10.2事件的相互独立性 同步练习（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

10.2事件的相互独立性 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知事件A与事件B互相独立，且，则（　　）
A．0.06 B．0.14 C．0.24 D．0.56
2．将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“第二次出现奇数点”，则（ ）
A．与不独立 B．
C．与不互斥 D．
3．掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A．与是对立事件 B．与是互斥事件
C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件
4．某射击运动员射击一次，命中目标的概率为p，已知他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率，则p的值为（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从1，2，3，4，5这5个数字中每次随机取出一个数字，取出后放回，连续取两次，至少有一个是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竞赛，竞赛一共包含两轮.高三（9）班派出了和两位同学代表班级参加比赛，每轮竞赛和两位同学各答1题.已知同学每轮答对的概率是，同学每轮答对的概率是，每轮竞赛中和两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，则和两位同学至少答对3道题的概率为（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ）
A．A与相互独立 B．A与互为对立
C．与互斥 D．与相互独立
10．下列各对事件中，，为相互独立事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子一次，事件为“出现的点数为奇数”，事件为“出现的点数为偶数”
B．袋中有5个白球，5个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出2个球，事件为“第一次摸到黄球”，事件为“第二次摸到黄球”
C．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“两次抛掷的结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件为“第一次为正面”，事件为“第二次为反面”
11．如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为
12．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路，上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
D．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
三、填空题
13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为 ．
14．甲乙两人比赛，比赛的规则为连胜两局者获胜，比赛结束．已知甲每局获胜的概率0.6，乙每局获胜的概率0.4，甲乙之间没有平局且局与局之间相互不受影响，则恰好比赛4局结束比赛的概率是 ．
15．已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则 ．
16．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为 .
四、解答题
17．某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响.
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
18．在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为．
(1)求，；
(2)若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有，试确定a，b，c的值，并证明上述递推公式；
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？
19．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．
20．甲、乙两名同学进行篮球投篮比赛，比赛规则如下：两人投篮的次数之和不超过5，投篮命中则自己得1分，该名同学继续投篮，若投篮未命中则对方得1分，换另外一名同学投篮，比赛结束时分数多的一方获胜，两人总投篮次数不足5但已经可以确定胜负时比赛就结束，两人总投篮次数达到5次时比赛也结束，已知甲、乙两名同学投篮命中的概率都是，甲同学先投篮.
(1)求甲同学一共投篮三次，且三次投篮连续的情况下获胜的概率；
(2)求甲同学比赛获胜的概率．
21．某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲 乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
(1)求和的值；
(2)设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，其中，试求甲答对的题数比乙多的概率.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，即可求解.
【详解】因为事件A与事件B互相独立，且，
则.
故选：D.
2．C
【分析】由独立和互斥事件的性质可判断A错误，C正确；由可得B错误；由独立事件的乘法公式可得D错误.
【详解】A：事件和的发生没有影响，相互独立，故A错误；
B：，，故B错误；
C：事件和可以同时发生，所以与不互斥，故C正确；
D：，故D错误；
故选：C.
3．D
【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确，
故选：D.
4．B
【分析】根据独立事件概率乘法公式可知：三次都未命中的概率为，根据题意结合对立事件概率公式可知，运算求解即可.
【详解】因为射击一次命中目标的概率为，所以射击一次未命中目标的概率为.
又因为每次射击结果相互独立，则三次都未命中的概率为.
若连续射击三次，至少有一次命中的对立事件为三次都未射中，
所以连续射击三次，至少有一次命中的概率，解得.
故选：B.
5．C
【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．
【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，
则甲以4比2获胜的概率为．
故选：C．
6．D
【分析】利用对立事件概率公式、概率乘法公式，结合古典概型运算公式进行求解即可.
【详解】设连续取两次，一次都没有奇数为事件，
因为，
所以，
故选：D
7．A
【分析】由独立事件概率乘法公式可得.
【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件，
由题知，
则3人中至少有2人投中的概率为：
.
故选：A
8．D
【分析】分别求出答对4道题，答对3道题的概率，再求和事件的概率即可.
【详解】若和两位同学答对4道题，则其概率为；
若和两位同学答对3道题，则其概率为；
故和两位同学至少答对3道题的概率为.
故选：D.
9．ABD
【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.
【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件A，共4个基本事件.
事件B，共6个基本事件.
事件C，共6个基本事件.
事件D，
共8个基本事件.
对于A选项，因，
则，故A与相互独立，故A正确；
对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确；
对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误；
对于D选项，因，，，
则，故D与相互独立，故D正确.
故选：ABD
10．CD
【分析】借助概率公式分别计算出、、，结合相互独立事件的定义判断即可得.
【详解】对A：，，，
故，所以，不相互独立，故A错误；
对B：，，，
故，所以，不相互独立，故B错误；
对C：，，，
有，所以，相互独立，故C正确；
对D：，，
有，所以，相互独立，故D正确.
故选：CD．
11．ACD
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式，结合串并联的特征逐项计算即得.
【详解】依题意，，
对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确；
对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误；
对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确；
对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确.
故选：ACD
12．ABD
【分析】根据相互独立事件的概率公式，可判断A、B、C，根据古典概型概率公式，可判断D.
【详解】对A：该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，
第3个路口是红灯，所以概率为，故A正确；
对B：用、、分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，
则，，，
“三个人都不能破译出密码”发生的概率为，
所以此密码被破译的概率为，故B正确；
对C：由题意可得，即，
即，即，
又，故，∴，故C错误；
对D：从1，2，3，4中任取2个不同的数，有，
共6个结果，其中取出的2个数之差的绝对值为2的包含和两个样本点，
则概率，故D正确；
故选：ABD.
13．
【分析】先求选手不被淘汰的概率为，进而可得该选手被淘汰的概率.
【详解】记“该选手能正确回答第轮的问题”为事件，
则，，，
该选手不被淘汰的概率，
则该选手被淘汰的概率为，
故答案为：.
14．#
【分析】分甲胜乙胜甲胜甲胜和乙胜甲胜乙胜乙胜两种情况求解.
【详解】恰好比赛4局结束比赛，则4局比赛为：
情形一：甲胜乙胜甲胜甲胜，情形二：乙胜甲胜乙胜乙胜，
所以恰好比赛4局结束比赛的概率
.
故答案为：
15．
【分析】依题意可得事件与事件相互独立，求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.
【详解】因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立，
又，，
所以，
所以.
故答案为：
16．/
【分析】借助独立事件与对立事件的概率公式计算即可得.
【详解】设该队员每次罚球的命中率为，则有，故.
故答案为：.
17．(1)，；
(2)
【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解；
（2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确
则：，代入第一问数据即可.
【详解】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，
根据题意，则有，则，
又，所以，即，
又，所以.
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和.
（2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，
则有
，
所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为.
18．(1)，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据概率的乘法公式计算即可；
（2）分别求出第一次中奖，第次抽奖中奖的概率，第一次未中奖而第二次中奖，第次抽奖中奖的概率，前两次均未中奖，第次抽奖中奖的概率，即可得解；
（3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次，故只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，分别从初始状态开始，抽一次中奖的概率，从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率，从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率即可得解.
【详解】（1），
；
（2）因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，若第一次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若第一次未中奖而第二次中奖，此时第次抽奖中奖的概率为，
从初始状态开始，若前两次均未中奖，则第三次必中奖，
此时第次抽奖中奖的概率为，
综上所述，对任意的，，
又，所以；
（3）由题意知每抽三次至少有一次中奖，
故连抽次至少中奖次，
所以只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，
另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，
从初始状态开始，抽一次中奖的概率为，
从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为，
从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为，
用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖，
则三次中奖的所有情况如下：，
，
故仅三次中奖的概率为
，
所以从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为.
【点睛】关键点点睛：题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽次至少中奖次，故只需排除次中奖的情况即可获得一枚优胜者勋章，另外，每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态，是解决第三问的关键.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先设事件，然后利用事件的相互独立性的乘法公式列方程组求解即可；
（2）利用相互独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式计算.
【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”，
由于相互独立，所以和相互独立，
则，解得，
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为；
（2）因为相互独立，且相互互斥，
所以
，
所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）分甲全中，甲中了2次乙投1次未中，甲中了2次乙投次1次中，1次未中求解；
（2）分甲、乙比分3：0，甲、乙比分3：1，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜求解.
【详解】（1）解：用A表示甲投篮命中，表示甲投篮未命中，
用B表示乙投篮命中，表示乙投篮未命中，
记甲同学连续投篮了三次并赢得了比赛的事件为M，
则．
（2）①剩余两次投篮，甲、乙比分3：0获胜的概率是；
②剩余一次投篮，甲、乙比分3：1获胜的概率是：
（也可用）；
③不剩余投篮，前4次投篮甲、乙比分2：2获胜的概率是：
，
（也可用），
故甲获胜的概率是．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式列式求解即可；
（2）先求出甲答对1道和答对2到的概率，乙答对0道和答对1到的概率，再结合题意根据互斥事件加法公式和独立事件乘法公式求解即可.
【详解】（1）设甲同学答对第一题乙同学答对第一题，则.
设甲 乙二人均答对第一题甲 乙二人中恰有一人答对第一题，
则.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，
所以
由题意可得，即，解得或，
由于，所以.
（2）由题意得，，
设{甲答对的题数比乙多，则.由于和相互独立，与，彼此互斥，
所以
所以甲答对的题数比乙多的概率为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页