8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

8.5空间直线、平面的垂直 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正四棱柱中，，过点作垂直于直线PC的截面，则以为顶点，截面为底面的棱锥的体积为（ ）
A．42 B．48 C．56 D．63
4．如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
6．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．直线与直线为异面直线
B．线段上存在点，使得平面
C．点到平面的距离为
D．线段上存在点，使得平面
8．如图，平面平面，，，，，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥体积最大值为； B．直线平面；
C．直线与所成角为定值； D．存在，使．
10．如图，正方体的棱长为1，为的中点.下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线是异面直线
B．在直线上存在点，使平面
C．直线与平面所成角是
D．点到平面的距离是
11．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角的大小为，则（　　）
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D．的面积为
12．如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的有（　　）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π＋4
D．若F是棱的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF∥平面时，PF的最小值是
三、填空题
13．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，测得从D，C到库底与水坝的交线AB的距离分别为 m， m.又测得AB的长为5 m，CD的长为 m，则水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为 .
14．如图，线段，在平面内，，，且，，，则，两点间的距离为 .
15．如图所示，在以底面为等腰直角三角形的直三棱柱中，为中斜边的中点，为线段上一动点，连接并延长交于点，过点作的垂线，交于点，连接，则四边形面积的最大值为 ．
16．在三棱锥中，两两垂直，，为棱 上一点，于点，则面积的最大值为 ；此时，三棱锥 的外接球的半径为 ．
四、解答题
17．如图，直三棱柱中，，点在线段上，且点为的重心，．

(1)证明：；
(2)若，求三棱锥的体积．
18．如图，在三棱柱中，，O为四边形对角线的交点，F为棱的中点，且平面，求证：
(1)平面；
(2)
19．已知等腰梯形，，，取的中点，将等腰梯形沿线段翻折，使得二面角为，连接、得到如图所示的四棱锥，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求四棱锥的体积．
20．如图，已知在四棱锥中，底面为矩形，平面．
(1)若直线与的夹角为，求的长；
(2)若，四棱锥的体积为，求证：平面⊥平面．
21．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，平面，．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求多面体的体积．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据点线面位置关系及其判定定理和性质定理进行判断即可.
【详解】由，，得或与相交，故A错误；
若，，则或，所以B错误；
若，，则由线面垂直的性质定理知，所以C正确；
若，，则与可能相交，也可能平行，所以D错误.
故选：C.
2．D
【分析】由是直角三角形得的中点是的外心，再由等腰三角形结合勾股定理得到平面，平面平面；结合是等边三角形确定三棱锥外接球的位置，求得半径，最后得到表面积.
【详解】
如图，设是的中点，连接，由于，
所以是的外心，.
由于，是的中点，则，，，
则，则.
又，平面，
所以平面.而平面，所以平面平面.
由于是等边三角形，设是的外心，则,
又因为在上，所以，则也是三棱锥外接球的球心．
设外接球的半径为，根据等边三角形的性质可知，
所以外接球的表面积为.
故选：D.
3．C
【分析】根据柱体的结构特征先作出过点且垂直于直线PC的截面，再分别研究截面面积和P到截面的距离即可得出结果.
【详解】分别在棱，上取点，使，
连接，，
则，，
连接，则，
所以为等边三角形，
易证，
因为，所以平面，
所以五边形即为截面，
设直线与直线间的距离为，
因为的面积，
四边形的面积，
所以截面的面积为，
又点到截面的距离，
所以所求棱锥的体积.
故选：C.
【点睛】关键点睛：（1）找准截面是五边形AMRQN是解题的关键，注意为棱的四等分点，先找相邻棱对应的四等分点；
（2）PC是边长为6的正方体的体对角线，所以点到截面的距离是该正方体体对角线PC长的三分之一.
4．A
【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确.
【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.

由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确.
由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确.
故选：A
5．A
【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断外心和外心的位置，利用垂直关系证明是中点，利用体积公式判断①，根据为定长判断点轨迹是圆，判断②．
【详解】由题意知，故,
设外心为，则为BC的中点，设外心为，如图，
则平面，平面，
平面，平面，
，，
，平面，平面，
又因为，则平面，即，，，四点共面，
则平面，
连接，则为二面角的平面角，
二面角的大小为，，
而，，因为平面，平面，
故，而，则，
在中，，
则，故，即三点共线，
且是的中点；
则，故①是真命题；
又，
点形成的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
轨迹长度为，故②真命题．
故选：A．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据空间的位置关系，推出三点共线，及说明是得中点，从而确定点形成的轨迹.
6．B
【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，再由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线，只需求此时的正弦值即可.
【详解】如图所示，连接，交平面于点.
设与平面所成角为，正方体的棱长为，
根据正方体的性质可得，平面，
所以平面，且点为的中心，
所以.
又因为直线与所成角为，且的最小值为，
所以与平面所成角为，所以为.
由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线，
所以此时.
又因为在中，易得，，
所以，
所以，
所以
.
故选：B.
7．B
【分析】利用异面直线的定义、线面垂直判定定理及性质定理、线面平行判定定理及等体积法求点到平面的距离来一一判定选项即可.
【详解】选项A：显然直线与直线为异面直线，故A正确．
选项B：若平面，则由平面，可得．
在直三棱柱中，，
又，，平面，
故平面，
∴，故点与点重合，即．
在矩形中，，，
∴，∴不与垂直，故B错误．
选项C：易知，，两两垂直，且，
∴，
∴，
．
设到平面的距离为，则由，可得，
解得，故C正确．
选项D：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，
若平面，则．
∵为的中点，∴为的中点．
记的中点为，连接，设与交于点，
由，易知 ≌，得到，故，
又，∴，则，
故线段上存在点，使得平面，故D正确．
故选：B
8．B
【分析】借助等角定理找出与异面直线AC与DE所成角相等的角或补角，结合题意计算各边长度后借助余弦定理计算即可得.
【详解】如图，延长BA到G，使得，连接DG，GE，则四边形ACDG为平行四边形，
则，故或其补角就是异面直线AC与DE所成的角，
由题可得等腰梯形与等腰梯形中，高都为，
又平面平面，
故直线CD与直线AB、直线EF与直线AB之间的距离均为，
所以，，，
所以，
所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为.
故选：B．
9．ABC
【分析】利用锥体的体积公式可判断A；利用面面平行的性质可判断B；利用异面直线所成角的定义可判断C；利用反证法可判断D.
【详解】对于A，取线段的中点，连接，连接交于点，
过点在平面内作，垂足为点，
在矩形中，且，
因为、分别为、的中点，则且，
因为，所以，
故四边形为正方形，同理可知四边形也为正方形，
因为，则为的中点，且，
将沿直线翻折至的位置，则，
且，所以，且，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，且，
因为，
所以，
当且仅当为直角时，等号成立，故A正确；
对于B，连接交于点，连接、，
因为四边形为正方形，，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为，所以直线与所成角为直线与所成角，
因为，，，所以，
因为，
所以，为等腰直角三角形，且，
所以，，
中，，，
由余弦定理可得，
所以，，
所以，直线与所成角为为定值，故C正确；
对于D，假设存在使得，
易知，
因为，所以，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
事实上，为等腰直角三角形，且，这与矛盾，故假设不成立，故D错误.
故选：ABC
10．BD
【分析】证明与在平面上，可以判断A；连接，，取的中点，连接，证明平面可判断B；连接交于点，连接，由平面，有平面，可判断C和D.
【详解】
对于A，正方体，，，
四边形是平行四边形，四点共面，
由图可知直线与直线都在平面中，
直线与直线不可能是异面直线，故A错误；
对于B，连接，，取的中点，连接，
又为的中点，则，
正方体，，，
四边形是平行四边形，，
，所以，
正方体，平面，又平面，
，且，平面，
得平面，则平面，故B正确；
对于C，连接交于点，连接，
由平面，有平面，
则即为直线与平面所成的角，
正方体的棱长为1，所以，
，则，故C错误；
对于D， 由平面知，即为点到平面的距离，，故D正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】由为圆锥的轴截面，求出，得圆锥的体积可判断A；求出圆锥的侧面积可判断B；取AC的中点D，利用二面角的大小结合勾股定理求出可判断C；求出的面积可判断D.
【详解】依题意，，，则，，得，.
A选项，圆锥的体积为，故A正确；
B选项，圆锥的侧面积为，故B正确；
C选项，如图，设D是AC的中点，连接OD，PD，则，，
所以是二面角的平面角，则，所以，
故，则，故C错误；
D选项，，所以，故D错误．
故选：AB.
12．AC
【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，找到P的轨迹，计算即可；D选项，找到P的轨迹，计算即可.
【详解】底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，
故四棱锥的体积不变，故A正确；
与所成的角即为与AC所成的角，
当P在端点A，C时，所成的角最小，为，
当P在AC的中点时，所成的角最大，为，故B错误；
由于P在正方体表面上，P的轨迹为对角线，
以及在平面内以为圆心、2为半径的圆弧，
（由于，所以在中，，
即直线AP与平面所成的角为45°，
又由于平面平面，所以直线AP与平面ABCD所成的角为45°）
如图①，故P的轨迹长度为，故C正确；
分别取的中点，
由正方体的性质可知六点共面，且为正六边形，
由中位线定理，，平面，所以平面，
同理平面，且，平面，
所以平面平面，
所以FP所在的平面为如图②所示的正六边形，
当P为BC的中点时，FP的长最小，为，故D错误．
故选：AC.
13．/
【分析】作且，连接,可得是所求二面角的平面角，进而求得，再利用余弦定理可求得，可求得.
【详解】如图，作且，连接.又，则四边形是矩形，
.又，所以是所求二面角的平面角.
因为，，则.
又，，平面，
所以平面，而平面，所以，，
所以，，
由题可知，
则.
又是三角形的内角，所以.
故答案为：.
14．4
【分析】证明，由余弦定理求得，再由勾股定理求得．
【详解】连接，如图，中，，
，，则，所以，
故答案为：4.
15．
【分析】利用线面位置关系证明题目中所求四边形中的四边关系，结合梯形的面积计算，可得答案.
【详解】由题意在平面内过作，垂足为，如下图：
在直三棱柱中，平面，
因为平面中，所以，
在等腰直角三角形中，由题意易知，
因为，平面，所以平面，
同理可得：平面，即，
因为平面，所以，
在等腰直角三角形中，由，易知，
设，则，
所以所求截面面积：
，
令函数，则在恒成立，
所以函数在上单调递增，
故，故四边形面积的最大值为．
故答案为：.
16．
【分析】设，求得，结合，求得，进而求得和，根据，求得面积的最大值，再根据正方体的性质求得三棱锥的外接球的半径为.
【详解】设，且，
因为两两垂直，所以，
所以，可得，
因为且，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
因为且，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，
所以三棱锥的外接球的半径为.
故答案为：；.

17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）推导出，，从而得到面，进而得到，再结合题干条件，可证出面，由此得证所需结果；
（2）根据等体积法可知，又因为M在上的三等分点的位置，根据相似关系可知三棱锥的高是三棱锥高的，通过求三棱锥的体积，可得三棱锥的体积，即为所求几何体体积.
【详解】（1）证明：延长交于点，连结，
点为的重心，∴为的中点，
由得，
直三棱柱中，平面，
平面，
∴平面，又∵平面，
，
又，且平面，
平面，又∵平面，
．

（2）解：由，又，
即，故，
所以，
则，
故三棱锥的体积为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由中位线可证明四边形ODBF为平行四边形，所以，然后根据线面平行的判定可得证；
（2）根据线面垂直的判定可得平面，再根据线面垂直的性质可得，进而得四边形为矩形即可得证.
【详解】（1）如图，取AC的中点D，连接OD，BD.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
，且，
因为O为平行四边形对角线的交点，所以O为的中点，
又D为的中点，所以，且，
又，，
所以，且
又F为的中点，所以，且，
所以四边形ODBF为平行四边形，所以
因为，平面，平面，所以平面
（2）如图，连接CF，因为，F为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，AF 平面，，
所以平面，
又平面，所以，
又由（1）知，所以，
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
所以四边形为矩形，所以.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先说明四边形为平行四边形，连接交于点，连接，即可得到，从而得证；
（2）在等腰梯形中可得、为等边三角形，在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点，即可得到为二面角的平面角，求出，再证明平面，最后根据计算可得.
【详解】（1）在等腰梯形中，，，为的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
连接交于点，连接，则为的中点，又为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）在等腰梯形中，由（1）知，即为等边三角形，
则，连接，则也为等边三角形，即，所以也为等边三角形，
在四棱锥中取的中点，连接、，过点作交于点，
依题意且，
所以为二面角的平面角，即，
又，所以为等边三角形，
所以，
又，平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又，
所以.
20．(1)3
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，则，解直角即可；
（2）根据棱锥的体积公式计算可得，利用线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）因为四边形是矩形，所以．
又平面，平面，所以．
又平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为异面直线与所成的角为，且，
所以在中，，
故．
（2）因为四边形是矩形，平面，，，
所以，
所以，所以底面为正方形，所以．
因为平面，平面，所以．
又平面，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面．
21．(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）根据面面平行的判定定理，结合已知条件即可证明；
（2）连接，记，首先证明出平面，则多面体可分为四棱锥和四棱锥，即可求出多面体体积．
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面平面，且，
所以平面平面．
（2）如图，连接，记．
因为四边形是正方形，
所以，
因为平面平面，
所以，
因为平面平面，且，
所以平面，
因为，且，所以，
因为四边形是正方形，所以，
则，
故多面体ABCDEF的体积
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页