曲面围成的几何体是球，D显然正确．
故选：ABD.
10．AC
【分析】
对于A，由侧面积以及底面半径得母线长，结合勾股定理得高，由圆锥体积公式验算即可；对于B，首先得出轴截面为钝角，从而可得要使过顶点S和两母线的截面三角形的面积最大，由面积公式只需截面截出的三角形的顶角是即可验算；对于C，将侧面展开得，由余弦定理即可验算；对于D，已知四面体外接球半径为，只需看此时圆锥的内切球半径与的大小关系即可判断.
【详解】由已知，，
当时，，此时圆锥的高为，
此时圆锥的体积为，A正确；

当时，设圆锥轴截面为，
因为圆锥的侧面积为，所以，
即，，，
所以为钝角，
故截面三角形的最大面积为，B错误；

当时，，侧面展开图的弧长为，沿将侧面展开，得扇形，
所以圆心角为，
又，所以，
在中，由余弦定理得，Ｃ正确；

将正四面体放到正方体内，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
若正四面体的棱长为，则正方体的棱长为1，则外接球半径为，

由题圆锥的母线时，其侧面积为，
则圆锥的高，
设内切球半径为，球心为，球与母线相切于，则，
易知，则，
解得，不可以任意转动，D错误．
故选：AC．
【点睛】
关键点点睛：判断D选项的关键是求出已知四面体外接球半径，和此时圆锥的内切球半径，将它们进行比较即可顺利得解.
11．BC
【分析】A选项，作出辅助线，得到棱台的高，利用直角三角形，计算求解得出答案；B选项，作出辅助线，得到侧高，求出侧面积；C选项，找到外接球的球心，设，利用半径相等得到方程，求得结果；D选项，求出的轨迹为以为圆心，以为半径的圆在正方形内部部分，求出轨迹长度.
【详解】对于A，取正方形的中心，正方形的中心，连接，，，
则平面，过点作于点，则平面，
，，，，，，
故，，，
，由勾股定理得，故A错误；
对于B，过点作于点，则，
故，正四棱台的侧面面积是，故B正确；
对于C，正四棱台的外接球球心在直线上，连接，，则，如图所示．

设，则，
由勾股定理得，，，解得，故C正确；
对于D，由勾股定理得，故点的轨迹为以为圆心，
以为半径的圆在正方形内部部分，如图，

其中，故，又，
由勾股定理得，
由于，，故，
故动点的轨迹长度是，故D错误．
故选：BC
12．ABD
【分析】对于选项A，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.
【详解】对于A，为边长为的等边三角形，的最小值即该等边三角形的高，为，故A正确；

对于B，如图，将等边绕旋转到与平面共面，
显然，故B正确；
对于C，当P在D上时，，故C错误；
对于D，设点B到平面的距离为d,
，
，
，，
以点B为球心，为半径的球面与面在正方体内的交线是以中心为圆心，以为半径的圆，

如图，圆有一部分在正方体外，，由A得，
，所以，，
所以有圆周在正方体内部，其长度为，故D对.
故选：ABD.
13．/
【分析】设为的中心，连接，与平面交于点，可知，设为正四面体外接球的球心，则在上，连接，，可得，，设正四面体外接球的半径为，由可得的值，正四面体的外接球被平面所截得的截面图形为圆，设该圆的半径为，由即可求解.
【详解】
设为的中心，连接，与平面交于点，
则平面，平面，
由题意可知平面平面，且，
设为正四面体外接球的球心，则在上，连接，，
因为为正三角形的中心，所以，
在中，，
所以，
设正四面体外接球的半径为，则，
即，解得，
所以，
正四面体的外接球被平面所截得的截面图形为圆，设该圆的半径为，
则，所以，
所以截面圆的面积为.
故答案为：.
14．
【分析】分析题意，将题目转化为求外接球半径与点到球心距离和的问题，求解即可.
【详解】若底面ABC是边长为6的正三角形，
则外接圆的半径为，内切圆半径为，
设三棱柱外接球的半径为，且已知，
可得，解得，
设三棱柱外接球的球心与内切圆上一点的距离为，
故，则的最大值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是确定取得最大值的情况，然后将目标式合理转化，得到所要求的线段和即可．
15．
【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得周长的取值范围．
【详解】过点在平面内作，垂足为，如下图

易知，，
由勾股定理可得，则由题可得，
设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，
因为平面，当平面，取最大值，即，所以，
所以平面截得球的截面面积最小值为．
由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为，
如图：

则，，
由勾股定理可得，令，则，其中，
所以，
所以，
因此，所以周长的取值范围为．
故答案为：；
【点睛】方法点睛：选择填空题中，遇到求函数的最小值问题，常见的方法有：
1.转化为二次函数的值域问题求解；
2.利用基本（均值）不等式求最值；
3.通过换元，转化成三角函数的值域问题求解；
4.利用导数分析函数单调性，求函数的最值.
16． 1
【分析】求出圆柱的高，即可求解圆锥过轴的截面面积，通过比例关系求出圆柱的底面半径即可．
【详解】圆锥的高，圆锥过轴的截面面积为：；

设圆柱的底面半径，由相似知识可知，解得．
故答案为：；1．
17．（1）答案见解析（2）
【分析】（1）依题意画出即可；
（2）借助勾股定理，分别计算以为轴展开、以为轴展开、以为轴展开所得矩形的对角线的长度，取其中最小即可.
【详解】（1）平面展开图如图所示：

（2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
①如图（1），以为轴展开，；
②如图（2），以为轴展开，；
③如图（3），以为轴展开，；

综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：.
18．见解析
【分析】可由长、宽、高分别为的长方体，利用勾股定理求得,,,进而画出的长方体侧面、底面与截面；
根据已知得出，进而画出正三棱锥的侧面、底面与截面.
【详解】图(1)是长、宽、高分别为的长方体;
可得:,,,
可得其侧面、底面与截面的真实平面图如下:

图(2)是所有棱长均为2的正三棱锥,点是的中点,可得,
可得其侧面、底面与截面的真实平面图如下:

19．
【分析】设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得其取值范围.
【详解】由题可知点在球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设在底面的射影为，

则，，，
，
设，则，
，
所以
，
所以.
20．
【分析】根据题意，将正方体的面，，展开成平面图形，结合图形，得到在一条直线上时，折线的长度最小，利用平面图形的性质，即可求解.
【详解】如图所示，将正方体的面，，展开成如图所示的形状，
由图可得，当在一条直线上时，折线的长度最小.
作分别与正方形的边平行，
因为正方体的棱长为3，且，所以，，
所以，即折线长度的最小值为.

21．(1)
(2)
【分析】（1）（2）将长方体的面展开到同一平面，求出线段的长，分三种情况，求出结果，比较大小，确定最短路线长.
【详解】（1）如图，

①将长方形与平面展开到同一平面，如图1所示，

连接，此时，
②将长方形与长方形展开到同一平面，如图2，

连接，此时，
③将长方形与长方形展开到同一平面，如图3，

连接，此时，
因为，
所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是.
（2）当，，且，由上可得
或或，
由可得，即，
所以，
所以，即，
所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是.
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