8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若与异面，则至多有一条与，都垂直
C．若，，，则一定平行于和
D．若，，，则存在同时垂直，
2．在平行四边形中，，沿对角线将三角形折起，所得四面体外接球的表面积为，则异面直线与所成角为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）.
A．存在点P，使得与异面
B．三棱锥的体积与P点位置无关
C．若P为中点，三棱锥的体积为
D．若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形
4．如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，分别为棱的中点，为棱上的动点，且线段的长度最小值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正三棱柱中，，点是线段上靠近的三等分点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．不平行
8．如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为不同的平面，为不同的直线，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则与是异面直线
B．若与异面，与异面，则与异面
C．若不同在平面内，则与异面
D．若不同在任何一个平面内，则与异面
10．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线与是平行直线
C．直线与是相交直线
D．平面截正方体所得的截面面积为
11．如图，为圆锥的顶点，为底面圆的直径，圆锥的侧面展开图为半圆，且半圆的面积为，为的中点，为弧的中点，下列说法正确的是（ ）
A．底面半径为1 B．母线与底面所成的角为
C． D．
12．如图，在直三棱柱中，分别是棱上的动点，，，则下列说法正确的是（ ）

A．直三棱柱的体积为
B．直三棱柱外接球的表面积为
C．若分别是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
D．取得最小值时，
三、填空题
13．已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ．
14．如图，在四棱柱中，底面是梯形，，则所有与相等的角是 ．
15．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为的中点．若，则 .
16．如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ．
四、解答题
17． 如图，已知空间四边形，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足. 求证：
(1)，，，四点共面；
(2)，，三线共点．
18．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面与平面交于，平面与平面交于.
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
.
19．如图，是棱长为2的正方体，为面对角线上的动点（不包括端点），平面交于点，于点．
(1)试用反证法证明直线与是异面直线；
(2)设，将长表示为的函数，并求此函数的值域；
(3)当最小时，求异面直线与所成角的正弦值．
20．如图所示，在正方体中，分别是的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)所在的直线与平面的位置关系；
(2)所在的直线与平面的位置关系；
(3)所在的直线与平面的位置关系；
(4)平面与平面的位置关系；
(5)平面与平面的位置关系.
21．如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点．
(1)判断直线与平面的位置关系．
(2)判断直线与直线的位置关系．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】借助正方体模型，可依次判定选项.
【详解】
在正方体中，
对于A，令，，，符合题意，但是，故A错误；
对于 B，令，，两直线异面，在正方体中与平行或重合的直线与异面直线都垂直，故B错误；
对于C，令为平面，为平面，，，符合，，，但平面，故C错误；
对于D，令为平面，为平面，，，符合，，，则，故D正确.
故选：D
2．D
【分析】画出翻折前后的图形，找到球心位置，利用长度的几何关系证明四边形为正方形即可得到异面直线与所成角.
【详解】
取中点，中点，中点，
则为外心，为外心，，
因为，则，
翻折后，过作直线垂直于平面，过作直线垂直于平面，两直线的交点为即为球心，设球半径为
由题意可得，可得，即
且，
则由勾股定理可得，
由得四边形为菱形，
由平面，平面，可得，
所以四边形为正方形，，
由可得异面直线与所成角为，
故选：D.
3．B
【分析】证明与共面判断选项A；由，计算并判断选项BC；作出正确截面判断选项D.
【详解】正方体中，， 与都在平面内，
所以与不可能异面，A选项错误；
三棱锥，底面积，
棱锥的高，则，
由，所以三棱锥的体积为定值，与P点位置无关，
B选项正确，C选项错误；
若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面梯形，D选项错误.
故选：B.
4．D
【分析】连接、、、、、，借助平行线的性质可得四点共面，即可得线段与相交，线段与相交，线段与相交，从而排除A、B、C.
【详解】如图，连接，，，由正方体的性质及、分别为棱、的中点，
易得，所以线段与相交，与相交，故A、B错误；
连接，，有，，故，
所以线段与相交，C错误；
连接，直线与，直线与均为异面直线，D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据即可求解最小值时，即可求解，利用平移可得为其补角即为异面直线与所成角，由余弦定理即可求解.
【详解】由于三棱柱为直三棱柱，所以底面, 底面,所以,
故,
故当时，此时最小，线段的长度最小值，
由于线段的最小值为，故此时，为中点，故，
连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角，
,
,
故异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
6．D
【分析】利用平移法作出异面直线与所成角，利用余弦定理解三角形即可求得答案.
【详解】
如图所示，不妨取，分别取棱上点，
使得，由，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
在中，由得，
所以故（或其补角）为异面直线与所成角，
因为，所以底面，而底面，所以，
在中，，
所以，
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D
7．A
【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.
【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，则，
故选：A.
8．B
【分析】先补形，再作出异面直线与所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解.
【详解】将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：

连接、，则，
则异面直线与所成角的平面角为(或其补角)，
又，，
由余弦定理可得：，
所以，故B正确.
故选：B.
9．ABC
【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，根据异面直线的定义得到答案.
【详解】对于A：若，则与是异面直线或相交直线或，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与可能是异面直线或或相交，故B错误；
对于C：若不同在平面内，则与是异面直线或相交直线或，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．
故选：ABC．
10．AD
【分析】对于ABC：根据异面直线的定义来判断；对于D：四边形为平面截正方体所得的截面，求梯形面积即可.
【详解】面，面，，所以直线与是异面直线，故A正确；
面，面，，所以直线与是异面直线，即直线与是异面直线，故B错误；
面，面，，所以直线与是异面直线，故C错误；
明显，故四边形为平面截正方体所得的截面，
，
四边形是等腰梯形，则梯形的高是，
所以梯形的面积，故D正确．
故选：AD．
11．AB
【分析】根据扇形面积公式和弧长公式列式求解判断A，根据线面角的定义作出线面角并求解判断B，连接，，根据异面直线的定义及夹角判断CD.
【详解】如图，
设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意得，得，
半圆的弧长为，所以，故A选项正确；
母线与底面所成角为，在中，，
所以，故B选项正确；
连接，，，因为分别为中点，则，
结合圆锥性质知平面，
因为平面，则，故与不垂直，
所以与不垂直，与是异面直线，故C，D选项错误.
故选：AB
12．ACD
【分析】根据三棱柱的体积公式即可判断A选项；通过确定球心的位置，求出直三棱柱外接球的半径，即可判断B选项；通过平移找到异面直线所成角，然后在三角形中利用余弦定理可判断C选项；通过三棱柱的侧面展开图可判断D选项．
【详解】选项A：因为，，
所以三棱柱的上、下底面均为正三角形，
所以，故A正确．
选项B：如图1，记和外接圆的圆心分别为和，
连接，，记的中点为，连接，
则， ，
易知为直三棱柱的外接球半径，
且，
所以直三棱柱外接球的表面积为，故B错误．

选项C：如图2，取的中点，连接，
易知，，且，
故即异面直线与所成角或其补角，连接，
则，
故，
故异面直线与所成角的余弦值为，故C正确．
选项D：将直三棱柱的侧面展开得到平面展开图，
如图3所示．连接，分别交，于点，
易知的最小值为．
在侧面展开图中易知点分别为的三等分点，
过点作交于点，
由勾股定理得，
因为，所以，故D正确．
.
13．
【分析】因为，且，得到直线与所成角即为直线与所成角在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，因为，且
则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得,
在直角中，可得，即.
故答案为：.
14．
【分析】根据给定的几何体，利用棱柱的结构特征、等角定理及平行四边形性质即可得解.
【详解】在四棱柱中，，并且与的方向相同，
因此，又四边形、四边形都是平行四边形，则，
所以与相等的角是.
故答案为：
15．
【分析】根据三角形中位线的性质，平行公理及等角定理可得结果.
【详解】因为A′，B′分别是的中点，所以，同理，
所以,又的两边和的两边的方向都相同，
根据等角定理有
故答案为：.
16． /
【分析】根据线线角、面面角等知识求得正确答案.
【详解】由于，所以是异面直线与直线所成角或其补角，
而四边形是正方形，所以.
连接交于，则，连接，
由于，是的中点，所以，
所以是平面与平面夹角，
设正方体的边长为，则，
所以在直角三角形中，.
故答案为：；
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据利用三角形的中位线平行于第三边，平行线分线段成比例，得到分别平行于和，利用平行线的传递性，即可得到，即可证明四点共面；
（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，即可证得三线共点.
【详解】（1）因为，分别为，的中点，
所以.
又因为，
所以.
所以，
所以E，F，G，H四点在同一平面内，
即E，F，G，H四点共面．
（2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，.
由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，
即，
因为平面，
所以点平面，
同理可得点平面.
又因为平面平面，
所以点直线，
所以直线，，三线共点．
18．（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】由题意，根据点、线、平面之间的关系，依次作出图形，即可求解.
【详解】符号语言表示：平面平面，平面平面.
用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点在平面与平面的交线上，直线分别在平面内，
图形语言表示如图②所示．

19．(1)证明见解析
(2)，值域
(3)
【分析】（1）假设直线与共面，利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明；
（2）设，利用平行线解线段成比例求得，得到，进一步求得，再由勾股定理列式求解，结合二次函数求值域；
（3）当时，最小，此时，由于，又，为异面直线与所成角的平面角，通过解直角三角形得答案．
【详解】（1）证明：假设直线与是共面直线，
设直线与都在平面上，则A、、、．
因此，平面、平面都与平面有不共线的三个公共点，
即平面和平面重合（都与平面重合），
这与长方体的相邻两个面不重合矛盾，
于是，假设不成立，
直线与是异面直线.
（2）解：正方体的棱长为2，，
设，则，得，，
，得，
，
当时，有最小值为，
当趋近于时，趋近于2，当趋近于0时，趋近于，
函数的值域为；
（3）当时，最小，此时，
在底面中，，，，
又，为异面直线与所成角的角，
在中，为直角，，
∴异面直线与所成角的正弦值为．
20．(1)相交
(2)相交
(3)平行
(4)平行
(5)相交
【分析】根据直线与平面的位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定直接判断答案即可.
【详解】（1）由于A点在平面内，M不在平面内，所以所在的直线与平面相交.
（2）由于C点在平面内，N不在平面内，所在的直线与平面相交.
（3）由正方体的结构特征得平面平面，，
所以所在的直线与平面平行.
（4）由正方体的结构特征得平面平面，
所以平面与平面平行.
（5）由正方体的结构特征得平面平面，
而平面平面，
所以平面与平面相交.
21．(1)相交；
(2)异面；
【分析】（1）由线面关系的定义可得答案；
（2）根据异面直线的判定定理可得结论.
【详解】（1）因为面，所以面，又面，
所以直线与平面的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面，
又面，，面，
所以直线与直线的位置关系是异面；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页