单元评价作业（三）等比数列（含解析）

单元评价作业（三）等比数列
基础达标练习
1.在等比数列中，，公比，则( )
A.2 B.3 C.1 D.8
2.已知数列的通项公式为，则数列是( )
A.以1为首项，为公比的等比数列 B.以3为首项，为公比的等比数列
C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列
3.已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B.
C. D.或
4.已知是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.[2023广东茂名高二月考]若等比数列中的，是方程的两个根，则等于( )
A. B.1011 C. D.1012
6.（多选题）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A.若，则是等差数列
B.若，则是等比数列
C.若是等差数列，则
D.若是等比数列，则,,成等比数列
7.若是2与8的等比中项，是与的等差中项，则的值为 .
8.[2023山东郓城第一中学高二开学考]中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为 .
9.[2023湖北宜昌高二测试]已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
10.设等比数列的前项和为，若，且，则 .
11.已知等差数列中，，，设.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
素养提升练
12.已知角的终边不与坐标轴重合，则下列一定成等比数列的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
13.（多选题）若对任意的,且，总存在，使得，则称数列是“数列”，则下列说法正确的是( )
A.至少存在一个等比数列不是“数列”
B.至少存在两个常数列为“数列”
C.若是“数列”，则也是“数列”
D.对任意的，总是“数列”
14.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则，的最小值为 .
15.已知数列的前项和为，，.
（1）证明数列为等比数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
创新拓展练
16.已知等比数列的首项为，公比为，用符号表示这个数列的第项到第项的和.
（1）计算，，，并证明它们仍成等比数列；
（2）将（1）中的结论推广到一般情况，并予以证明.
参考答案
单元评价作业（三）等比数列
基础达标练习
1.在等比数列中，，公比，则( )
A.2 B.3 C.1 D.8
【答案】C
【解析】因为是等比数列，所以.故选.
2.已知数列的通项公式为，则数列是( )
A.以1为首项，为公比的等比数列 B.以3为首项，为公比的等比数列
C.以1为首项，3为公比的等比数列 D.以3为首项，3为公比的等比数列
【答案】A
【解析】因为，，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.故选.
3.已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B.
C. D.或
【答案】A
【解析】由题意得，且，
所以，解得（负值舍去），故选.
4.已知是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，数列不一定为递增数列，如数列,,,,，公比，而此数列为递减数列，
当为递增数列时，，
则或
所以当为递增数列时，成立，
所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件，故选.
5.[2023广东茂名高二月考]若等比数列中的，是方程的两个根，则等于( )
A. B.1011 C. D.1012
【答案】C
【解析】因为等比数列中的，是方程的两个根，
所以，根据等比数列的性质知，，
因为，所以，
则
.故选.
6.（多选题）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A.若，则是等差数列
B.若，则是等比数列
C.若是等差数列，则
D.若是等比数列，则,,成等比数列
【答案】BC
【解析】因为等差数列的前项和，
当时，其是不含常数项的二次函数，所以选项中的前项和不符合等差数列的前项和形式，所以不是等差数列，错误；
若数列的前项和，则当时，是等比数列，所以选项中的前项和符合等比数列的前项和形式，所以是等比数列，正确；
若是等差数列，则，正确；
当时，，，，此时,,不构成等比数列，错误.
故选.
7.若是2与8的等比中项，是与的等差中项，则的值为 .
【答案】5
【解析】因为是2与8的等比中项，所以，
因为是与的等差中项，
所以，
所以解得所以.
8.[2023山东郓城第一中学高二开学考]中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”，意思是有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为 .
【答案】
【解析】设第七天行走的里程数为，则第六天行走的里程数为，第五天行走的里程数为，那么七天行走的里程数共为.
9.[2023湖北宜昌高二测试]已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是 .
【答案】
【解析】由题意得，，解得，，解得，
所以.
10.设等比数列的前项和为，若，且，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以.
因为，所以.
所以，所以，故.
11.已知等差数列中，，，设.
（1）求证：数列是等比数列；
证明：设等差数列的公差为，
由，可得，即.
又，所以.
故，所以.
因为（常数），所以是首项为4，公比为4的等比数列.
（2）求数列的前项和.
【解析】由（1）得，等差数列的前项和为，
等比数列的前项和为，
故数列的前项和为.
素养提升练
12.已知角的终边不与坐标轴重合，则下列一定成等比数列的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】D
【解析】对于，令，则,,，
所以,，即，故错误；
对于，令，则,，即，故错误；
对于，令，则,,，所以,，即，故错误；
对于，因为角的终边不与坐标轴重合，所以，，，由，得，则，所以,,一定成等比数列，故正确.故选.
13.（多选题）若对任意的,且，总存在，使得，则称数列是“数列”，则下列说法正确的是( )
A.至少存在一个等比数列不是“数列”
B.至少存在两个常数列为“数列”
C.若是“数列”，则也是“数列”
D.对任意的，总是“数列”
【答案】ABD
【解析】对于，若，则是等比数列，
由，得，则不是“数列”.
对于，由，得或1，所以至少存在两个常数列为“数列”.
对于，若，则是“数列”，
令，设，则，
故不是“数列”.
对于，设，由，得，
所以对任意的,总是“数列”.故选.
14.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则，的最小值为 .
【答案】2；8
【解析】因为，，成等差数列，所以，所以，又各项均为正数的等比数列的前项和为，
所以，，成等比数列，
所以，
所以，
当且仅当，即时取“”.故的最小值为8.
15.已知数列的前项和为，，.
（1）证明数列为等比数列，并求出的通项公式；
【解析】，
当时，，
得，，即.
则,
又，，所以，
所以，即时，上式也成立，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
（2）设，求数列的前项和.
【解析】由（1）可得，
则.
创新拓展练
16.已知等比数列的首项为，公比为，用符号表示这个数列的第项到第项的和.
（1）计算，，，并证明它们仍成等比数列；
【解析】，，
，，且为常数，
，，成等比数列.
（2）将（1）中的结论推广到一般情况，并予以证明.
【解析】推广到一般情况：，，也成等比数列
，，，，
为常数，，，成等比数列.