第十章 概率 综合复习训练（含解析）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）．
A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立
C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
2．社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目．某地举行社火活动，现有小明和小华等5名小朋友报名，从中任选2名小朋友参加，则小明和小华恰有1人被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ）
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．一个箱子中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（ ）
A． B． C． D．
7．第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在中国四川省成都市举行，是中国西部第一次举办的世界性综合运动会．该届赛事共设篮球、排球、田径、游泳等18个大项，269个小项．甲同学准备在体操、跳水、羽毛球三个比赛项目中选择一个前去观看，乙同学准备在跳水和羽毛球中选择一个前去观看，则甲、乙观看同一比赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．抛掷两枚质地均匀的骰子，已知两枚骰子向上的点数之和为偶数，则向上的点数之和为8的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
B．事件“最少一次击中”与事件“最多一次击中”为互斥事件
C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
10．甲袋中有20个红球．10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别．现在从两袋中各换出1个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．不都是红球的概率为
D．都不是红球的概率为
11．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法正确的有（ ）
A．与不互斥 B．与相互独立
C．与互斥 D．与相互独立
12．有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）
A．（丙） B．（丁） C．乙与丙相互独立 D．甲与丁相互独立
三、填空题
13．将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为3的概率为 ．
14．甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交换的概率为
15．天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，用1，2表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概率是20%，因为时间是一周，所以每7个随机数作为一组，假设产生20组随机数是：
则下个星期恰有2天涨潮的概率为 .
16．设事件是互斥事件，且，则 .
四、解答题
17．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为；再由乙猜甲刚才所想的数字，记为，其中.
(1)试列举出由样本点组成的样本空间，并指出样本空间所含样本点的个数；
(2)若，则称甲、乙“心有灵犀”，求甲、乙二人“心有灵犀”的概率.
18．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1000张奖券为一个开奖单位.设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)；
(2)抽取1张奖券中奖概率；
(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
19．在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
20．辽宁省朝阳市妇联发挥阵地优势，在市妇女儿童活动中心开展了“萌童成长”寒假公益课堂，涵盖了创意美术、传统文化、科学小实验、“亲子阅读”等丰富的活动． 公益课堂共开设24期，近200名少年儿童受益． 从参加公益课堂的少年儿童中随机抽取50名少年儿童进行问卷调查（满分100分），将问卷调查结果按，，，，，，，分成八组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
(1)求的值，并估计被抽取的50名少年儿童问卷调查结果的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若从样本中问卷调查结果在和内的少年儿童中随机抽取2名少年儿童，求随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率．
21．甲、乙两射击队（每队有7名队员）进行射击比赛，每名队员均射击20次且每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．假设所有队员的得分相互独立．现统计每队队员的得分情况如下：
甲队：．
乙队：．
(1)现从甲、乙两队各随机选1人，甲队选出的队员记为，乙队选出的队员记为，若，求队员的得分不少于队员的得分的概率．
(2)是否存在使得甲、乙两队队员的得分的方差相等．若存在，请写出的值，不用说明理由；若不存在，请说明理由．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据题意分别求出事件的概率，再根据相互独立满足的概率公式判断即可.
【详解】由题意得，甲，乙，丙， 丁.
对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确；
对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确；
对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确；
对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确.
故选：A.
2．C
【分析】借助列举法将所有可能结果与符合要求的结果列举出来即可得.
【详解】设小明和小华为，其余3人为，
任选2人的所有可能的结果为，
，共有10种，
设“小明和小华恰有1人被选中”为事件E，
则E包含的基本事件有共6种，
故．
故选：C.
3．C
【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D.
【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下：
，共36个样本点．
则事件包括，共6个，，
事件包括
，共18个，，
事件包括，共5个，，
事件包括，共6个，.
对于A，，所以与不为对立事件，故A错误；
对于B，事件包括，则，又，，
所以，即与不相互独立，故B错误；
对于C，事件包括，则，又，，
所以，即与相互独立，故C正确；
对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.
4．A
【分析】根据题意，利用列举法找出满足题意的随机数，即可求出三次投篮恰有两次命中的概率.
【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，
这三组表示三次投篮恰有两次命中，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为.
故选：A
5．D
【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可.
【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是
则不获一等奖的概率分别是
则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：
这三人都获得一等奖的概率为
所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率
故选:D.
6．A
【分析】首先判断这是古典概型，因所求事件正面情况多，故考虑先求其对立事件概率，再运用对立事件概率公式即可求得.
【详解】因是随机取球，每个球被取到的可能性相同，故这是古典概型. 从中随机取出三个球的方法总数为种，
而“取出的三个球中至少有一个红球”的对立事件是“取出的三个球中全是白球”，其取法有种，
故“取出的三个球中至少有一个红球”的概率为.
故选：A.
7．D
【分析】利用古典概型可以得到所求概率.
【详解】用（甲，乙）表示甲、乙两同学的选择结果，记体操、跳水、羽毛球分别为，
则两人选择比赛项目的情况有，共6种，
其中甲、乙所选的比赛项目相同的情况有，共2种，
故所求概率．
故选：D．
8．B
【分析】利用列举法能求出向上的点数之和为8的概率．
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上的点数之和为偶数，
基本事件总数为18，分别为：
，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
向上的点数之和为8包含的基本事件个数为5，分别为：
，，，，，
则向上的点数之和为8的概率为．
故选：B．
9．AC
【分析】写出事件包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的概念作出判断.
【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，
与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；
对于B，事件“最少一次击中”包含“一次击中”与 “二次击中”，
事件“最多次击中”包含“一次击中”与 “0次击中”，
故两事件可以同时发生，不是互斥事件，故B不正确；
对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.
故选：AC
10．ABC
【分析】设出事件，得到，，A选项，；B选项，求事件的概率即可；C选项，根据对立事件概率公式得到C正确；D选项，.
【详解】记事件：从甲袋中任取1个球为红球，事件：从乙袋中任取1个球为红球，
则，，
对于A选项，即求事件的概率，，所以A正确；
对于B选项，即求事件的概率，．所以B正确，
对于C选项，由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件，
所以概率为，C正确；
对于D选项，即求事件的概率，，所以D错误．
故选：ABC
11．ABD
【分析】利用互斥事件与独立事件的定义与概率公式，对选项一一验证即可.
【详解】对于AB，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥，
第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立，故AB正确；
对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，
则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；
对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其总的基本事件为件，
事件 “第一次出现2点”的基本事件有，故，
事件“两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，
事件“第一次出现2点，且两次点数之和为奇数” 的基本事件有，故，
所以，则与相互独立，故D正确.
故选：ABD.
12．AD
【分析】
利用古典概型的概率计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断即可.
【详解】依题意基本事件总数为个，
“第一次取出的球的数字是”的基本事件有个，
“第二次取出的球的数字是”的基本事件有个，
“两次取出的球的数字之和为”的基本事件有共个，
“两次取出的球的数字之和为”的基本事件有共个，
所以（丙），（丁）；（甲）（乙），故A正确，B错误；
又同时满足事件甲、丁的基本事件有共个，同时满足事件乙、丙的基本事件有共个，
所以（乙丙）（乙）（丙），所以乙与丙不相互独立，故C错误；
所以（甲丁）（甲）（丁），所以甲与丁相互独立，故D正确；
故选：AD.
13．
【分析】根据的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.
【详解】当为时，这6个点数的中位数为3，
当时，这6个点数的中位数为，
当时，这6个点数的中位数为，
当为时，这6个点数的中位数为，
所以这6个点数的中位数为3的概率为.
故答案为：.
14．
【分析】列举出所有可能的情况，确定甲和乙的座位恰好交换的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】四位同学的所有换位情况如下图所示：
由图知甲和乙的座位恰好交换的情况只有一种，
故甲和乙的座位恰好交换的概率为，
故答案为：
15．/0.2
【分析】由题意可知，恰有2天涨潮就是在这组数中，恰有两个是1或2，从这20组数找出恰有两个是1或2的个数，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】产生20组随机数相当于做了20次试验，在这组数中，如果恰有两个是1或2，就表示恰有两天涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率近似值为，
故答案为：.
16．/0.5
【分析】根据给定条件，利用互斥事件的加法公式直接计算得解.
【详解】事件是互斥事件，且，所以.
故答案为：
17．(1)答案见解析，25
(2)
【分析】（1）用列举法列出样本空间，即可得解；
（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事件，得到满足事件的样本点数，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）由题意得，
，共个样本点.
（2）记甲、乙二人“心有灵犀”的为事件，
则，共个样本点，
，故甲、乙二人“心有灵犀”的概率为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（3）根据题意，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，
所以.
（2）解：设“抽取1张奖券中奖”为事件D，
则.
（3）解：设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.
【详解】（1）由前面的分析可知试验的样本空间，
共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则，
共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为；
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则，
共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为；
（3）设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则，
共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为.
20．(1)，平均数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程求出，再根据平均数计算公式计算可得；
（2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）由题意得，
解得.
估计被抽取的名少年儿童问卷调查结果的平均数为
.
（2）依题意可得在内抽取的人数为（人），
设所抽取的人为，
在内抽取的人数为（人），设所抽取的人为，
则从中随机抽取2名少年儿童有
共15种情况，
其中随机抽取的这2名少年儿童在同一组的有共7种情况.
故随机抽取的这2名少年儿童在同一组的概率.
21．(1)
(2)存在，或
【分析】（1）列出表格可得所有基本事件，利用古典概型可得解；
（2）根据两组数据的特点及方差的定义可得解.
【详解】（1）记中的表示队员的得分，表示队员的得分，
随机选出的队员和队员的得分的所有可能情况如表：
17 15 16 12 14 13 20
14
13
10
15
12
16
11
则共有49个基本事件．
记“队员的得分不少于队员的得分”为事件，则事件包含的基本事件有：
，
，共15个，
故．
（2）存在或，
甲队队员得分的7个数为10至16的连续正整数，乙队队员的得分为12至17的连续正整数和，
所以当或18时，两组数据的离散程度相同，即方差相等.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页