10.1随机事件与概率 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

10.1 随机事件与概率 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．《易经》记载了一种占卜方法叫做“筮法”．用50根蓍草进行占卜，先抽去一根蓍草，横放其上，象征“太极”．然后把剩下49根蓍草随意分为两堆，象征“两仪”；接着从右堆中取出一根蓍草放在中间，再将左右两堆中余下的蓍草4根一数，直到最后各剩下不超过4根（含4根）为止，取出两堆剩下的蓍草也放入中间，再将两堆余下蓍草合在一起，记作“一变”．在“一变”中最后放在中间的蓍草总数有：5，9两种可能．其中“5”的概率是多少（ ）
A． B． C． D．
3．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知事件两两互斥，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如果事件互斥，记，分别为事件的对立事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．与一定互斥 D．与不可能互斥
二、多选题
9．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件 B．与是对立事件
C． D．
10．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与为对立事件 B．与不是互斥事件
C． D．
11．某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．
其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（ ）
A．该公司四个季度的销售额先增长再下降
B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为
C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为
D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为
12．现有甲 乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（ ）
机构名称 甲 乙
分值 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94
A．甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分
B．甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差
C．乙机构测评分数的第一四分位数为91.5
D．事件互为对立事件
三、填空题
13．青团是江南人家在清明节吃的一道传统点心，某企业设计了一款青团礼盒，该礼盒刚好可以装3个青团，如图所示．若将豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅的青团各1个，随机放入该礼盒中，则豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为 ．
14．继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了．据了解天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制．某麻辣烫店内有西兰花、香菇、豆皮、海带、白菜等菜品，一游客打算从以上5种蔬菜中随机选择不同的3种，则西兰花和海带被选中的概率为 ．
15．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是 .
16．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器件，其中甲工厂生产了件，乙工厂生产了件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取件样品，已知该精密仪器按照质量可分为四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的等级产品的概率为，则抽取的三个等级中甲工厂生产的产品共有 件．
四、解答题
17．已知某人同时抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体）.求：
(1)两枚骰子向上的点数不相等的概率；
(2)两枚骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率.
18．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.
(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；
(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.
19．某高中随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）.
(1)求身高不低于170cm的学生人数；
(2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人．
① 求从这三个组分别抽取的学生人数；
② 若要从6名学生中抽取2人，求组中至少有1人被抽中的概率．
20．为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；
(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这人都来自这组的概率．
21．小王和小刘大学毕业后到西部创业，投入万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立起一个直播间，帮助山区人民销售农产品，帮助农民脱贫致富．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，聚集了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下：
第天
销售额（万元）
(1)求销售额的平均数和方差；（保留两位有效数字）
(2)若销售额满足，则称该销售额为“近均值销售额”．去掉前天的销售额，在后天的销售额中任意抽取天的销售额，求取到的销售额中仅有个“近均值销售额”的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据题意，先列举出所有情况，再从中挑出数字之和是5的倍数的情况，结合古典概型求概率，即可求解．
【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有
共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况，
所以所求的概率为.
故选：A.
2．C
【分析】运用古典概型概率公式和对立事件的概率公式，分别求出试验的基本事件总数和所求事件的对立事件含有的基本事件数代入计算即得.
【详解】不妨用表示剩下49根蓍草去掉1根后，随意分成的两堆中左右堆的蓍草根数，
依题，分堆方法有共49种，
而最后放在中间的蓍草总数为“9”的情况有：共11种，
故最后放在中间的蓍草总数为“5”的情况有种，
故“5”的概率是.
故选：C.
3．B
【分析】根据样本空间的定义即可求解.
【详解】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为，
所以它的一个样本空间为.
故选：B.
4．D
【分析】根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可.
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为.
故选：D
5．D
【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可.
【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机，
另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确；
对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确；
对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确；
对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”，
因此，D错误.
故选：D
6．B
【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.
【详解】两两互斥，，
，，
.
故选：B.
7．C
【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及概率的取值范围求解即得.
【详解】依题意，，由，
得，又，
则当时，，
所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是.
故选：C
8．B
【分析】用图示法，集合表示事件，集合表示事件，选项A，由图知不是全集，可判断选项A错误，选项B，由图知，即可判断出选项B的正误，因为可能为空集，也可能不为空集，即可判断出选项C和D的正误.
【详解】如图所示，集合表示事件，集合表示事件，
对于选项A，如图，因为不是全集，所以选项A错误，
对于选项B，由图知，即是必然事件，所以选项B正确，
对于选项C，由图知不一定是空集，即与可以同时发生，所以选项C错误，
对于选项D，由图知，若，则与互斥，所以选项D错误，
故选：B.
9．ABC
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.
【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，
与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确；
对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC
10．ABC
【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.
【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
与为对立事件，故A正确；
{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确；
，，故C正确；
由上知，故D错误.
故选：ABC
11．AB
【分析】根据题意和饼状图，可求出第一、二、三、四季度销售额，按照试验“任选两个季度的销售额”列举出所有的基本事件，分别就各选项中的事件，利用古典概型概率公式求解即得.
【详解】对于A项，由题意可得第一、二、三、四季度销售额分别为100万、200万、400万、300万元，故A正确；
对于B项，任选的两个季度的销售额，可以为，，，，，，其6种情况，
这两个季度的销售额均大于250万的只有一种情况，则概率为，故B正确；
对于C项，这两个季度销售额的和大于500万的有，共2种情况，故概率为，即C错误；
对于D项，这两个季度销售额差的绝对值小于250万的有共5种情况，故概率为，即D错误．
故选：AB.
12．BD
【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，甲机构测评分数的平均分，
乙机构测评分数的平均分，所以选项A错误，
对于选项B，甲机构测评分数的方差，
，所以选项B正确，
对于选项C，乙机构测评分数从小排到大为：91，92，93，94，95，
又，所以乙机构测评分数的第一四分位数为92，所以选项C错误，
对于选项D，因为甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，由对立事件的定义知，事件互为对立事件，所以选项D正确，
故选：BD.
13．
【分析】列举出所有情况以及满足题意的情况，再利用古典概型求解.
【详解】分别假设豆沙馅、莲蓉馅、芝麻馅为，
则有，共6种情况，
其中相邻的有，共4种情况，
故豆沙馅和莲蓉馅的青团相邻的概率为.
故答案为：
14．/0.3
【分析】根据古典概型求解即可.
【详解】由题意，设五种食材分别为，则基本事件空间为
，
共10个基本事件，其中含有西兰花和海带的有，，，3个基本事件，所以.
故答案为：
15．/0.1875
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.
【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个，
两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个，
所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是.
故答案为：
16．
【分析】根据分层抽样原则可求得甲工厂抽取的样品数，根据抽到甲工厂生产等级产品的概率可构造方程求得抽取甲工厂生产的等级产品的数量，由此可得结果.
【详解】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品，
设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：，
所以抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件，
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，求解即可；
（2）列出所有的基本事件，结合古典概型的概率公式，求解即可.
【详解】（1）同时抛掷两枚骰子包括的基本事件有：
，
，
，共36种，
抛掷两枚骰子向上的点数相等包括的基本事件有，共6种，
则两枚骰子向上的点数不相等包括的基本事件有30种，
记“两枚骰子向上的点数不相等”为事件A，
则，故两枚骰子向上的点数不相等的概率为.
（2）两枚骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整倍数时，事件有：
，
共包括16个基本事件．
记“两枚骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍”为事件B，
则，
故两枚骰子向上的点数不相等，且一个点数是另一个点数的整数倍的概率为.
18．(1)平均数为75.5，分位数为88；
(2).
【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可；
（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；
【详解】（1）由，解得.
该校高三学生期初数学成绩的平均数为.
前3组的频率和为，所以分位数为.
（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为
的有人，记为，
从6人中任取2人，基本事件有，共15种，
其中2人分数都在的有共6种，
所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.
19．(1)60人；
(2)①30人，20人，10人；②
【分析】（1）先求出,的频率可得结果．
（2）①由分层抽样可得各组的人数; ②分别列举各种情况可得概率．
【详解】（1）由频率分布直方图可知,的频率为
，
故身高在以上的学生人数为（人．
（2）①，，三组的人数分别为，，人．
因此应该从，，三组中每组各抽取（人，（人，（人．
②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为，
则从6名学生中抽取2人有15种可能：
,，,，,．,，,，,，,，,，
,，,，,，,，,，,，,．
其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能：,，,，,，,，
,，,，,，,，,．
所以组中至少有1人被抽中的概率为．
20．(1)，平均数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数公式计算平均数；
（2）首先求出，各组抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）依题意可得，
解得.
又，
即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为小时.
（2）由频率分布直方图可知和两组的频数的比为
所以利用分层抽样的方法抽取人，这两组被抽取的人数分别为，，
记中的人为，，，，中的人为，，
从这人中随机选出人，则样本空间
共15个样本点；
设事件：选出的人都来自，
则共个样本点，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据平均数的定义和方差的计算公式求解；
（2）确定样本空间的样本点个数，再求事件取到的销售额中仅有个“近均值销售额”中所含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求解.
【详解】（1），
，
所以销售额的平均数可为，方差为．
（2）在后5天的销售额中，满足的是，，，
从，，，，中任取个，共有个不同结果：，．
其中，仅含有，，中一个的有6个不同结果．
所以，所求概率为．
答案第1页，共2页
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