福建省龙岩市非一级达标校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（含解析）

2023--2024学年第二学期半期考
高一数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡--并交画。
4.本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章至三章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若随机变量X服从两点分布，，则
A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77
2.已知函数的图象如图所示，则的极大值点为
A．0 B．1 C．2 D．0和2
3.与空间向量同向的单位向量为
A． B．
C． D．
4.函数的图象在处切线的斜率为
A．0 B．2 C．3 D．4
5.一箱零件中共有12个零件，其中有3个是尺寸不达标的，从这箱零件中任意选取4个，则恰有2个的尺寸不达标的概率为
A． B． C． D．
6.若函数不存在极值，则a的取值范围是
A． B． C． D．
7.如图，在斜三棱柱中，，，，则
A．48 B．32 C． D．
8.设，，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，，则
A．A与B相互独立 B．A与B相互对立 C． D．
10.在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，，，，则
A．
B．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
C．从A，B，C，D，P，O这6个点中选2个点确定条直线，则有13条不同的直线
D．从A，B，C，D，P，O这6个点中选3个点确定一个平面，则有10个不同的平面
11.已知是定义在R上的奇函数，当，，则
A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3
C．函数的零点个数为7 D．的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点，平面PAD的一个法向量为 ，点在平面PAD外，则点B到平面PAD的距离为 .
13.甲计划参加一场短跑比赛，甲参加100米短跑比赛的概率为0.7，参加400米短跑比赛的概率为0.3，且甲参加10O米短跑比赛夺冠的概率为0.7，参加400米短跑比赛夺冠的概率为0.8，则甲参加短跑比赛夺冠的概率为 .
14.已知函数，则 ，的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知福建某地生产的桂圆干是按包销售的，每包桂圆干的质量M（单位：g）服从正态分布，.
（1）求；
（2）若从该地生产的桂圆干中随机选取3包，记质量在247g～253g内的包数为X，求及.
16.（15分）
如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB．E，F分别为BC，PC的中点，且，，.
（1）证明：平面PAC．
（2）求二面角F-AE-C的余弦值.
17.（15分）
已知函数.
（1）当时，求在上的值域；
（2）讨论的单调性.
18.（17分）
一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）.现从盒子中--次性随机取出3个小球.
（1）求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率；
（2）在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列与数学期望.
19.（17分）
已知函数.
（1）若，证明：在上单调递减.
（2），，求a的取值范围.
2023—2024学年第二学期半期考
高二数学试卷参考答案
1.C
.
2.B
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，则的极大值点为1.
3.C
因为，所以与空间向量同向的单位向量为..
4.D
，则.
5.A
由超几何分布可知，恰有2个的尺寸不达标的概率为.
6.D
，则，解得.
7.C
.
8.D
构造函数（），则，，.
，
当时，，则在上单调递减，所以.又，，所以.故.
9.AC
由，得A与B相互独立，A正确，B错误.由，得，C正确，D错误.
10.AC
因为，，所以，所以，所以，A正确.，，设平面PCD的法向量为，则，，可取，设直线PB与平面PCD所成的角为，则，B错误.因为O，A，D三点共线，所以从A，B，C，D，P，0这6个点中选2个点确定一条直线，则有条不同的直线，C正确.因为O，A，B，C，D五点共面，P，O，A，D四点共面，所以从A，B，C，D，P，O这6个点中选3个点确定一个平面，则有个不同的平面，D错误.
11.ABC
当时，，令，得，令，得.则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，因为是奇函数，所以的极大值点为，A正确.
因为，所以，作出的大致图象，如图所示.
因为，所以由图可知的零点个数为3，B正确.
因为的零点为，0，2，所以由，得，0，2，由图可知，方程的解的个数为3，，的解的个数均为2，且这些解均无重复，所以函数y的零点个数为7，C正确.
由图可知，的解集为，所以的解集等价于的解集，由图可知，的解集不是，D错误.
12.
因为，所以点B到平面PAD的距离为.
13.0.73
用，分别表示甲参加100米短跑比赛，参加400米短跑比赛，用B表示甲夺冠.
由题意得，，，.
所以由全概率公式得.
14.；
因为，
所以，
则，
则，.
令，得，
令，得.
所以.
15.解：
（1）因为M服从正态分布，且，，
所以，
所以.
（2）依题意可得，
则，.
16.
（1）证明：∵E，F分别为BC，PC的中点，
∴.
∵，
∴.
∵平面PAB，
∴.
∵，
∴平面PAC.
（2）解：以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
设平面AEF的法向量为，则，
取，则，，
得平面AEF的一个法向量为.
易得平面AEC的一个法向量为.
由图可知二面角F-AE-C为锐角，
∴二面角F-AE-C的余弦值为.
17.解：
（1）当时，，则，
当时，，单调递增，
所以，
，
故当时，在上的值域为.
（2）的定义域为，
.
当，即时，，在上单调递减.
当，即时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
18.解：
（1）第一类，取出的3个小球上的数字为1，4，5，则取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为.
第二类，取出的3个小球上的数字为2，3，5，因为黑色小球和白色小球上均有数字2，3，所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为.
第三类，取出的3个小球上的数字为3，3，4，则取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为.
故所求的概率为.
（2）X的可能取值为2，3，4，5.
设“取出的3个小球中有黑色小球”，则，
所以，
，
，
.
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
.
19.
（1）证明：因为，
所以，，
当时，，，
故对恒成立，
所以在上单调递减.
（2）解：等价于.
令，则.
若，则在上恒成立，
则在上单调递减，
则，符合题意.
若，令，
则在上恒成立，
则在上单调递减，则.
当，即时，在上恒成立，
即在上恒成立，
则在上单调递减，
则，符合题意.
当，即时，，，
则，，
所以当时，，即，
故在上单调递增，
当时，，不符合题意.
综上所述，a的取值范围为.