8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）．
A． B． C． D．
3．已知正方体的外接球的体积为，点为棱的中点，则三棱锥的体积为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知在直三棱柱中，，，为线段的中点，点在线段上，若平面，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的花盆为正四棱台，上口宽，下口宽，棱长，则该花盆的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，为球面上四点，，分别是，的中点，以为直径的球称为，的“伴随球”，若三棱锥的四个顶点在表面积为的球面上，它的两条边，的长度分别为和，则，的伴随球的体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知半径为的球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，若正四面体的棱与球的球面有公共点，则正四面体的棱长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图（1）是一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器倒置，水面也恰好过点（图（2））．下列四个命题中，正确的有（ ）
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．在图1容器中，若往容器内再注入升水，则水面高度是容器高度的
C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
10．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则（ ）
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
C．勒洛四面体中过三点的截面面积为
D．勒洛四面体的体积
11．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置无关
D．的最小值为
12．已知长方体的棱，，点满足：，，下列结论正确的是（ ）
A．当时，点到平面距离的最大值为
B．当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
C．当，时，到的距离为2
D．当，时，四棱锥的体积为1
三、填空题
13．如图，某圆台上、下底面的圆周都在球的球面上，且球的球心与该圆台下底面圆的圆心重合，若该圆台下底面圆的半径为13，母线长为，则该圆台的体积为 ．
14．已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是 .
15．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，切割这个正四棱柱，得到四棱锥，则这个四棱锥的表面积为 .
16．如图，在正四棱锥中，若底面边长为，棱锥的高为，且正四棱锥的体积为32，当正四棱锥的外接球的体积最小时，其侧棱长为 ．
四、解答题
17．如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的体积．
(2)求此旋转体的表面积．
18．如图，在中，是的中点，现将Rt以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且.
(1)求圆锥的表面积；
(2)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值.
19．如图，四边形ABCD是圆柱底面圆的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，，C是上的一个动点.
(1)求圆柱的表面积
(2)求四棱锥的体积的最大值
20．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值；
(3)求圆锥的内切球体积．
21．如图，已知在正四棱锥中，，.

(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据圆台的轴截面图，结合圆台和球的结构特征求解，然后代入圆台体积公式求解即可.
【详解】如图，
设圆台上、下底面圆心分别为，
则圆台内切球的球心O一定在的中点处，
设球O与母线切于M点，
所以，
所以，
所以与全等，
所以，同理，所以，
过A作，垂足为G，
则，，
又，
所以，
所以，所以，
所以该圆台的体积为.
故选：D.
2．A
【分析】根据余弦定理求，结合正弦定理求解外接圆半径，再根据三棱柱的外接球球半径与三棱柱的高以及外接圆半径的关系得出结果.
【详解】如图所示，在中，，，，
由余弦定理可得，所以，
由正弦定理可得外接圆半径，
设此圆圆心为，球心为，在中，，易得球半径，
故此球的表面积为．
故选：A．
3．B
【分析】由正方体的特征及球的体积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可.
【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线，
所以，
所以.
故选：B
4．A
【分析】解法一：根据题意，将三棱锥及平面，得到的外接圆圆心为的中点，得到球心在过点且与平面垂直的直线上，设三棱锥的外接球的球心为，连接，，，再设三棱锥的外接球的半径为，在直角梯形中，求得，结合体积公式，即可求解；
解法二： 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三棱锥的外接球球心为，列出方程组，求得，结合体积公式，即可求解.
【详解】解法一：因为平面，平面，平面平面，
所以，又因为为的中点，所以为的中点，
将三棱锥及平面单独拿出来，如图所示，
可得，，，则，
所以，故的外接圆圆心为的中点，
故三棱锥的外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上，
设三棱锥的外接球的球心为，当，在平面的同侧时，
连接，则平面．取的中点，连接，则，，
由于平面平面，平面平面，
因此平面，连接，，
因为为的中点，为的中点，所以，
设三棱锥的外接球的半径为，连接，，
在中，，
所以在直角梯形中，
，得，
当，在平面的两侧时，，无解，
综上可得，则三棱锥的外接球的体积．
解法二： 因为平面，平面，平面平面，
所以．（点拨：线面平行性质定理的应用）
又为的中点，所以为的中点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
设三棱锥的外接球球心为，
则，
解得，，，所以，
所以三棱锥的外接球的半径，
体积．
故选：A．
【点睛】方法总结：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
2、作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
3、求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式（为底面多边形的外接圆的半径，为几何体的外接球的半径，表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.
5．A
【分析】求出棱台的上下底面的对角线长，进而求出棱台的高，结合棱台的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，由题意，该棱台的上下底面的对角线长分别为cm，
所以棱台的高为，
故棱台的体积为.
故选：A
6．D
【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可．
【详解】设三棱锥外接球的半径为，
则，所以球的半径为，
则球的两条弦的中点为，
则，
即弦分别是以为球心，半径为3和2的球的切线，
且弦在以为球心，半径为2的球的外部，
的最大距离为，最小距离为，
当三点共线时，分别取最大值与最小值，
故的伴随球半径分别为，
半径为时，的伴随球的体积为，
当半径为时，的伴随球的体积．
∴的伴随球的表面积的取值范围是．
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键．
7．C
【分析】设正四面体的棱长为，当正四面体内接于球时，最小，当球与正四面体的每条棱都相切时，最大，然后求出取值范围即可.
【详解】设正四面体的棱长为，则其高为．
当正四面体内接于球时，最小，此时，得．
当球与正四面体的每条棱都相切时，最大，
因为球的球心到正四面体的四个面的距离都相等，
所以当球与正四面体的每条棱都相切时，
借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点，
且球心到正四面体的顶点的距离为，
利用勾股定理可得，得．
故正四面体的棱长的取值范围为．
故选：C.
8．A
【分析】由题意确定两个小球的表面积之和最大的情况，如图，根据勾股定理可得，则，解出r，结合球的表面积公式计算即可求解.
【详解】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切，
此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O，
作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A，
则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r，
得，所以，解得，
所以这两个小球的表面积之和的最大值为．
故选：A
9．BC
【分析】根据题意，结合棱柱和棱锥的体积公式，以及棱柱的结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】设图（1）中水的高度为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，
可得图（2）中水的体积为，
对于A中，由，解得，所以A错误；
对于B中，若往容器内再注入升水，即，
则水面上升的高度为，
所以水面的高度为，所以B正确；
对于C中，由水的体积为，
容器的体积为，所以，
当容器侧面水平放置时，点点在长方体中截面上，
中截面将容器内的空间分为体积相等的两部分，结合题意水面也恰好经过点，所C正确.
对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为，
可得，由，可得，可得，
所以的体积为，
可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确.
故选：BC.
10．AD
【分析】对于A，根据勒洛四面体表面上任意两点间距离小于等于，进行判断；对于B，求出，，相减即为能够容纳的最大球的半径；对于C，找到最大截面，求出截面面积；对于D，勒洛四面体的体积介于正四杨体的体积和正四面体的外接球体积之间，求出正四面体的体积和正四面体的外接球的体积，从而求出答案．
【详解】由题意知：勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值，故A正确；
勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图，
其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，为该球的球心，
由题意得该球的球心为正四面体的中心，半径为，连接，
易知，，三点共线，
设正四面体的外接球半径为，
由题意得：，解得，
，，
由题意得，故B错误；
勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图，
则勒洛四面体截面面积最大值为三个半径为，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为的正三角形的面积，
即，故C错误；
对于D，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，
正四面体底面面积为，底面所在圆的半径为，
正四面体的高为，
正四面体的体积，
设正四面体的外接球半径为，则由题意得：
，解得，
正四面体的外接球的体积为，
勒洛四面体的体积满足，故D正确．
故选：AD．
【点睛】方法点睛:解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下;
(1)定球心:如果是内切球，球心到切点的距离相等目为球的半径;如果是外接球，球心到接点的距离相等目为半径;
(2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平
面化的目的;
(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
11．ACD
【分析】首先计算长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A；首先计算外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.
【详解】A.中，，
所以直棱柱的侧面积为，故A正确；
B.外接圆的半径，
所以直棱柱外接圆的半径，
则直三棱柱外接球的表面积，故B错误；
C.因为，且平面，平面，所以平面，
点在上，所以点到平面的距离相等，为等腰三角形底边的高为，
且的面积为，
则三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C正确；
D.将侧面展开为如图长方形，连结,交于点，
此时最小，最小值为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是将平面与展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.
12．ACD
【分析】由时，推得点在平面上，转化为到平面的距离，可判定A正确；由时，得到点在线段上，得到点与点重合时，直线与平面所成角的正切值最大，可判定B不正确；由时，得到点在线段上，进而可判定C正确；由时，得到点在线段的中点，结合题意公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，当时，，
即，可得，所以点在平面上，
则点到平面距离的最大值为点或到平面的距离，
连接交于点，因为为正方形，可得，
又因为平面，平面，所以，
因为且平面，所以平面，
因为正方形中，，所以 ，
即点到平面距离的最大值为，所以A正确；
对于B中，当时，，
即，可得点在线段上，
当点与点重合时，直线与平面所成角的正切值最大，
在直角中，可得，所以B不正确；
对于C中，当时，可得，
即，可得点在线段上，
在长方体，可得，
所以点在线段的距离等于点在线段的距离，
又由平面，且平面，所以，
在直角中，可得，
所以点到的距离为，所以C正确.
对于D中，当时，可得，
即，所以点在线段的中点，
此时点到平面的距离为，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据圆台的结构特点，结合已知的条件，求出圆台的上、下底半径和圆台的高，利用圆台的体积公式求体积.
【详解】如图：
设该圆台上底面圆的圆心为C，连接，，，，
作，垂足为O.
由题意可得，，
因为，
所以，解得，所以，，
该圆台的体积为.
故答案为：
14．
【分析】当拼成一个三棱柱时，有两种情况；拼成一个四棱柱时，有四种情况，分别求出其全面积比较大小，解关于的不等式即可.
【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，
设棱、、的中点分别为、、.
原三棱柱的全面积（）.
由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：
当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：
图①的全面积（），
图②的全面积（），
当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：
图③的全面积（），
图④的全面积（），
图⑤的全面积（），
图⑥的全面积（），
由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），
则（），解得：，
故a的取值范围是.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意，结合正方体的几何结构中，分求得四棱锥的各个面的面积，即可求解.
【详解】由正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为，
可得矩形的面积为，
的面积为，
的面积为，
的面积为，
中，因为，则边上的高为，
其面积为，
所以四棱锥的表面积为.
故答案为：.
16．
【分析】连接，交于点，连接，通过体积得到的关系，再在中利用勾股定理求出，利用导数求出最小时的值，进而可得侧棱长.
【详解】如图，连接，交于点，连接，
则平面，外接球的球心在棱锥的高上，连接．
设外接球的半径为．由题意知．
由，得．
由球的性质可知，
即．
设，则．
当时，，所以函数在上单调递减．
当时，取得最小值，即当时，取得最小值，
正四棱锥的外接球的体积最小，此时．
所以正四棱锥的侧棱长．
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，由此能求出旋转体的体积；
（2）先求出圆柱的侧面积、底面积，再求出圆锥的侧面积、底面积和旋转体上底面的面积，由此能求出结果.
【详解】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
，
所以小圆锥的半径，
圆柱的体积
圆锥的体积
旋转体的体积；
（2）圆柱的侧面积
圆锥的侧面积
圆柱的底面积，
圆锥的底面积
旋转体上底面的面积
旋转体的表面积.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）求出圆锥的底面圆面积和侧面面积即可求出圆锥的表面积；
（2）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大，求解即可.
【详解】（1）在中，，所以，
圆锥的底面圆面积为，
圆锥的侧面面积为，
圆锥的表面积为.
（2）正方体的外接球在圆锥内，与圆锥相切时最大,
球心在上，作于，
设球半径为，
则中，，，解得
又因为正方体的外接球直径为，解得，即的最大值为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出底面圆半径，进而求出表面积.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，再利用体积公式求解即得.
【详解】（1）如图：
连接BD，在中，，，
由余弦定理，得，
设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得，
所以圆柱的表面积.
（2）由（1）知，中，，，
由余弦定理，得，
当且仅当时取等号，则，
于是的面积，
而，又，
则四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积的最大值为.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，依题意可得，由平方关系求出，再由面积公式求出，即可得到及圆锥的侧面积；
（2）作出轴截面，设圆柱底面半径，即可得到圆柱的高，从而表示出圆柱的侧面积，最后由基本不等式计算可得；
（3）求出内切球的半径，再由球的体积公式计算可得.
【详解】（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
∴，解得（负值舍去），
又，所以，
∴圆锥的侧面积．
（2）作出轴截面如下所示：
设圆柱底面半径，即，
由（1）可知，则，又圆锥的高，
所以，即圆柱的高为，
所以圆锥内接圆柱的侧面积，
当且仅当，即时取等号，
所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为.
（3）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的体积.
21．(1)84
(2)
【分析】（1）根据表面积公式即可求解，
（2）根据体积公式即可求解.
【详解】（1）连接相交于，连接
过点作于点，连接，则是斜高，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
．
所以正四棱锥的表面积为84．

（2），
所以正四棱锥的体积为；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页