8.2立体图形的直观图 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.2 立体图形的直观图 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ）
A．6 B． C．12 D．
3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是水平放置的在斜二测画法下的直观图．若，，，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（ ）
A． B．
C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
7．如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△是水平放置的直观图，其中，//轴，//轴，则（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多选题
9．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．若梯形面积为，则其斜二测画法直观图面积为
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
10．如图，已知等腰三角形，则如图所示的四个图形，可能是的直观图的是（　　）

A． B． C． D．
11．已知一个正方形的直观图是如图所示的一个平行四边形，直观图中有一边长为4，则此正方形的面积可能是（ ）
A．16 B．64 C．8 D．32
12．如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形的周长为 .

14．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为 ．
15．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形ABCD的面积为 .
16．如图，水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图是，已知，，则AB边的实际长度是 ，△ABC的面积为 ．
四、解答题
17．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形.求原三角形的面积；
（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，能否判断的形状；
（3）若（2）中的边A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
18．如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．

19．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元)
20．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积；
(2)若该四边形以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
21．（1）已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积．
（2）如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状．

（3）若（2）中的，，则中AB的长度是多少？
（4）若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知，，
所以,
故选：C．
2．D
【分析】先将直角坐标系中的原图作出，再比对直观图与原图直接求出即可.
【详解】
由题意得的原图如图所示，其中D为的中点，且，
，
所以，故.
故选：D.
3．D
【分析】由斜二测画法作出原图，根据图形中线段的长度计算即可.
【详解】在已知直观图中，，如图，
在原图形中，，，，
，
故选：D.
4．B
【分析】先求出，再根据求解即可.
【详解】由已知得，
所以.
故选：B.
5．D
【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解.
【详解】因为，由直观图可知，，
所以还原平面图形中，，，在中，,
则三角形的周长为.
故选：D
6．D
【分析】由圆锥的三视图结合条件可得.
【详解】由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥.
故选：D．
7．D
【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解.
【详解】依题意，四边形是平行四边形，，
如图，是的直观图，，
所以四边形的直观图面积为.
故选：D
8．C
【分析】在△中由余弦定理求得，结合斜二测画法求得，再根据勾股定理即可求得.
【详解】在△，，，
由余弦定理可得：，
即，而，解得；
由斜二测画法可知：△中，，，，
故.
故选：C.
9．AC
【分析】根据斜二测画法的概念，空间几何体的概念判断各选项．
【详解】如图，，由斜二测画法，
直观图面积为，
任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形，
通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用．
所以时，，故A正确；
底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，故B错误；
正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形，因此它是长方体，故C正确；
直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，
若以斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个共底的圆锥组合而成，故D错误．
故选：AC．
10．CD
【分析】分和两种情况说明.
【详解】当时，其直观图是C；
当时，其直观图是D.
故选：CD.

11．AB
【分析】根据边所在位置进行讨论，进一步计算即可.
【详解】直观图中一条边长为4，此边可能在轴上，也可能在轴上.
若在轴上，则原正方形的边长为4，面积为16；
若在轴上，则原正方形的边长为8，面积为64.
故选：.
12．AD
【分析】根据斜二测画法规则确定点的位置，再作出，逐项计算判断即可.
【详解】在直观图中，，取中点，连接，
则，而，于是，，
由斜二测画法规则作出，如图，
则，，
，，
显然，AD正确，BC错误.
故选：AD
13．
【分析】把直观图还原为平面图形，根据斜二测法求出相应的线段长，即可求出原平面四边形的周长.
【详解】把直观图还原为平面图形，如图所示，
依题意，，
所以，，
则，
所以原平面四边形的周长为.
故答案为：

14．/
【分析】根据直观图还原为原图，结合长度关系可得答案.
【详解】根据平面图形的直观图还原为平行四边形如图所示，所以，
所以，所以，
所以四边形的周长为，四边形的面积为，
所以四边形周长与面积的数值之比为．
故答案为：
15．
【分析】根据图形与其斜二测画法图形面积之间的关系求解即可.
【详解】由题意，，
由原图形面积与斜二测画法图形面积之间的关系，
可得.
故答案为：
16． 10 24
【分析】将直观图还原后可求AB边的实际长度及△ABC的面积.
【详解】根据斜二测画法可得平直角坐标系中的△ABC（如图所示）.
其中，，且△ABC为直角三角形，
故，面积为，
故答案为：10,24.
17．（1）（2）能（3）10
【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解.
【详解】（1）∵直观图的面积S直＝S原，S直＝a2，∴S原＝a2，
即原三角形ABC的面积为a2.
（2）由斜二测画法规则知，故为直角三角形.
（3）由已知得在直角中，，
故.
18．作图见解析
【分析】根据斜二测画法的定义和步骤即可求解.
【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系，
再建立如图②所示的坐标系，使.
(2)在坐标系中，在轴上截取；
在轴上截取，使.
(3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).

19．812元
【分析】在直观图中，过点作，垂足为，先求出直观图的面积，再利用，求出原图形的面积，即可求得答案.
【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图：
则在中，，，所以，
又四边形为矩形，，
所以，则，
由此可得，
又，
所以，
故这块菜地所产生的总经济效益是 (元).
20．(1)作图见解析，4；
(2)，．
【分析】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出的边长，即可求出四边形的面积.
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，求出相关量，再利用锥体、柱体的体积与表面积公式求解.
【详解】（1）在直观图中，，，
则在平面图形中，，，于是，
所以平面四边形的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为．
（2）直角梯形以OA为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即；
圆锥的高为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
21．（1）；（2）为直角三角形；（3）10；（4）
【分析】（1）根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果；
（2）由直观图可知，即为直角三角形；
（3）由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果；
（4）利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果.
【详解】（1）由直观图与原图之间的关系可得 ．
（2）由斜二测画法规则知，故原为直角三角形．
（3）由已知可得在中，，，故．
（4）原三角形面积为（a为三角形的底，h为三角形a边上的高），
画直观图后，，，
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页