第六章平面向量及其应用 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设O为的内心，，，，则 （ ）.
A． B． C． D．
2．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知非零向量，，，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．或
C． D．或
6．已知的内角的对边分别为，设，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
7．的内角的对边分别为．已知 ，，则为（ ）
A． B． C．2 D．
8．中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（ ）．

A． B． C． D．
二、多选题
9．若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ）
A．为锐角三角形
B．的面积为
C．O为的外心，则
D．设，则
10．中，内角，， 的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为锐角三角形，则的面积的取值范围
11．在中，点分别是AB上的等分点，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作.则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则A，B，C三点共线
C．若，则
D．若，则四边形OACB的面积为
三、填空题
13．已知的边，且，则的面积的最大值为 ．
14．在中，已知向量与满足，且，则角 .
15．若，，平面内一点P，满足，的最大值是 ．
16．已知为圆上的三点，若，则与的夹角为 ．
四、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求的值．
(2)若是的平分线．
（i）求证：；
（ii）若，求的最大值．
18．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． 设，

(1)求的模长；
(2)设，若，求实数的值；
(3)若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
19．已知为所在平面内一点，满足，且的面积为．
(1)求的值;
(2)求的值;
(3)若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值．
20．在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．
在中，角，，的对边分别为，，，且_____，．
(1)若，求的面积；
(2)求周长的范围
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
21．已知向量与的夹角为.
(1)求的值；
(2)若，求在上的投影向量的坐标.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.
【详解】取的中点，连，
因为，，所以，，
所以的内心在线段上，为内切圆的半径，
因为，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
又，所以，
又已知，所以，
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.
2．D
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
3．D
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】解：由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以.
所以，D正确．
故选：D.
4．B
【分析】根据向量数量积的运算性质及充分条件、必要条件得解.
【详解】若，可得，即与垂直即可，得不出，
若时，显然成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5．D
【分析】利用正弦定理求出，从而求出.
【详解】由正弦定理，得，解得，
又，所以或.
故选：D
6．A
【分析】先利用正弦定理角化边，整理后利用余弦定理求出角，代入求出角.
【详解】由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理，
又，所以，
所以，得，又，
所以或（，舍去）
故选：A.
7．C
【分析】利用三角恒等变换可得，进而可求得，由余弦定理得，可求的值.
【详解】由，可得，
所以，因为，所以，
所以，因为，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，解得.
故选：C.
8．C
【分析】设，得到恒成立，得出，根据题意，结合勾股定理，得到，即可求解.
【详解】设，如图所示，
因为对任意的实数，都有恒成立，
由恒成立，则，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．

故选：C．
【点睛】关键点点睛：设，得到恒成立，得出，是解决本题的关键.
9．BD
【分析】对于A：计算的正负即可；对于B：直接用面积公式计算即可；对于C：利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆半径，再直接利用向量的定义计算即可；对于D：先表示出，然后两边同时平方计算.
【详解】对于A：，为中的角，故为钝角，为钝角三角形，A错误；
对于B：，
则，B正确；
对于C：，为中的角，则，
所以，设的外接圆半径为，
由正弦定理得，
所以，C错误；
对于D：因为，
则，
所以
，所以，D正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结合正弦定理可判定C，利用正弦定理将边化角，再由面积公式、三角恒等变换公式及正弦函数的性质求出的范围，即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，则，
因为，所以，故A正确；
对于B，因为，则，，故只有一解，故B正确；
对于C，若为锐角三角形，则，，
则，则，即，
由正弦定理可知，故C错误；
对于D，由正弦定理可知，
所以，，
所以
，
因为，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11．BD
【分析】本题重点是研究线段的等分点，A选项是两向量与同一条向量的数量积，易联想到这两向量在同一条向量上的投影向量的大小，结合图形，易判断A是错误的，再利用中线向量的性质可判断是正确的， C选项中通过向量的加法运算和共线运算，发现共线向量的比例明显有错误， 而D选项，依次利用同一条向量在两个三角形中的加法法则可得，，，相加得，再利用累加法可计算得到结果是正确.
【详解】
选项A：，，
由图易知，两向量在上的投影向量的大小是，所以A是错误的.
选项B：由于是的中点，所以有，即B是正确的．
选项C：，所以C是错误的.
选项D：因为，，所以，
，，所以，
，
，，所以，
即由上面个等式相加得：，
所以，所以D是正确的.
故选：BD
12．ABD
【分析】根据向量新定义利用数量积的运算律求解模长即可判断A，根据向量运算得即可判断B，根据数量积运算律求得判断C，先通过向量模的运算求得四边形OACB的边长，再结合余弦定理和勾股定理利用三角形面积公式求解即可判断D.
【详解】对于A，由题意得，
故，
故.正确；
对于B，由题意得，所以，所以A，B，C三点共线.正确；
对于C，由题意得，
所以，
故与不垂直，错误；
对于D，因为，所以，
所以，，
，
，所以，
即，所以，在中，由余弦定理知，
，所以，所以，
所以四边形OACB的面积为.正确.
故选：ABD
13．
【分析】首先利用三角函数商的关系以及三角恒等变换得，再利用正弦定理得，从而得到，再利用三角形面积公式结合降幂公式得，最后根据三角函数的图象与性质即可得到最值．
【详解】由题意，设中角所对应的边分别为，则有，
由，可得，
整理得，
所以，因为，
所以，所以.
由正弦定理可得，所以，
则．若，则，显然成立，
若，则，则，则有，
综上，，
所以的面积，
所以，
因为，所以，
当，即时，的面积取得最大值，
故答案为：.
14．/
【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解.
【详解】设角的平分线交于，因为，故，即，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
设，（如图所示），，因为，
故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.
因为，故，故.
综上，为等腰直角三角形且，所以.
故答案为：

15．/0.5
【分析】由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得,设，求出的取值范围，借助于余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值.
【详解】

如图，由和向量的数量积定义可得，
，即得，从而，
设，则，由，可得
由余弦定理，当且仅当时，即时，等号成立，
因，则，故.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用,属于难题.
解题的思路在于对向量等式的理解和转化，以及三角形中角平分线定理的运用，通过余弦定理将所求角与三角形的三边联系起来，借助于基本不等式求得的范围.
16．
【分析】根据向量等式可知为圆的直径，由直径所对圆心角为可得结论.
【详解】由可得
即故三点共线，且是线段中点，
即是圆的直径，从而，即与的夹角为.
故答案为：.
17．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
（2）（i）在和中，分别应用正余弦定理，得出线段之间的等量关系，结合角平分线以及分式的性质，即可证明结论；（ii）利用（i）的结论以及基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
，
且，则，所以.
（2）（i）在中，由正弦定理可得①，

由余弦定理可得②，.
在中，由正弦定理可得③，
由余弦定理可得 ④.
因为是的平分线，则，
所以.
因为，所以，，
①÷③，得⑤，所以，，
②＋④，得
所以
，得证．
（ii）由（1）可得，则，即，
由⑤式（或由角平分线定理）知，，
所以，，
所以由（i）知，所以，
因为，即，解得，
当且仅当时，取得等号，
所以的最大值为.
18．(1)
(2)
(3)充要条件为
【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求；
（2）设，可得，可求实数的值；
（3）由，可得，运算可知不正确.
【详解】（1）因为，
所以两边平方得，
故；
（2）因，由共线定理，存在唯一的实数，有
则，故，
所以；
（3）不正确
证明：因为，所以，即，
则有，
所以“”的充要条件是“”,
所以“”的充要条件是“”是不正确的.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积公式及运算律计算夹角即可；
（2）根据同角三角函数的平方关系结合（1）的结论、三角形面积公式得，由平面向量数量积得，再在等式两边同乘以计算即可；
（3）利用（1）（2）的结论及数量积运算律可得，由条件可判定O为的重心，根据面积关系得，利用投影的意义及基本不等式计算最值即可.
【详解】（1）由得，
两边平方可得:，
又，所以，
即，即，
所以；
（2）因为，所以，
又，
所以，
则，
在等式两边同乘以，
有，
所以；
（3）因为，
同理得，即有，
由得点是的重心，
所以，
又，
即有，
所以，
(当且仅当时取等号)，
所以的最小值为.

【点睛】思路点睛：第一问利用等量关系同时平方消去，利用数量积公式计算即可；第二问利用三角形面积公式先计算，再在等式两边同乘以计算即可；第三问利用重心的性质结合面积公式推出，再根据投影的意义及基本不等式计算即可.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）选①，结合正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形内角和和诱导公式可求角；选②，首先“切化弦”，结合两角和与差的三角函数公式，可求角；选③，根据余弦定理，可求角；再根据余弦定理和三角形的面积公式，求三角形的面积.
（2）先用余弦定理，得到和的关系，再利用基本（均值）不等式，求的取值范围，最后得的范围.
（3）结合正弦定理，先把表示成角的三角函数，根据三角形是锐角三角形，确定角的取值范围，利用三角函数的单调性，求的取值范围.
【详解】（1）选①，由正弦定理得，
整理得，
即，
因为，所以，又，故.
选②，因为，
所以，
又，故．又，故.
选③，因为，即，
所以，
根据余弦定理可得，所以，又，故.
由余弦定理得，
即，解得，
所以的面积.
（2）由余弦定理得，
即所以.
因为.
所以所以.
所以周长的范围为.
（3）由（1）知，，
由正弦定理得：
，
在锐角中，，，
即，所以，即，
又，
所以，
所以的取值范围是.
21．(1)；
(2).
【分析】（1）利用数量积性质，将所求转化为向量数量积计算即可；
（2）根据投影向量公式直接求解可得.
【详解】（1）因为向量与的夹角为，
所以，
所以
（2）由投影向量公式可得：
.
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