9.2用样本估计整体 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

9.2 用样本估计整体 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一名运动爱好者统计了自己某一星期内每天的步数，数据为14200，12300，7300，12970，5340，11600，10060，则这组数据的第75百分位数为（　　）
A．5340 B．10060 C．11600 D．12970
2．为了备战学校举办的数学竞赛，某班推选小明、小红、小刚三位学生组成竞赛小组，并对他们三人前三次月考的数学成绩（单位：分）进行分析，三次数学成绩如下表：
学生 月份
9月 10月 11月
小明 135 131 133
小红 132 140 136
小刚 140 130 135
针对这三次月考的数学成绩，下列分析中正确的是（ ）
A．这个竞赛小组11月份月考数学成绩的平均分最低
B．小刚三次月考数学成绩的平均分最高
C．小明三次月考数学成绩的成绩最稳定
D．小红三次月考数学成绩的方差最大
3．某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）
A．的值为0.015 B．估计这组数据的众数为80
C．估计这组数据的第60百分位数为87 D．估计成绩低于80分的有350人
4．某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温（单位：），数据如下：
时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
8 12 8 14 16 11 18 21
则这8天的气温数据的极差为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
5．某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（ ）
A．100 B．75 C．50 D．25
6．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．对当地甲、乙两家企业20天内已处理的废水的某项指标值的检测结果如下图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲企业样本数据的中位数是72
B．甲企业样本数据的平均数大于80
C．甲企业样本数据的众数大于乙企业样本数据的众数
D．不低于80的样本数据个数，甲企业多于乙企业
7．2023年10月3日，瑞典皇家科学院将诺贝尔物理学奖授予阿秒激光领域的三位物理学家，以表彰他们将产生阿秒光脉冲的实验方法用于研究物质的电子动力学．阿秒是时间单位，下面是几个描述微观运动常用的时间单位：
单位 纳秒（ns） 皮秒（ps） 飞秒（fs） 阿秒（as） 仄秒（zs）
秒
对于，，，，这5个数据，下列说法错误的是（ ）
A．这5个数的中位数是
B．这5个数的极差小于中位数的倍
C．这5个数的平均数小于这5个数与的平均数
D．这5个数都加上，方差不变
8．为了分析某次数学考试的情况，随机抽取了若干学生，将其考试成绩（单位：分）分组为[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，并绘制成如图所示的频率分布直方图，据此可估计该次考试成绩的中位数为m，则m的值为（　　）
A．99.8 B．100.8 C．101.8 D．102.8
二、多选题
9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A．图（1）的平均数中位数众数
B．图（2）的平均数<众数<中位数
C．图（2）的众数中位数<平均数
D．图（3）的平均数中位数众数
10．某部门体温检测员对一周内甲、乙两位职员的体温（单位：℃）进行了统计，其结果如表，则（ ）
日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
甲 36.4 36.2 36.5 36.1 36.6 36.4 36.4
乙 36.2 36.3 36.5 36.4 36.2 36.2 36.5
A．甲职员体温的极差为0.6℃
B．乙职员体温的众数为36.2℃
C．甲职员体温的中位数为36.4℃，平均数约为36.37℃
D．乙职员的体温比甲职员的体温稳定
11．改革的新教材要求学生注重实践能力，探索学习中的一些概念、定理与性质等．在学习概率概念的课堂上，同学们做抛掷骰子的试验，某同学抛掷骰子20次，向上的点数分别为，则这20个数的（ ）
A．中位数为4 B．平均数为3.5 C．方差为2.35 D．第75百分位数为4
12．2021年11月10日，中国和美国在联合国气候变化格拉斯哥大会期间发布《中美关于在21世纪20年代强化气候行动的格拉斯哥联合宣言》（以下简称《宣言》）.承诺继续共同努力，并与各方一道，加强《巴黎协定》的实施，双方同意建立“21世纪20年代强化气候行动工作组”，推动两国气候变化合作和多边进程．为响应《宣言》要求，某地区统计了2020年该地区一次能源消费结构比例，并规划了2030年一次能源消费结构比例，如图所示．经测算，预估该地区2030年一次能源消费量将增长为2020年的2.5倍，则预计该地区（　　）
A．2030年煤的消费量相对2020年减少了
B．2030年石油的消费量相对2020年不变
C．2030年天然气的消费量是2020年的5倍
D．2030年水、核、风能的消费量是2020年的7.5倍
三、填空题
13．为贯彻五育并举的教育方针，某校对全体高一年级学生进行了体育测试，并将成绩（单位：分）分为6组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有750名同学参加测试，则成绩达标的（不少于60分）学生人数为 ．
14．某小组5位同学各拋掷一枚正方体骰子，将正面向上的点数按从小到大的顺序记录下来，得到一组统计数据．已知这组数据的平均数为整数，最大值为6，中位数为3，方差为1.6，则这组数据的众数为 ．
15．高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如下图所示，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第百分位数为 ．
16．已知全校共3000名学生，其中有1800名男生，1200名女生，为调查学生的身高情况，按分层随机抽样的方法抽取20名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，则利用样本估计总体的平均数为 ，估计总体的方差为 .
四、解答题
17．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别如下：甲：0，0，1，2，0，0，3，0，4，0；乙：2，0，2，0，2，0，2，0，2，0.
(1)分别求两组数据的众数、中位数、极差；
(2)根据两组数据的平均数和标准差的计算结果，比较两台机床性能．
18．为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和，女生的平均数和方差分别为和．
(1)求样本中男生和女生应分别抽取多少人；
(2)求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
19．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值和中位数．
(2)若树高185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中按分层随机抽样的方法抽取40株树苗做进一步研究，则不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？
20．中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》以“龙行龘龘，欣欣家国”为主题，创新“思想艺术技术”融合传播，与全球华人相约除夕，共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.2023年12月2日，中央广播电视总台发布了甲辰龙年春晚的主标识——龘．为了解大家对这一标识的看法，某网站进行了一次网络调研，并将参与调查的网友对这一标识的打分情况（分数在50分到100分之间）绘制成频率分布直方图如下：

(1)求网友打分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）、中位数（保留一位小数）；
(2)设网友打分的平均值为，若按打分是否在区间内进行分层抽样，抽取10人进行深度调研，打分在区间内的至少抽取8人，试估计的最小值（保留两位小数）．
21．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率直方图，已知第一组有6人.
(1)求x；
(2)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90.
①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】利用百分位数的计算方法求解即可．
【详解】数据排序：5340，7300，10060，11600，12300，12970，14200，
计算，则这组数据的第75百分位数为第6位数为12970.
故选：D.
2．C
【分析】选项A，利用平均数的计算公式，直接计算3个月的平均分，即可判断出选项A的正误；选项B，利用平均数的计算公式，直接计算3人的平均分，即可判断出选项B的正误；再利用方差的计算公式，直接求出3人的方差，即可判断出CD的正误，从而求出结果.
【详解】对于选项A，9月份月考数学成绩的平均分为，
10月份月考数学成绩的平均分为，
11月份月考数学成绩的平均分为，故选项A错误；
对于选项B，三次月考数学成绩中，小明平均分，
小红的平均分，
小刚的平均分，所以选项B错误；
对于选项C，三次月考数学成绩中，小明的方差为，
小红的方差为，
小刚的方差为，所以小明最稳定，故选项C正确，
对于选项D，由选项C知，小刚的成绩波动性最大，方差最大，故选项D错误，
故选：C.
3．C
【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，利用众数、百分位数的求法可判定B、C，根据频率分布直方图计算可估计总体判定D.
【详解】易知，解得，所以A错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为，
故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，
则，解得，所以C正确；
成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误.
故选：C.
4．C
【分析】根据极差的定义求解即可求.
【详解】这8天气温的最大值为21，最小值为8，所以极差为13，
故选：C
5．C
【分析】首先计算出82分以上的考生的频率，即可得获得的考生人数.
【详解】由频率分布直方图可得82分以上的考生的频率约为，
所以获得的考生人数约为人，
故选：C.
6．C
【分析】求得甲企业样本数据的中位数判断A；求得甲企业样本数据的平均数判断B；求得甲乙企业样本数据的众数判断C；求得甲乙两企业不低于80的样本数据个数判断D.
【详解】对于A：甲企业样本数据的中位数是，故A错误；
对于B：甲企业样本数据的平均数为：
，
故甲企业样本数据的平均数小于80，故B错误；
对于C：甲企业样本数据的众数为79，由频率分布直方图可得乙企业样本数据的众数为75，故C正确；
对于D：不低于80的样本数据个数甲企业为5个，乙企业为，故D错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据给定条件，结合中位数、极差、平均数、方差的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，这5个数的中位数是，A正确；
对于B，这5个数的极差为，B正确；
对于C，这5个数的平均数为，
若这5个数再加上，平均数变小，C错误；
对于D，这5个数都加上，方差不变，D正确．
故选：C
8．B
【分析】根据题意，先根据频率分布直方图求出考试成绩在内的频率，再结合中位数的定义与计算方法，即可求解.
【详解】考试成绩在内的频率为
，
该次考试成绩的中位数为，
则，解得.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.
【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确；
图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确；
图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确.
故选：ACD.
10．BCD
【分析】A.利用极差的定义判断；B.利用众数的定义判断；C.利用中位数和平均数的定义判断；D.利用极差判断.
【详解】解：甲职员体温的极差为，A错误．
乙职员体温数据中36.2℃出现的次数最多，即众数为36.2℃，B正确．
将甲职员的体温数据从小到大排列为36.1，36.2，36.4，36.4，36.4，36.5，36.6，则甲职员体温的中位数为36.4℃，平均数约为，C正确．
乙职员体温的波动较甲职员体温的波动小，且乙职员体温的极差为，比甲职员体温的极差小，D正确．
故选：BCD．
11．BC
【分析】分别根据中位数、平均数、方差、百分位数的计算公式计算即可.
【详解】由题意知，中位数为，故A错误；
平均数，故B正确；
方差，故C正确；
因为，所以第75百分位数为，故D错误．
故选：BC．
12．CD
【分析】设年该地区一次能源消费总量为，计算出2030年该地区煤、石油、天然气以及水、核、风能的消费量，逐项判断可得出正确选项．
【详解】设年该地区一次能源消费总量为，则预估年一次能源消费总量为.
对于选项A，2020年煤的消费量为，规划2030年煤的消费量为，故选项A错误；
对于选项B，2020年石油的消费量为，规划2030年石油的消费量为，故选项B错误；
对于选项C，2020年天然气的消费量为，规划2030年天然气的消费量为，故选项C正确；
对于选项D，2020年水、核、风能的消费量为，规划2030年水、核、风能的消费量为，故选项D正确．
故选：CD.
13．600
【分析】根据频率分布直方图，求出成绩不低于60分的频率，然后根据频数＝频率×总数可求出所求．
【详解】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为，
可知该体育测试成绩不少于60分的学生人数为.
故答案为：
14．3
【分析】根据题意将这组数据由小到大设出来，再根据方差为1.6可判断出平均数的取值有两种情况 ，对这两种情况分别讨论即可得出结果.
【详解】设这组数据为，
假设平均数为3．因为，
所以平均数或，
若，则，
所以，解得；
若，则，
所以，此时无解．
所以这组数据的众数为3．
故答案为：3.
15．
【分析】先利用各矩形的面积之和为1，求得a，再利用第75百分位数的定义求解
【详解】因为，
参赛成绩位于内的频率为，
第75百分位数在内，设为，则，解得，
即第75百分位数为，
故答案为：
16． 166 60
【分析】根据分层抽样的定义求出所抽取的男女生人数，然后结合已知数据可估计总体的平均数和方差.
【详解】由题意得抽取20名学生中，男生有名，女生有名，
因为样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，
所以利用样本估计总体的平均数为，
估计总体的方差为.
故答案为：166，60.
17．(1)答案见解析
(2)甲、乙的平均水平相当，但是乙更稳定
【分析】（1） 利用众数、中位数、极差的定义即可求出结果；
（2） 分别求出甲、乙的平均数和方差，由此得到甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定．
【详解】（1）由题知，甲的众数为0，乙的众数为0和2，甲的中位数为0，乙的中位数为，
甲的极差为，乙的极差为.
（2）甲的平均数，
乙的平均数，
甲的方差，
乙的方差，
所以甲的标准差为，乙的标准差为，因此，甲、乙的平均水平相当，但是乙更稳定．
18．(1)45；30；
(2)平均数；方差16.
【分析】（1）首先计算抽样比，再计算男生和女生应抽取的人数；
（2）代入总体平均数公式和方差公式，即可求解.
【详解】（1）总体容量1500，样本容量75，则抽样比为，
所以样本中男生数量，女生数量.
（2）抽取的样本中男生的平均数，方差，
抽取的样本中女生的平均数，方差，
所以总体样本的平均数为，
总体样本的方差.
所以估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差为16.
19．(1)；
(2)14株和26株
【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1可求出的值，再根据中位数的定义估计中位数，即可求解；
（2）根据频率分布直方图可知不合格的概率为，合格的概率为，从而求出不合格树苗、合格树苗抽取的株数．
【详解】（1）解：因为，
可得，
设中位数为，
因为，
，所以，
所以
解得，即数据的中位数为.
（2）解：由题意得，不合格的抽取（株），合格的抽取（株），
故不合格树苗、合格树苗分别应抽取14株和26株
20．(1)平均值为，中位数约为73.3
(2)13.95
【分析】（1）根据频率分布直方图求平均数、中位数得求法依次计算即可求解；
（2）由（1）知，根据打分在区间内的频率不低于0.8分类讨论确定，进而求解.
【详解】（1）网友打分的平均值为
．
分数在的频率，
分数在的频率，
设中位数为，则，
，得，
即中位数约为73.3．
（2）由（1）可知．
要使抽取的10人的打分在内的人数不低于8人，
则打分在区间内的频率不低于0.8．
若，则，
频率；
若，则，
频率．
当最小时，，
且，
解得，即的最小值约为13.95．
21．(1)120
(2)①5个年龄组的平均数为94，方差为6，5个职业组的平均数为94，方差为6.8，②答案见解析
【分析】（1）根据第一组的频率和人数列出方程，求出；
（2）①利用平均数和方差公式计算即可；
②由①中求出的两组平均数和方差作出评价.
【详解】（1）根据频率直方图得第一组频率为，所以，所以.
（2）①5个年龄组的平均数为，
方差为，
5个职业组的平均数为，
方差为，
②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.
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