阶段性综合复习训练（考查范围：第六章、第七章）2023——2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

阶段性综合复习训练（考查范围：第六章、第七章）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若的三个内角，，所对的边分别为，，，，，则（ ）
A． B． C． D．6
2．已知，，则在方向上的投影数量是（ ）
A． B．2 C． D．
3．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A．1 B．2 C． D．0
7．已知是复数（为虚数单位）的共轭复数．若，则（ ）
A． B． C． D．2
8．若复数为虚数单位）为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，满足，，则下列结论正确的有（　　）
A． B．
C． D．
10．已知点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．对向量，，若，则或
B．对复数，，若，则或
C．对向量，，若，则
D．对复数，，若，则
12．对于复数，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．若，则不是复数
三、填空题
13．已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小 值为 ．
14．向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ．
15．若复数z与都为纯虚数，则 .
16．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
四、解答题
17．在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
18．已知平面向量满足，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当实数为何值时，．
19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，.
(1)求的值；
(2)若，求bc的最大值.
20．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．
(1)若，求；
(2)若，求．
21．已知复数．
(1)求；
(2)若复数满足，求．
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参考答案：
1．B
【分析】根据正弦定理和比例的性质可得，可得结果.
【详解】在中，，所以，所以，
由正弦定理以及比例的性质可得：.
故选：B
2．C
【详解】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算代入计算，再结合投影的定义，即可得到结果.
【分析】设与的夹角为θ．由题意，得．又，
所以，
所以在方向上的投影数量为．
故选：C．
3．B
【分析】利用，可得，进而可求的最大值.
【详解】为中线，则，两边平方得，
所以，
所以，所以，
当且仅当时取等号，
则.
故选：B.
4．D
【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.
【详解】由已知有，，，
所以．
已知是AC的中点，则，，
所以，
则．
故选：D．
5．D
【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】，
故.
故选：D.
6．C
【分析】利用复数的运算及复数模的计算公式即可求解.
【详解】,
所以.
故选：C.
7．B
【分析】由共轭复数的定义求出，根据已知由复数的四则运算和复数相等的条件求出，再由复数模的运算求.
【详解】由，得，
则，所以，
所以解得
则．
故选：B．
8．C
【分析】利用纯虚数的定义结合复数的运算求解即可.
【详解】由复数为纯虚数，得
解得，则，
所以，
所以．
故选：C
9．ABD
【分析】根据所给向量的模平方后作差可求，判断A；再由向量模的三角绝对值不等式求出的范围判断BC；根据，模的关系利用的模的范围求出的模的范围，判断D.
【详解】因为，，所以，
即，故A正确；
因为，所以，
即，所以，故C错误；
又，所以，故B正确；
因为，所以，
因为，所以，所以，故D正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】由题意，根据平面共线向量的坐标表示判断A，根据模的坐标表示判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据垂直关系的向量表示判断D.
【详解】A：，则，所以，故A正确；
B：，则，所以，故B正确；
C：，则，故C错误；
D：，则，所以，故D正确.
故选：ABD
11．BC
【分析】由平面向量数量积公式计算可判断A项，设出、，结合计算即可判断B项，由平面向量数量积公式可知计算可判断C项，举反例，可判断D项.
【详解】对于A项，因为，
所以或或，故A项错误；
对于B项，设（），（），
则，
所以，解得或，
即或，故B项正确；
对于C项，因为，
所以，所以，故C项正确；
对于D项，若，，则满足，
但此时，故D项错误.
故选：BC.
12．ABD
【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断.
【详解】A.当时，为实数，故错误；
B.若，则，故错误；
C.若，则为实数，故正确；
D.若，则是实数，故错误；
故选：ABD
13．
【分析】设向量，求得，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】设向量，因为且与的夹角为，
则
，所以当时，的最小值为.
故答案为：.
14．.
【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开，对照系数列出方程组求解即得.
【详解】依题意， ①，
选择平面的基底为时，不妨设，则 ②，
将① 式与②式对照即得：，解得
即向量在基底下的坐标为.
故答案为：.
15．
【分析】设，代入条件计算，再根据纯虚数列方程求解.
【详解】设，
则，
因为为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：.
16．
【分析】利用复数乘除法法则进行计算即可.
【详解】
.
故答案为：.
17．(1)
(2)；
【分析】（1）由余弦定理求出即可.
（2）利用边角转化求出角，进而由正弦定理求出，最后求出三角形面积.
【详解】（1）在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，解得：或，
即或，
当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由代入计算即可；
（2）由题得列出方程，求解即可．
【详解】（1）因为与的夹角为，
所以，
所以
．
（2）因为，
所以
，
化为，解得．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数的基本关系化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值；
（2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值．
【详解】（1）因为，
所以.
（2）根据余弦定理可知：，
，
又，即，
，当且仅当时，，
故的最大值是．
20．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可；
（2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】（1）设，
由，得，
即，整理得，
因为，即，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）结合，
可得，所以，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，结合复数的运算法则，准确运算，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合复数的除法，即可求解.
【详解】（1）解：由复数，则.
（2）解：由复数，
因为复数满足，
可得
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