第七章 复数 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第七章 复数综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数（，），且，（），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知复数，（其中为虚数单位，）. 若是纯虚数，则（ ）
A． B． C．1 D．4
4．已知为虚数单位，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知是复数，满足，，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
6．已知复数在复平面内对应的点在直线上，则复数在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴 B．实轴负半轴 C．虚轴正半轴 D．虚轴负半轴
7．已知，（，i为虚数单位）．若，在复平面内对应的点分别为，，点O为原点，且，则（ ）
A．1 B．－1 C．4 D．－4
8．已知，，，为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题恒成立的有（ ）
A．已知平面向量，，则
B．已知，，则
C．已知复数，，则
D．已知复数，，则
10．已知复数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
12．设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则或
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若，则点的集合所构成图形的面积为
三、填空题
13．已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 .
14．已知，其中是实数，则 .
15．已知复数，若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则的取值范围为 ．
16．设，复数.若复数是纯虚数，则 ；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
四、解答题
17．已知，复数，当为何值时；
(1)是纯虚数；
(2)？
18．已知复数满足，且z的虚部为，在复平面内对应的点在第四象限．
(1)求；
(2)若，在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，试判断的形状．
19．已知复平面内表示复数（）的点为.
(1)若点在函数图像上，求实数的值；
(2)若为坐标原点，点，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
20．已知复数，（i为虚数单位）．
(1)当时，求复数的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围．
21．已知复数，其中是实数.
(1)若，求的值；
(2)若是实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.
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参考答案：
1．C
【分析】由可得，再将代入，利用复数相等的概念可求的值，进一步可求.
【详解】由可得.
又
所以，所以.
所以.
故选：C
2．B
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数，可得，
所以复数的虚部是．
故选：B．
3．A
【分析】求出的代数形式，再根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【详解】,
因为是纯虚数，
所以，解得.
故选：A.
4．C
【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算及复数相等计算得解.
【详解】依题意，，而，则，
所以.
故选：C
5．D
【分析】根据复数的运算法则，利用和进行计算即可．
【详解】因为，
且，，
即，
得；
同理因为，且，
即，
得：；
联立可得：，，
．
故选：D．
6．C
【分析】根据复数的几何意义，由复数对应点代入直线方程可求得，即可得出结果.
【详解】复数在复平面内对应的点为，
代入直线，可得，即，
则，在复平面内对应的点为.
故选：C
7．B
【分析】根据复数的几何意义可得，，即可利用向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由题意，得，．因为，
所以，解得．
故选:B．
8．C
【分析】复数的几何意义、不等式的性质可得，即可求解.
【详解】由题意知，复数的实部与虚部应同号，所以，
即，所以．
故选：C．
9．ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算律判断A，根据实数的运算法则判断B，利用特殊值判断C，根据复数的运算性质判断D.
【详解】对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B正确；
对于C：令，，则，
而，，
所以，，
所以，
显然不成立，故C错误；
对于D：
，故D正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可.
【详解】方程，化为，解得或，
由复数，满足，不妨令，，
对于A，显然复数，互为共轭复数，即，A正确；
对于B，，而，则，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由，得，D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】设，，，，，，对于，分别计算和，即可判断；对于，由共轭复数及乘法运算即可判断；对于，由复数的乘法及模的运算即可判断；对于，由共轭复数及复数的除法即可判断.
【详解】设，，，，，，
所以，，
所以，故选项不正确；
因为，
所以，
，
所以，故选项正确；
，
，
所以，故选项正确；
，
，
所以，故选项正确；
故选：.
12．BCD
【分析】对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案；
对于B，根据复数的几何意义，写出点的轨迹方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离，可得答案；
对于C，根据复数的模长公式，可得答案；
对于D，根据模长的几何意义作图，结合圆的面积公式，可得答案.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，设对于的点为，则其轨迹方程为，
由原点到的距离为，如下图：
易知当对应的点为时，取得最小值，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
点的集合所构成图形为图中的阴影部分，面积，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】求出复数的共轭复数，进而可得点的坐标．
【详解】由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为．
故答案为：．
14．0
【分析】根据复数相等的充要条件可解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：0
15．
【分析】由题在复平面上对应的点位于第二象限，即要实部小于零，虚部大于零，建立不等式组可解出.
【详解】依题意得：，得，
∴.
故答案为：
16． -1 1
【分析】由复数是纯虚数或实数的充要条件即可列式求解.
【详解】，对于第一空：若复数是纯虚数，则，解得；
对于第二空：若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得.
故答案为：-1；1.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据实部为0，虚部不为零可求参数的值；
（2）利用复数相等的条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得参数的值.
【详解】（1）∵是纯虚数，
∴,解得或，
∴当或时，是纯虚数.
（2）∵，∴，解得，
∴故时，.
18．(1)
(2)等腰直角三角形
【分析】（1） 运用复数几何意义设出，再结合共轭复数定义写出，再运用复数乘法运算求得结果；
（2） 运用复数几何意义、模长和夹角公式可求得结果．
【详解】（1）在复平面内对应的点在第四象限且z的虚部为，设，则，
由，解得，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
所以，，如图所示，
则，，
，，
所以，
又，有，
所以为等腰直角三角形．
19．(1)3
(2)
【分析】（1）由复数的几何意义求出点，再代入直线方程解出即可；
（2）由向量的夹角为钝角时数量积小于零且除去共线反向的情况解出即可.
【详解】（1）因为点在函数图像上，
所以，解得.
（2），，
因为与的夹角为钝角，所以，
所以，
即，即，
当两向量共线且反向时，设，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
20．(1)5
(2)
【分析】（1）代入，根据复数的乘法求解即可；
（2）根据第三象限实部为负，虚部为负求解不等式即可
【详解】（1）当时，，故
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
则，解得，
所以m的取值范围为
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据复数运算法则求，根据复数相等的定义列方程求；
（2）根据复数运算法则求，由条件列方程求；
（3）根据复数运算法则求，由条件结合复数的几何意义列不等式求的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
又，，
所以，解得，
所以实数的值为.
（2），
因为是实数，所以，解得；
（3），
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
由已知，解得，
所以，所以的取值范围为.
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