宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高一下学期第一次月考（4月）数学试题（解析版）

平罗中学2023-2024学年度第二学期第一次月考
高一数学试卷
一 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．下列说法错误的是（ ）
A． B．、是单位向量，则
C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等
2．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
4．若向量分别表示两个力，则（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
6．在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大内角是最小内角的2倍
C．是钝角三角形 D．若，则
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点在第四象限 B．的虚部为
C． D．的共轭复数
10．下列说法正确的是（　　）
A．
B．若，则与的夹角是钝角
C．向量能作为平面内所有向量的一个基底
D．若，则在上的投影向量为
11．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，，，则符合条件的有两个
12．中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形．
B．若，则点的轨迹一定通过的内心．
C．若为重心，则
D．若点满足，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知x、，若，则 ．
14．已知向量，，若，则 .
15．已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .
16．已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为 .
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17．已知向量，．
(1)若，求实数的值
(2)求与的夹角；
18．已知复数，i为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
19．在中，角的对边分别为．
(1)求的值；
(2)求边上的高．
20．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
21．如图所示，在矩形中，，E为的中点，．
(1)求的值；
(2)设相交于点G，且，求的值．
22．若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围
1．D
【分析】根据向量的基本概念，判断选项.
【详解】A.向量向量的模相等， 所以，故A正确；
B.单位向量的模为1，所以，故B正确；
C.相同向量的模相等，故C正确；
D.模相等，方向相同的向量是相等向量，单位向量的模相等，向量的方向不一定相同，故D错误.
故选：D
2．A
【解析】将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.
故选:A.
【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.
3．D
【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.
【详解】因为，故.
故选：D.
4．C
【分析】根据题意，求得，结合向量模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以.
故选：C.
5．A
【分析】利用正弦定理边角互化，再结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】
由正弦定理得，a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0，
由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
故选：A.
6．B
【分析】由平行得到，在中，由正弦定理求出答案.
【详解】因为是边长为3的正三角形，
所以，
又，所以，
由正弦定理得，
则．
故选：B
7．B
【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：

由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
8．B
【分析】对于A，根据线段成比例，设未知数建立方程，表示出各边长，结合正弦定理，可得答案；
对于B，根据A得到的边长表示，明确三角形的最大和最小内角，利用余弦定理计算出内角的余弦，结合二倍角公式，可得答案；
对于C，根据B可知，三角形最大内角的余弦值，可得答案；
对于D，根据A得到的边长之比，可求出边长，根据B得到的内角的正弦值，结合三角形的面积公式，可得答案.
【详解】对于A，由，可设，，，其中，
相加化简可得：，解得，，，
根据正弦定理可得：，故A错误；
对于B，由A可知，，，则，即的最大内角为，最小内角为，
由余弦定理可得：，，
由，则，
，，
，则，由，则，故B正确；
对于C，由选项B可知的最大内角，则为锐角三角形，故C错误；
对于D，由选项A可知：，又，则，，
由选项B可知：，则，故D错误.
故选：B.
9．AD
【分析】利用复数的几何意义判断A；求出复数的虚部判断B；求出复数的平方判断C；求出共轭复数判断D作答.
【详解】对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A正确；
对于B，的虚部为，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，的共轭复数，D正确.
故选：AD
10．AD
【分析】对于A：直接计算判断；对于B：当与反向，举反例判断；对于C：判断是否平行即可；对于D：直接计算投影向量即可.
【详解】，A正确；
当与反向时，，此时与的夹角为，B不正确；
因为，所以，所以向量不能作为基底，C不正确；
在上的投影向量为，D正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】根据余弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理、三角形的形状等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若为锐角三角形，则，
，
在上单调递减，所以，A选项正确.
B选项，若，
则可能，此时三角形是直角三角形，所以B选项错误.
C选项，若，则，由正弦定理得，所以C选项正确.
D选项，若，，，
由余弦定理得，
所以符合条件的只有个，D选项错误.
故选：AC
12．BCD
【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D．
【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形，
故A错误；
选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致．
若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
选项C：若为的重心，设边的中点为，
则，故C正确；

选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心，
于是有．又，
则
，故D正确．

故选：BCD．
13．2
【分析】根据相等复数的概念列出方程组，解之即可求解.
【详解】由题意，得，
所以.
故答案为：2.
14．
【分析】利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示计算即得.
【详解】向量，，，则，解得，即，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知数据，求解即可.
【详解】因为与的夹角为，
所以在向量上的投影向量为.
故答案为：.
16．
【分析】连接，由，结合余弦定理可得角与，进而可得四边形面积.
【详解】由题意，，且，则.
在中，，
在中，，
故且，解得，
则
，
故答案为：D.
17．(1)
(2).
【分析】（1）应用向量垂直数量积为0，即可求；
（2）利用数量积的夹角公式结合条件即得.
【详解】（1）当时，，
∴，则，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∴；
又∵，、
∴.
18．(1)；
(2)；
【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得，即可求得；
（2）将z代入方程利用复数相等的概念即可求得.
【详解】（1）因为复数，
所以
（2）因为复数z是关于x的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可求解.
（2）先求出的面积，然后由，从而可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理，
得，
因为，所以．
（2）由，得，
所以的面积为，
设边上的高为，则，
故．
20．(1)1
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合和差角公式即可求解，
（2）根据余弦定理可得，进而根据向量的模长公式即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，则有，
，
，又，，
，,
（2）根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．
21．(1)
(2)
【分析】（1）由平面向量数量积的运算律化简求解
（2）由平面向量基本定理的推论求解
【详解】（1），
∵，
∴，
（2），
∵D、G、E三点共线，∴，
得，
由平面向量基本定理得，
∴
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.
（2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
（2）因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范围为.